用GeoGebra軟件探析2017年高考全國卷Ⅱ理綜第18題

陳 林 桑芝芳

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215000)

磁場動(dòng)態(tài)圓問題一直都是教學(xué)中的難點(diǎn)，主要是因?yàn)閷W(xué)生在腦海中不易形成準(zhǔn)確、清晰的旋轉(zhuǎn)、縮放動(dòng)態(tài)情境，無法準(zhǔn)確地描繪出粒子軌跡圓的運(yùn)動(dòng)情境，很難找到對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)，無法建立正確的物理模型[1].

而在GeoGebra中，可以將粒子運(yùn)動(dòng)形成的軌跡圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放，直觀地展示和分析磁場中的軌跡圓問題.

1 軟件介紹

掌握現(xiàn)代教育技術(shù)是每個(gè)新時(shí)代教師必備的技能.GeoGebra是一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，具有極佳的動(dòng)態(tài)性，非常適用于演示數(shù)學(xué)、物理、工程上面的很多現(xiàn)象和知識(shí)，而且不需編程基礎(chǔ)，簡單易學(xué)易入門，適用于教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)，以及其他領(lǐng)域的應(yīng)用.如圖1所示是GeoGebra軟件的界面，打開可以看到代數(shù)區(qū)、幾何區(qū)、工具欄，還可以根據(jù)需要自由選擇運(yùn)算區(qū)、3D 繪圖區(qū)、表格區(qū)等，是一個(gè)分區(qū)簡潔、功能強(qiáng)大、操作簡單的動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件[2].同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能，包括幾何畫板所有功能、兼具Excel常用功能和Flash部分功能.值得一提的是GeoGebra支持跨平臺(tái)使用，能在電腦、手機(jī)、平板、網(wǎng)頁上運(yùn)行.

圖1 GeoGebra軟件界面

2 題目分析

圖2 例2題圖

2.1 解析

設(shè)速率為v1的粒子最遠(yuǎn)出射點(diǎn)為M，速率為v2的粒子最遠(yuǎn)出射點(diǎn)為N，如圖3所示，由幾何知識(shí)可得

圖3 解析圖

所以

由

所以

答案選擇C.

2.2 問題反思

此題是帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，解題時(shí)關(guān)鍵是要畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡草圖，知道能出射到最遠(yuǎn)處時(shí)對(duì)應(yīng)的是軌跡圓直徑，再結(jié)合幾何關(guān)系求解，是一道經(jīng)典的高中物理磁場軌跡圓問題[3].

問題3：不理解出射區(qū)域最遠(yuǎn)處時(shí)對(duì)應(yīng)的是軌跡圓直徑？

針對(duì)以上問題，筆者發(fā)現(xiàn)通過板書作圖很難解決學(xué)生心中疑惑，主要是難以將粒子運(yùn)動(dòng)軌跡變化的動(dòng)態(tài)過程很好地展示出來，而GeoGebra的追蹤軌跡功能和動(dòng)態(tài)演示功能可以很好地解決此教學(xué)難點(diǎn)[4].

3 GeoGebra動(dòng)態(tài)演示

3.1 設(shè)計(jì)思路

圖4 利用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示粒子的出射區(qū)域

圖5 隱藏圖4中磁場圓外部的圓弧

在學(xué)生理解出射最遠(yuǎn)處時(shí)對(duì)應(yīng)的是軌跡圓直徑之后，如圖6所示.改變速度大小，即改變軌跡圓半徑，使最遠(yuǎn)點(diǎn)落在靠近P點(diǎn)的磁場圓三等分點(diǎn)處(六等分點(diǎn)處也可以，本文此處是為了效果更明顯).經(jīng)過上述過程，學(xué)生基本可以理解問題1到問題3，而且通過幾何作圖可以得到軌跡圓半徑r和磁場圓半徑R之間的關(guān)系，如圖7所示.

圖6 出射點(diǎn)分布在圓周上時(shí)的出射最遠(yuǎn)處

圖7 利用圖形關(guān)系得到軌跡圓半徑r與磁場圓半徑R的關(guān)系

圖8 問題4解決示意圖

3.2 GeoGebra操作步驟

(1)作磁場圓.在(2,0)作點(diǎn)O，然后在輸入欄輸入：circle(O,2).(0,0)處重命名為P點(diǎn).

(2)作粒子軌跡圓.在輸入欄輸入：circle(P，r)，作圓P(此為粒子軌跡圓圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡)，選擇“圓弧”工具，只選擇圓P右半部份圓(此為模擬速度方向在-y到y(tǒng)方向之間).在圓P右半部份任取一點(diǎn)v,選擇“向量”工具，過P點(diǎn)作速度v；選擇“垂線”工具，過P點(diǎn)作v的垂線，在垂線上任取一點(diǎn)C，PC長為r；在輸入欄輸入：circle(C，r)，作圓C，此即為粒子軌跡圓.拖動(dòng)速度v旋轉(zhuǎn)即可看到軌跡圓在旋轉(zhuǎn).取軌跡圓與磁場圓交點(diǎn)為D，右擊設(shè)置D點(diǎn)“顯示蹤跡”，則可看到交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的痕跡，即為粒子出射區(qū)域,如圖9所示.

圖9 粒子軌跡圓

圖10 確定圓弧

這時(shí)候再根據(jù)圖中幾何關(guān)系求出

圖11 確定圓弧

本題的難點(diǎn)就在于要把物理的動(dòng)態(tài)過程用幾何圖像反映出來，一旦有了清晰的幾何圖像，物理問題就能很快求解出來[5].

4 思維進(jìn)階

以上兩種情形，雖說既有旋轉(zhuǎn)圓，又有縮放圓，但縮放圓是從v1直接到v2，如果發(fā)射出的粒子，速度大小方向都不一樣，他們的軌跡圓最終情形是如何呢？ 在GeoGebra中只需要讓速度方向v和對(duì)應(yīng)的軌跡圓半徑r同時(shí)變化即可，設(shè)置軌跡圓“顯示蹤跡”，便可以觀察到如圖12所示情景.

圖12 速度v與半徑r同時(shí)變化

5 結(jié)束語

一道物理問題的求解，離不開清晰的物理過程，也離不開有力的數(shù)學(xué)工具的輔助.

這道2017年高考全國卷的題目，看似簡單的背后，其實(shí)考察了學(xué)生的推理能力、作圖能力，對(duì)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)分析和動(dòng)態(tài)軌跡想象能力有著較高的要求.GeoGebra由于其簡單易學(xué)，功能強(qiáng)大，且不需要編程背景，在物理教學(xué)中給教師和學(xué)生們帶來了極大的便利，尤其是在帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)這一章節(jié)，利用GeoGebra中的動(dòng)態(tài)功能，將磁場中的“旋轉(zhuǎn)圓”“縮放圓”問題制作成課件，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)可視化、更有體驗(yàn)感的教學(xué)情境，可大大降低學(xué)生的理解難度和教師的教學(xué)難度，且更有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，達(dá)到事半功倍的效果.