托盤天平底板不調(diào)節(jié)水平會(huì)影響測(cè)量結(jié)果嗎

安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652) 王偉民安徽省太和縣教育局物理教研室(236600) 韓自理

(1)天平平衡時(shí)右盤砝碼和游碼位置如圖1甲所示，則石塊的質(zhì)量為________g。

(2)為了測(cè)量石塊的體積，小李同學(xué)先往量筒中加入一定量的水，如圖1乙所示，他的操作合理嗎？為什么？答：_______。

(3)4個(gè)小組測(cè)量出的石塊密度見表1。

表1 石塊密度

其中錯(cuò)誤的是第________組的測(cè)量結(jié)果。

(4)對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行評(píng)估時(shí)，下列分析正確的是________。

A.放置天平的操作臺(tái)面不水平，測(cè)出的質(zhì)量偏大

B.放置天平的操作臺(tái)面不水平，測(cè)出的質(zhì)量偏小

C.先測(cè)石塊體積，后測(cè)石塊質(zhì)量，測(cè)出的密度偏小

D.先測(cè)石塊體積，后測(cè)石塊質(zhì)量，測(cè)出的密度偏大

這道中考物理實(shí)驗(yàn)題目的第4小問是一道選擇題目(單選題)，參考答案給出的結(jié)果是選項(xiàng)D(當(dāng)然，根據(jù)題目給出的條件，選項(xiàng)D的正確性很容易進(jìn)行判斷)，對(duì)于選項(xiàng)A和B淘汰掉的理由，筆者沒有找到，網(wǎng)上百度的結(jié)果是一致的(多數(shù)教師也是持這樣的觀點(diǎn))——天平橫梁是等臂杠桿，若天平底板沒調(diào)節(jié)水平，只要使用之前調(diào)節(jié)至橫梁指針指在分度盤的中央，那么測(cè)量物體質(zhì)量過程中當(dāng)橫梁指針也指在分度盤中央位置而重新平衡時(shí)(此時(shí)的橫梁是傾斜平衡，橫梁重力的作用線過支點(diǎn))，利用相似三角形知識(shí)可以判斷，它依然是一個(gè)等臂杠桿，所以測(cè)量結(jié)果依然是準(zhǔn)確的。

眾所周知，天平是測(cè)量物體質(zhì)量相對(duì)比較精密的測(cè)量工具。無論是物理天平還是托盤天平，按要求在使用之前都必須進(jìn)行天平的調(diào)節(jié)，首先調(diào)節(jié)底板，使底板水平，然后調(diào)節(jié)橫梁，使其水平平衡。物理天平的調(diào)節(jié)通常是嚴(yán)格按這一要求進(jìn)行的(底板的水平是通過調(diào)節(jié)底板上4個(gè)角處的4個(gè)螺釘來進(jìn)行)，而對(duì)托盤天平來說，第一步底板水平的調(diào)節(jié)往往非常地隨意——將托盤天平放在水平臺(tái)面即可——這里的“水平臺(tái)面”只需眼睛看著水平，無需認(rèn)真仔細(xì)地調(diào)節(jié)，難道底板是否水平對(duì)天平測(cè)量物體質(zhì)量的結(jié)果真的沒有影響？

我們有必要從托盤天平的構(gòu)造說起。

1 托盤天平的構(gòu)造

圖2為托盤天平內(nèi)部構(gòu)造示意圖。天平橫梁上有3個(gè)固定于橫梁上的刀口ABO，中間的刀口O尖端朝下，放在中間的支柱上(支柱固定于天平的底座上)，整個(gè)橫梁可以繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。兩邊的2個(gè)刀口A和B尖端朝上，左右2個(gè)天平盤下面的支架架在兩個(gè)刀口上，使得天平盤支架可以繞這2個(gè)刀口旋轉(zhuǎn)。這2個(gè)刀口也是天平盤對(duì)橫梁壓力的作用點(diǎn)。中間支柱的下方鉸鏈2個(gè)連桿ED和EC，2個(gè)連桿可以繞E點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，2個(gè)天平支架的下面通過2個(gè)豎著的立柱AD和BC鉸鏈于2個(gè)連桿的兩端，這樣，當(dāng)橫梁繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩邊的托盤均可保持水平。因?yàn)樗倪呅蜛DEO和四邊形BCEO均為平行四邊形(近似的平行四邊形)。所以在托盤或橫梁繞刀口轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，立柱AD和BC都與中間的立柱OE平行。

2 橫梁傾斜時(shí)不再是等臂杠桿

如果橫梁上的3個(gè)刀口共線的話，那么，橫梁無論是水平的還是傾斜的，它都應(yīng)該是等臂杠桿，而實(shí)際上，幾乎所有的托盤天平橫梁上的3個(gè)刀口都不共線——中間的刀口在兩邊刀口連線的上方，中間刀口到兩邊刀口連線的距離通常是2.5 mm左右，生產(chǎn)廠家這樣設(shè)計(jì)天平的目的，是為了使天平在橫梁調(diào)節(jié)(包括使用之前橫梁的水平調(diào)節(jié)和測(cè)量過程中橫梁的水平調(diào)整)過程中，橫梁能夠維持穩(wěn)定平衡，否則，如果3個(gè)刀口共線，且橫梁重心剛好在中間刀口的話，天平橫梁的平衡將是隨遇平衡，這種情形下橫梁指針不會(huì)在分度盤中線附近擺動(dòng)的，我們將很難調(diào)節(jié)天平橫梁的平衡；若中間的刀口在兩邊刀口連線的下方，則橫梁的平衡將是不穩(wěn)定平衡，實(shí)際操作中不可能調(diào)節(jié)至橫梁水平平衡的，即使“碰巧”調(diào)節(jié)至橫梁水平平衡了，只要有輕微的擾動(dòng)，比如，人呼出的氣體吹到了橫梁，橫梁都會(huì)失去原來的水平平衡而向一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的(不是擺動(dòng)，而是失去平衡的轉(zhuǎn)動(dòng))，就如同切菜刀刀尖沖下豎直立于瓷磚地板上很難維持平衡一樣。

在天平左右兩盤盛放物體(或砝碼)橫梁水平平衡時(shí)，不考慮橫梁本身的重力(開始調(diào)節(jié)橫梁水平平衡，就已經(jīng)使得橫梁重力的作用線經(jīng)過中間的刀口了。以對(duì)橫梁繞中間刀口轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，當(dāng)橫梁水平時(shí)，橫梁重力不產(chǎn)生對(duì)橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)的影響)，橫梁受力情形如圖3所示，這種情形下，天平是等臂杠桿——杠桿兩端所受壓力的力臂均為兩邊刀口之間距離(即線段AB長度)的一半。

當(dāng)橫梁傾斜時(shí)，比如，橫梁繞中間的刀口逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，為方便分析，假設(shè)橫梁旋轉(zhuǎn)到中間刀口與右邊刀口的連線成水平狀態(tài)的位置時(shí)，如圖4所示，此時(shí)，天平橫梁右端刀口所受壓力的力臂等于兩邊刀口旋轉(zhuǎn)而得到圓的半徑(即圖4乙中的線段OB′)，而橫梁左端刀口所受壓力的力臂是圖4乙中的線段OC的長度(C為A′點(diǎn)在水平線上的正投影)，小于圓的半徑，天平一定不是等臂杠桿——左臂短，右臂長。

因?yàn)樽笥业犊谒軌毫ο鄬?duì)于支點(diǎn)(即中間刀口)力臂的比值與1差別越大，由于力臂不等而引起的測(cè)量誤差便越大，所以，我們不妨從理論上推導(dǎo)一下橫梁旋轉(zhuǎn)不同角度時(shí)2個(gè)力臂比值的變化情況。

如圖5所示，橫梁水平時(shí)(不考慮橫梁重力的影響)，三刀口分別位于A、O、B三點(diǎn)，顯然，AB兩點(diǎn)的連線水平，設(shè)AO與水平面的夾角為α，當(dāng)橫梁繞刀口逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)x角度后，左右兩邊的刀口分別旋轉(zhuǎn)至A′和B′點(diǎn)，設(shè)右邊力臂與左邊力臂的比值為k，則有：

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：

由圖5可知，當(dāng)橫梁旋轉(zhuǎn)至OA豎直位置時(shí)(實(shí)際的橫梁不可能旋轉(zhuǎn)那么大的角度，我們僅僅是從理論上推理一下極限位置時(shí)，兩邊力臂比值的變化情況)，左邊的力臂為0，右邊力臂不為0，所以，k將變得無窮大。而由上式可知，只要橫梁旋轉(zhuǎn)的角度α≠0，k′均大于0，函數(shù)無駐點(diǎn)，所以，在橫梁按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，右邊力臂與左邊力臂的比值一直增大。

這就是說，如果托盤天平開始底板不調(diào)節(jié)水平的話，天平使用之前橫梁調(diào)節(jié)至橫梁指針指在分度盤的中間位置，在測(cè)量物體質(zhì)量時(shí)通過增減砝碼和移動(dòng)游碼的方法仍將橫梁指針調(diào)至分度盤的中間位置，測(cè)量所得的結(jié)果肯定存在誤差，而且誤差會(huì)隨著天平底板傾斜角度的增大而增加。

我們計(jì)算一下天平底板實(shí)際不水平而眼睛看不出它的傾斜狀況下誤差的大小。

通常情況下，當(dāng)一個(gè)平面與水平面的夾角達(dá)到x=3°時(shí)即可看出該面是傾斜的(即肉眼可以看出該面不水平)，我們以天平底板與水平面夾角x=3°的情形為例，看當(dāng)天平橫梁在測(cè)量之前已經(jīng)調(diào)節(jié)“水平”(即左右盤沒放東西，橫梁指針調(diào)至分度盤中間位置)的情況下，稱量物體橫梁也“水平”時(shí)，由于天平不等臂而引起的測(cè)量相對(duì)誤差的大小。

由上面推理出的等式可知，當(dāng)天平橫梁由原來的水平位置逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)x=3°時(shí)，右邊力臂與左邊力臂的比值k為：

由杠桿平衡條件可知，此時(shí)測(cè)量的相對(duì)誤差只有大約千分之四——質(zhì)量為50 g的物體因?yàn)榈装鍥]有嚴(yán)格調(diào)節(jié)水平(底板傾角3°時(shí))而引起的測(cè)量誤差大約0.2 g，基本可以忽略。所以，托盤天平使用之前底板水平的調(diào)節(jié)不需要非常嚴(yán)格，只需放在水平桌面(看似水平)即可。

再看底板傾角比較大的情形。不妨設(shè)底板傾角為x=20°(肯定是人為的，而且眼睛能夠明顯看出來底板的傾斜)。

由杠桿平衡條件知，這種情形下測(cè)量的相對(duì)誤差約為3%，質(zhì)量為50 g的物體因?yàn)榈装宓膬A斜而引起的測(cè)量誤差已達(dá)到1.5 g，顯然，這種測(cè)量結(jié)果已經(jīng)從誤差而“演變”為錯(cuò)誤了。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

筆者曾刻意的將托盤天平底板傾斜一定的角度進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)——如圖6甲所示，水平桌面上在托盤天平底板下的左端墊上火柴盒，使底板呈左高右低的狀況，將游碼移至橫梁標(biāo)尺的0刻度線后，調(diào)節(jié)橫梁兩端的平衡螺母，使橫梁指針指在分度盤的中央位置，顯然，此時(shí)天平衡量是傾斜平衡的——既然已經(jīng)平衡，那么，橫梁重力的作用線一定過支點(diǎn)(即中間刀口)，在后續(xù)測(cè)量物體質(zhì)量的過程中，只要橫梁調(diào)節(jié)到與這同樣狀態(tài)的平衡(橫梁指針指在分度盤的中央位置)，橫梁重力一定不影響橫梁的平衡。接下來將2個(gè)相同質(zhì)量的物體(筆者用的是2個(gè)50 g的砝碼)分別放在天平的左右兩盤，發(fā)現(xiàn)橫梁不在原來位置平衡，橫梁指針偏向分度盤的左方，如圖6乙所示。然后移動(dòng)游碼，當(dāng)游碼移至0.8 g刻度線右側(cè)一點(diǎn)位置時(shí)，橫梁指針指在分度盤的中央位置，如圖6丙所示。顯然，這種情形相當(dāng)于不考慮橫梁重力和游碼重力，右盤有50.8 g的物體與左盤50 g的物體相平衡。之后，將托盤左右兩盤中的物體質(zhì)量各增加一倍，由50 g增為100 g，發(fā)現(xiàn)將游碼右移至1.7 g位置時(shí)，橫梁指針指在分度盤的中央位置，如圖6丁所示。圖6丙中游碼對(duì)應(yīng)的位置跟0.85 g非常接近，而1.7 g剛好為0.85 g的2倍——這一看似“巧合”的倍數(shù)關(guān)系正是對(duì)我們前面理論分析所得結(jié)論非常有力的實(shí)驗(yàn)佐證，這說明，托盤天平在圖6甲、乙、丁幾種狀態(tài)下(即天平橫梁以相同的角度傾斜時(shí))，相當(dāng)于中間的刀口(杠桿支點(diǎn))，天平左右兩盤對(duì)刀口壓力的力矩比不是1(即此時(shí)的天平不是等臂杠桿)，而是近似為1 017∶1 000。

由此可見，對(duì)托盤天平而言，如果底板不水平對(duì)測(cè)量結(jié)果肯定有影響，只不過，如果底板傾斜的角度不大(比如只有1°～2°)，因底板不水平而引起的測(cè)量誤差非常的小，可以忽略，所以，天平在使用之前進(jìn)行調(diào)節(jié)時(shí)，底板水平的調(diào)節(jié)依然是不可或缺的一步，只是對(duì)這一步操作的要求托盤天平不像物理天平要求那么高而已(物理天平測(cè)量精度較高，其構(gòu)造與托盤天平基本一樣，也是中間刀口在兩邊刀口連線的上方，不同之處僅僅是物理天平的天平盤不是鉸鏈于立柱底端的連桿上，而是懸掛于橫梁兩邊的刀口上。若物理天平底板不嚴(yán)格調(diào)節(jié)水平，肯定會(huì)影響其測(cè)量精度的)。

4 對(duì)實(shí)驗(yàn)題目的剖析

回頭我們?cè)俜治銮懊娼o出的這道中考實(shí)驗(yàn)題目的最后一個(gè)問題。應(yīng)該說，這道選擇題題目不存在科學(xué)性方面的問題，參考答案也無可厚非——ABC三選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確。但是，網(wǎng)上有關(guān)資料對(duì)于AB兩選項(xiàng)錯(cuò)誤原因的解讀不正確，不能說選項(xiàng)AB的錯(cuò)誤是因?yàn)椴徽撎炱降装迨欠袼?，測(cè)量的結(jié)果都是準(zhǔn)確的，而應(yīng)該解讀為托盤天平底板的左端高時(shí)，測(cè)量數(shù)據(jù)偏大，天平底板的右端高時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)偏小。但題目只是告訴我們“放置天平的操作臺(tái)面不水平”，并未指明是天平哪端較高，所以，根據(jù)題目給出的條件，我們既不能判斷測(cè)量結(jié)果一定偏大，也無法判斷測(cè)量結(jié)果一定偏小。因此，這才是AB兩選項(xiàng)淘汰掉的原因。

雖然題目沒有科學(xué)性問題，但是，托盤天平的內(nèi)部結(jié)構(gòu)初中學(xué)生并不了解(相信很多教師也未必了解)，天平內(nèi)部構(gòu)造的“細(xì)節(jié)”問題并非是要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，所以，筆者以為，出題人設(shè)計(jì)這樣的實(shí)驗(yàn)題目去考初中學(xué)生是非常不合適的——因?yàn)閷W(xué)生根本不具備解釋A、B兩選項(xiàng)錯(cuò)誤原因的能力。若像網(wǎng)上分析的那樣，讓學(xué)生根據(jù)相似三角形知識(shí)去分析得出天平底板不水平時(shí)橫梁也是等臂杠桿的結(jié)論，從而將A、B兩選項(xiàng)給淘汰，雖說也能歪打正著地選對(duì)選項(xiàng)，但這樣做一方面是在“引導(dǎo)”學(xué)生犯科學(xué)性錯(cuò)誤，同時(shí)還會(huì)給學(xué)生一個(gè)不應(yīng)有的誤導(dǎo)——認(rèn)為天平底板水平的調(diào)節(jié)是天平使用中可有可無的一步操作。