采用分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律的動(dòng)力吸振器研究

陳炎冬，陳 寧，徐 俊

（1.無錫太湖學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，無錫 214064；2.南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，南京 210037）

0 引言

在振動(dòng)的結(jié)構(gòu)上附加吸振器是控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有效措施之一[1]。動(dòng)力吸振，在受控對(duì)象上附加一個(gè)質(zhì)量-剛度-阻尼子系統(tǒng)，用它產(chǎn)生的控制力來部分或完全抵消受控對(duì)象受到的激振力。這時(shí)，子系統(tǒng)“吸收”了主系統(tǒng)的振動(dòng)，故稱子系統(tǒng)為動(dòng)力吸振器。經(jīng)典的吸振器技術(shù)是通過耦合輔助系統(tǒng)使主系統(tǒng)的振動(dòng)發(fā)生轉(zhuǎn)移，也就是使主系統(tǒng)的振動(dòng)能量在主系統(tǒng)和從系統(tǒng)之間重新分配達(dá)到控制主系統(tǒng)的振動(dòng)，缺陷是有效的吸振頻帶是在一個(gè)很狹小的帶寬范圍，并且不可調(diào)節(jié)。為了解決這些問題，出現(xiàn)了一些自適應(yīng)調(diào)諧減振器[2～4]，以及變質(zhì)量、變剛度甚至是零剛度、負(fù)剛度的吸振器[5～8]，正在成為研究熱點(diǎn)。

上世紀(jì)三十年代，Gemant，A.[9]觀察到粘彈性材料動(dòng)剛度的數(shù)學(xué)模型，如果引入分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)可以得到更理想更準(zhǔn)確的表達(dá)。從此分?jǐn)?shù)階在工程中的應(yīng)用研究越來越多，其中帶分?jǐn)?shù)階阻尼的動(dòng)力吸振器研究開始出現(xiàn)[10～12]，陳寧[10]等研究了具有分?jǐn)?shù)階阻尼的吸振器，通過數(shù)值仿真結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階阻尼吸振器的減振作用正介于無阻尼吸振器和粘性阻尼吸振器之間，則可以調(diào)和無阻尼和粘性阻尼吸振器的矛盾，選擇最佳的被動(dòng)式吸振器。但阻尼大小采用試湊或采用優(yōu)化的方法選取。關(guān)于動(dòng)力吸振器的控制研究和參數(shù)優(yōu)化的方法也在不斷涌現(xiàn)[13～17]，但目前還很少用臨界阻尼來設(shè)計(jì)控制律，而本文將從臨界阻尼定義[18]出發(fā)，將傳統(tǒng)整數(shù)階臨界阻尼拓展到分?jǐn)?shù)階臨界阻尼，在研究其特性的基礎(chǔ)上針對(duì)經(jīng)典的主動(dòng)動(dòng)力吸振器進(jìn)行分?jǐn)?shù)階臨界阻尼的控制律設(shè)計(jì)并對(duì)其進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，得出合理選取控制參數(shù)的方法和步驟。

1 分?jǐn)?shù)階臨界阻尼理論

首先基于單自由度分?jǐn)?shù)階自由振動(dòng)系統(tǒng)如式(1)所示，討論分?jǐn)?shù)階臨界阻尼理論。

x(t)表示位移，0Dαx（t）表示位移的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，m、c、k分別為質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)。這里0Dαx（t）采用Caputo定義，如式(2)所示。

根據(jù)等式兩邊實(shí)部虛部分別為0，當(dāng)特征根虛部rsinθ不為0時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振蕩，為了避免振蕩和發(fā)散，特征根實(shí)部必須是負(fù)的即rcosθ＜0，且虛部為rsinθ=0。假設(shè)θ=（2k1+1）π，k1為整數(shù)，則上式可簡(jiǎn)化為：

從式(9)可以看出α只有分母為奇數(shù)，分子為與分母互為質(zhì)數(shù)的整數(shù)時(shí)才存在。如3/5、7/9、8/11、14/11等等。從式(7)可以看出當(dāng)cosαθ=1時(shí)，可以算出特征根實(shí)部是正的，表示有外界的能量輸入系統(tǒng)，振蕩會(huì)越來越強(qiáng)，系統(tǒng)是發(fā)散的，相反，當(dāng)cosαθ=-1時(shí)，可以算出特征根實(shí)部是負(fù)的，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

綜合上述推導(dǎo)可得到存在臨界阻尼的條件：當(dāng)k1，k2為整數(shù)，且互為質(zhì)數(shù)，α∈（0，2），cosαθ=-1時(shí)有：

其中r∈R+，式(10)當(dāng)du/dt=0時(shí)，可得在極值位置時(shí)的r值，r=（α/(2-α））1/2，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)確定后，歸一化后的系統(tǒng)只能通過分?jǐn)?shù)階階次來改變其臨界阻尼，將式(4)的變換條件代入式(10)得原系統(tǒng)的阻尼與特征值幅值之間的關(guān)系式：

當(dāng)α=1時(shí)，極值位置時(shí)的r=1，代入上式可得臨界阻尼為cc=，與傳統(tǒng)二階系統(tǒng)臨界阻尼一致。

下面探討：1）c與r之間的關(guān)系；2）分?jǐn)?shù)階階次對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響；3）系統(tǒng)阻尼與系統(tǒng)振蕩之間關(guān)系4）當(dāng)有干擾后，分?jǐn)?shù)階臨界阻尼與整數(shù)階阻尼的作用影響。固定仿真參數(shù)：初始位移x0=0.01m，初始速度v0=0m/s，m=10kg，k=1000N/m。

根據(jù)式(11)可以繪制出c與r之間的關(guān)系圖，如圖1所示。

圖1 不同α?xí)r系統(tǒng)阻尼隨特征值幅值變化曲線

圖2 不同α?xí)r系統(tǒng)位移響應(yīng)曲線

圖1為不同分?jǐn)?shù)階階次α?xí)r系統(tǒng)阻尼隨特征值幅值變化的關(guān)系曲線，從圖1中看出當(dāng)系統(tǒng)存在分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)后，臨界阻尼大小可以通過改變分?jǐn)?shù)階階次來設(shè)計(jì)系統(tǒng)需要的值，但是必須滿足前面理論推導(dǎo)的臨界阻尼存在條件。

圖2為在初始位移x0=0.01，初始速度v0=0，α分別等于8/11，1，14/11時(shí)系統(tǒng)位移響應(yīng)曲線，可以看出當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次小于等于1時(shí)系統(tǒng)沒有振蕩，大于1會(huì)有一定的振蕩，說明當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次α∈（1，2）時(shí)從物理角度解釋該材料特性已經(jīng)不是α∈（0，1）粘彈性材料特性，而是介于粘性和剛性之間的混合材料，所以在剛性部分作用下會(huì)有一定的超調(diào)量。

圖3為在初始位移（0.001m）激勵(lì)下的系統(tǒng)位移響應(yīng)，其中圖3(a)和圖3(b)分別表示α=8/11和α=14/11時(shí)，不同系統(tǒng)阻尼時(shí)系統(tǒng)位移的響應(yīng)曲線。討論了臨界阻尼的作用，當(dāng)α=8/11系統(tǒng)阻尼大于等于臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)指數(shù)收斂，且看出c＞cc時(shí)收斂速度小于臨界阻尼時(shí)的收斂速度，c＜cc時(shí)雖然響應(yīng)快，但是有明顯的振蕩。當(dāng)α=14/11系統(tǒng)阻尼大于等于臨界阻尼時(shí)表現(xiàn)出來的響應(yīng)和α=8/11時(shí)有一定的區(qū)別，雖然取了臨界阻尼但是存在小幅度的超調(diào)量，也印證了圖2中α=14/11的曲線現(xiàn)象，α=8/11，c＜cc時(shí)一樣有明顯的振蕩。

圖4是在階躍力激勵(lì)作用下，不同α?xí)r系統(tǒng)位移響應(yīng)，同樣可以看出α∈（0，1]時(shí)，取臨界阻尼時(shí)系統(tǒng)沒有振蕩，而α∈（1，2）系統(tǒng)有振蕩。

圖3 在初始位移（0.001m）激勵(lì)下的系統(tǒng)位移響應(yīng)

圖4 不同α?xí)r系統(tǒng)位移階躍響應(yīng)

綜合上述可以得出一個(gè)結(jié)論，對(duì)于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)采用阻尼項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階階次α∈（0，1]，阻尼系數(shù)采用臨界阻尼cc，可使振動(dòng)系統(tǒng)有效的避免振蕩；當(dāng)α∈（1，2），該項(xiàng)表現(xiàn)出既有阻尼又有剛性的作用，此時(shí)系統(tǒng)在理論臨界阻尼時(shí)也有振蕩，因此無法避免振蕩，但可以通過設(shè)計(jì)小于臨界阻尼的阻尼，使系統(tǒng)振動(dòng)盡量小。

2 動(dòng)力吸振器的分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律設(shè)計(jì)

2.1 動(dòng)力吸振器建模和解耦

圖5 動(dòng)力吸振器模型

根據(jù)牛頓第二定律可得動(dòng)力吸振器的動(dòng)力學(xué)模型：

m1、m2為主系統(tǒng)、吸振器的質(zhì)量，k1、k2分別為主系統(tǒng)、吸振器的剛度，c1、c2分別為主系統(tǒng)、吸振器的阻尼，u為控制輸入，f(t)為主系統(tǒng)上受到的干擾。

根據(jù)式(12)改寫為如下矩陣形式：

其中質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻矩陣尼、控制矩陣及干擾矩陣如下表示：

假設(shè)Φ為該系統(tǒng)的特征向量矩陣，令X=Φη，并代入式(14)得：

如果C為對(duì)角陣，則系統(tǒng)可以完全解耦，現(xiàn)實(shí)中大部分系統(tǒng)的阻尼是無法完全解耦的，本文的動(dòng)力吸振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)下也無法得到對(duì)角陣，因此這里根據(jù)主對(duì)角線占優(yōu)[19]的方法來設(shè)計(jì)系統(tǒng)阻尼，即主對(duì)角線元素絕對(duì)值之和大于次對(duì)角線元素絕對(duì)值之和，從而忽略阻尼矩陣次對(duì)角線上的，則阻尼矩陣轉(zhuǎn)化為對(duì)角陣C=diag（Cp1，Cp2），從而系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)近似解耦，下節(jié)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律以此近似模型來推導(dǎo)。

當(dāng)然這里必須討論下忽略次對(duì)角線線元素帶來的誤差大小。為了分析近似解耦模型和原模型之間的誤差大小，假設(shè)系統(tǒng)沒有外界激勵(lì)和控制輸入，則式(15)可以表示如下形式。

根據(jù)式(12)和式(16)、式(17)分別繪制在相同初始條件下，近似系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)響應(yīng)曲線的對(duì)比圖如圖6所示，主系統(tǒng)的位移和速度響應(yīng)圖如圖6(a)、圖6(b)所示。從圖中可以看出近似系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)的位移和速度存在誤差，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)和近似系統(tǒng)在5秒里的主系統(tǒng)位移和速度的比較分析如表1所示，從表中可以兩個(gè)系統(tǒng)的均值和均方差存在一定的誤差，但是還可以看出兩個(gè)系統(tǒng)位移、速度之差絕對(duì)值的均方差的數(shù)量級(jí)比原系統(tǒng)的均方差小兩個(gè)數(shù)量級(jí)左右，說明利用近似模型來進(jìn)行設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階臨界阻尼是有一定精度保證的。

2.2 分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律設(shè)計(jì)

根據(jù)2.1的推導(dǎo)，可將動(dòng)力吸振器系統(tǒng)進(jìn)行近似解耦，看成兩個(gè)獨(dú)立的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，因此根據(jù)第2部分的單自由度分?jǐn)?shù)階臨界阻尼的理論分析，對(duì)其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律設(shè)計(jì)。動(dòng)力吸振器的分?jǐn)?shù)階臨界阻尼項(xiàng)，具體形式如下所示。

圖6 近似系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)響應(yīng)曲線的對(duì)比圖

表1 主系統(tǒng)位移與速度均值和均方差

其中Cpd為控制輸入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)，代入式(15)有：

根據(jù)第2部分，單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階臨界阻尼推導(dǎo)，同理可推得動(dòng)力吸振器分?jǐn)?shù)階臨界阻尼的關(guān)系式如下:

對(duì)式(21)求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，得到：

將其代入式(21)，可得到最優(yōu)臨界阻尼系數(shù)cc，因此控制律中阻尼項(xiàng)系數(shù)Cpd=cc=diag（Cpdi），i=1，2，而且控制律中還有一個(gè)比例系數(shù)Kpd，這里考慮主系統(tǒng)為不可調(diào)參的固定系統(tǒng)，因此其中的Kpd1取0，只需要調(diào)節(jié)另一個(gè)Kpd2就可以快速尋到最優(yōu)參數(shù)。

最后將X=Φη代入U(xiǎn)得分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律：

由于式(23)中的ΦTR不是方陣，所以這里用(ΦTR)+表示廣義逆矩陣。

3 仿真試驗(yàn)分析

動(dòng)力吸振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)：m1=50kg，m2=10kg，k1=15000N/m，k2=8000 N/m，c1=800，c2=400。首先分析Kpd=0時(shí)，即控制律中只有一項(xiàng)分?jǐn)?shù)階臨界阻尼項(xiàng)進(jìn)行控制，來分析分?jǐn)?shù)階階次α和其系數(shù)Cpd對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)大小的影響。

圖7和圖8分別為當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次分別為8/11，1，14/11的分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制和當(dāng)時(shí)的被動(dòng)控制。在階躍幅值為0.1干擾激勵(lì)下主系統(tǒng)的位移響應(yīng)和在采樣周期為0.1s，功率0.001的白噪聲干擾激勵(lì)下主系統(tǒng)的位移響應(yīng)。

圖7 主系統(tǒng)的階躍位移響應(yīng)

圖8 不同α?xí)r主系統(tǒng)的白噪聲位移響應(yīng)

從圖7中可以看出，沒有補(bǔ)償阻尼項(xiàng)的被動(dòng)控制最敏感且振動(dòng)幅度最大，分?jǐn)?shù)階階次取8/11時(shí)上升時(shí)間最大，5秒后振動(dòng)幅度最低。從圖8中白噪聲激勵(lì)干擾下同樣可以看出，普通的整數(shù)階臨界阻尼效果比階次大于1和被動(dòng)控制時(shí)的效果好，但是分?jǐn)?shù)階階次8/11的性能明顯比整數(shù)階時(shí)更好，說明本文提出的設(shè)計(jì)方法，只要合理選擇分?jǐn)?shù)階階次和其對(duì)應(yīng)的臨界阻尼，就可以進(jìn)一步提升減振效果，印證了上一部分的結(jié)論。

進(jìn)一步分析在臨界阻尼附近的特性，選擇分?jǐn)?shù)階階次為8/11，阻尼取0.5cc、cc和1.5cc時(shí)，比較其減振效果。圖9為不同阻尼時(shí)主系統(tǒng)的白噪聲響應(yīng)，其中圖9(a)、圖9(b)分別為當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次8/11時(shí)的采用不同阻尼時(shí)的主系統(tǒng)和吸振器位移比較圖。從圖中可以看出，取小于分?jǐn)?shù)階臨界阻尼振動(dòng)波動(dòng)大，而且發(fā)現(xiàn)大于分?jǐn)?shù)階臨界阻尼時(shí)，減振效果提升的幅度很小，說明取0～1之間滿足分?jǐn)?shù)階臨界阻尼條件的數(shù)，就可以有效的提升系統(tǒng)減振性能，而不需要進(jìn)行復(fù)雜的在線優(yōu)化，而且滿足該條件的數(shù)有限，使動(dòng)力吸振器的控制律參數(shù)設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)潔。

圖9 不同阻尼時(shí)主系統(tǒng)的白噪聲響應(yīng)

圖10 當(dāng)α=8/11時(shí)，不同比例系數(shù)時(shí)的簡(jiǎn)諧響應(yīng)

當(dāng)然本文提出的控制律還有比例控制項(xiàng)，即當(dāng)Kpd不等于0時(shí)，從式(21)看出，通過調(diào)節(jié)其大小可以改變臨界阻尼的大小，同時(shí)還從式(20)看出，會(huì)改變系統(tǒng)的固有頻率大小，從而改變吸振器的減振效果。這里繪制了當(dāng)激勵(lì)為0.1sin(ωt)，ω為主系統(tǒng)的固有頻率，α=8/11；Kpd1=0；Kpd2=0，Kpd2=1000，Kpd2=2000時(shí)的對(duì)比分析，如圖10所示，可以看出當(dāng)Kpd1=0；Kpd2=0時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)幅度最大，而通過調(diào)節(jié)吸振器的比例控制系數(shù)，避開主系統(tǒng)固有頻率，從而在合理選擇α的基礎(chǔ)上進(jìn)一步有效的降低了主系統(tǒng)的振動(dòng)幅度。

4 結(jié)語

本文給出了單自由度振動(dòng)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階臨界阻尼存在條件，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了動(dòng)力吸振器的減振控制研究，得出以下結(jié)論。

1）通過對(duì)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在初始干擾下的振動(dòng)分析，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階階次變化體現(xiàn)出一些特殊物理意義，當(dāng)阻尼項(xiàng)分?jǐn)?shù)階階次α∈（0，1）時(shí)，阻尼材料具有粘彈性特性通過調(diào)節(jié)α使粘性和彈性特性比重進(jìn)行調(diào)節(jié)，α=1時(shí)就是傳統(tǒng)的粘彈性材料特性，而當(dāng)α∈（1，2）時(shí)，該項(xiàng)表現(xiàn)出材料既有粘性又有剛性的特性，當(dāng)然也可以調(diào)節(jié)α使粘性和剛性特性比重進(jìn)行調(diào)節(jié)。

2）采用主對(duì)角線占優(yōu)原則對(duì)動(dòng)力吸振器模型進(jìn)行解耦和誤差分析，近似模型引起的誤差較小，下一結(jié)論驗(yàn)證了方法的有效性。

3）利用近似模型設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階臨界阻尼控制律，并在實(shí)際模型進(jìn)行試驗(yàn)是有效的，而且該控制律參數(shù)選取方便。（參數(shù)選取步驟：取小于1同時(shí)滿足分?jǐn)?shù)階臨界阻尼條件時(shí)的分?jǐn)?shù)階階次α，然后通過調(diào)節(jié)控制律中的吸振器對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)Kpd2，最后根據(jù)式(21)、式(22)計(jì)算得到分?jǐn)?shù)階臨界阻尼系數(shù)cc）。