無(wú)巧不成錐*
——一道課本習(xí)題的再探討

江蘇省蘇州市蘇州學(xué)府中學(xué)(215000) 蔣惠麗

本文對(duì)蘇教版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)課本第86 頁(yè)“圓錐的側(cè)面積”中的一道習(xí)題作了探討,并得到一些結(jié)論,供各位同仁在設(shè)計(jì)與該題相關(guān)的“拓展與延伸”教學(xué)時(shí)參考.

1 原題展示

(1)求這個(gè)扇形的面積(結(jié)果保留π);

(2)用所剪的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,能否從剪下的3 塊余料中選取一塊,剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面?[1]

圖1

圖2

2 思路呈現(xiàn)

對(duì)學(xué)生而言,本題還是有一定難度的.解決本題的關(guān)鍵是抓住能夠圍成圓錐的側(cè)面與底面的關(guān)系——扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng).根據(jù)題目所給條件,不難算出扇形的半徑為2,扇形的弧長(zhǎng)=×2π=π,下面就是考慮剪下的3 塊余料中選取哪一塊,我們考慮底面圓的直徑,如圖2,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,延長(zhǎng)OD交⊙O于點(diǎn)E,同時(shí)延長(zhǎng)AO交弧BC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)G,容易求得線段DE的長(zhǎng)度為-1,線段FG的長(zhǎng)度為-2,顯然FG＞DE,那么可剪的最大的圓的直徑為-2,周長(zhǎng)為因此不能剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面.

3 拓展思考

我們已知道,當(dāng)扇形圓心角為90°時(shí),不能從3 塊余料中剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面,那么究竟當(dāng)扇形圓心角為多少度時(shí)就可以呢?圍繞這個(gè)問(wèn)題,我們可以展開(kāi)一些探索活動(dòng).如圖3所示,為了計(jì)算方便,不妨假設(shè)圓心角為2θ(0°＜θ＜90°),⊙O的半徑為1.與90°的情形類似,如圖4,連接AO,根據(jù)圖形的對(duì)稱性可得∠OAB=θ.我們把線段DE的長(zhǎng)度記為d1,線段FG的長(zhǎng)度記為d2,d1、d2究竟誰(shuí)大呢?下面我們把d1、d2用含θ的代數(shù)式表示出來(lái),通過(guò)比較再作判斷.

在RtΔOAD中,∠OAB=θ,OA=1,解這個(gè)直角三角形得AD=cosθ,OD=sinθ,從而可知扇形ABC的半徑為2 cosθ,d1=1-sinθ;另一方面,d2=AG-AF=2-2 cosθ.我們利用作差比較d1和d2的大小關(guān)系,令Δd(θ)=d1-d2,那么Δd(θ)=(1-sinθ)-(2-2 cosθ)=2 cosθ-sinθ-1,因?yàn)棣′(θ)=-2 sinθ-cosθ＜0,所以Δd(θ)是關(guān)于θ的單調(diào)遞減函數(shù),即Δd(θ)隨著θ的增大而減小,因此我們只要找到函數(shù)Δd(θ)的零點(diǎn)即可.

不妨設(shè)Δd(θ0)=2 cosθ0-sinθ0-1=0,利用GeoGebra 軟件求方程的近似解,可求得滿足條件的θ0≈36.7°.從而,當(dāng)0°＜θ＜θ0時(shí),d1＞d2,圓錐底面圓的直徑最大可取d1;當(dāng)θ0＜θ＜90°時(shí),d1＜d2,圓錐底面圓的直徑最大可取d2;當(dāng)θ=θ0時(shí),d1=d2,圓錐底面圓的直徑最大可取d1或d2.

圖3

圖4

接下來(lái),我們研究當(dāng)θ為何值時(shí),剩下3 塊余料中剪出的一個(gè)圓能否作為這個(gè)圓錐的底面?

當(dāng)θ=θ0時(shí),d1=d2=1-sinθ0≈0.4,扇形的半徑AB=2 cosθ0≈1.6,弧BC的長(zhǎng)度≈×1.6=0.65π,而底面圓周長(zhǎng)最多為0.4π＜0.65π,因此當(dāng)扇形圓心角為2θ0時(shí),剩下3 塊余料中剪出的一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面.

當(dāng)0°＜θ＜θ0時(shí),d1＞d2,d1=1-sinθ,扇形的半徑AB=2 cosθ,弧BC的長(zhǎng)度=×2 cosθ=而底面圓周長(zhǎng)最多為(1-sinθ)π,若要剪出的圓可以作為這個(gè)圓錐的底面,必須滿足底面圓周長(zhǎng)=弧BC的長(zhǎng)度,因此有(1- sinθ)π ≥當(dāng)θ≈θ1＜θ0時(shí),(1-sinθ)π=為了畫圖方便,把45°轉(zhuǎn)化成弧度觀察GeoGebra 中得到的函數(shù)圖像,如圖5,θ1≈27.5°,而且當(dāng)0＜θ≤θ1時(shí),(1-sinθ)π ≥即余料部分可以剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面.

圖5

圖6

同理,當(dāng)θ0＜θ＜90°時(shí),d1＜d2,d2=2-2 cosθ,扇形的半徑AB=2 cosθ,弧BC的長(zhǎng)度=×2 cosθ=而底面圓周長(zhǎng)最多為(2-2 cosθ)π,若要剪出的圓可以作為這個(gè)圓錐的底面,必須滿足底面圓周長(zhǎng)=弧BC的長(zhǎng)度,因此有(2- 2 cosθ)π ≥當(dāng)θ≈θ2＞θ0時(shí),(1- sinθ)π=觀察GeoGebra中得到的函數(shù)圖像,如圖6,θ2≈50°,而且當(dāng)θ2≤θ＜90°時(shí),(2-2 cosθ)π ≥即余料部分可以剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面.

綜上所述,我們知道當(dāng)0°＜θ≤θ1或θ2≤θ＜90°(其中θ1≈27.5°,θ2≈50°)時(shí),在被剪掉的3 塊余料中,能從中選取一塊剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面.

4 延伸思考

從實(shí)用價(jià)值的角度來(lái)考慮,圓錐通常要考慮表面積一定時(shí)體積最大,或者體積一定時(shí)表面積最小,那么在這張半徑為1 的圓形紙片中,怎樣才能用所剪的扇形紙片圍成一個(gè)體積最大的圓錐呢?我們考慮圓錐的體積V=πr2h,其中,r表示圓錐底面圓半徑,h表示圓錐的高.

當(dāng)θ取定時(shí),如果在被剪掉的3 塊余料中,能從中選取一塊剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面,與之對(duì)應(yīng)的r也是唯一確定的,r=根據(jù)勾股定理知h=此時(shí)圓錐的體積可以表示為

圖7

如圖7,我們從函數(shù)圖像中可以看出,當(dāng)0°＜θ≤θ1(其中θ1≈27.5°) 時(shí),V(θ) 在θ=θ1時(shí)取得最大值;當(dāng)θ2≤θ＜90°(θ2≈50°) 時(shí),V(θ) 在θ=θ2時(shí)取得最大值.我們只要比較即可得出θ取何值時(shí),圓錐的體積可以取得最大值.