四面體可展單元機(jī)構(gòu)組網(wǎng)分析

楊 斌，郭金偉，張 雷，韓 博，陳亮亮，許允斗,3

（1. 中國(guó)空間技術(shù)研究院 西安分院，西安 710100；2. 燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004；3. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004）

引 言

空間可展開結(jié)構(gòu)具有折展能力，并且可以通過使用多個(gè)預(yù)定配置和通過已知路徑的運(yùn)動(dòng)，以受控和安全的方式可預(yù)測(cè)地展開，這些特點(diǎn)使得其在航空航天領(lǐng)域獲得應(yīng)用[1-4]。大型空間可展開天線作為航空航天領(lǐng)域關(guān)鍵設(shè)備，在通信衛(wèi)星、深空探測(cè)等領(lǐng)域的成功應(yīng)用及快速發(fā)展，得到了越來越多科研機(jī)構(gòu)及學(xué)者的關(guān)注與研究，其理論技術(shù)研究日趨成熟。

一般地，大部分可展開天線均由基本模塊或基本單元通過特定連接形式形成可展開支撐機(jī)構(gòu)，然后在支撐機(jī)構(gòu)上覆蓋金屬反射網(wǎng)形成天線工作表面。近年來，國(guó)內(nèi)多所科研機(jī)構(gòu)及學(xué)者設(shè)計(jì)并研究了多種空間可展開天線機(jī)構(gòu)，取得了諸多研究成果。中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院研制的四面體單元構(gòu)架式可展開天線[5]，突破了該類型天線的展開機(jī)構(gòu)、型面成形與保持等關(guān)鍵技術(shù)。張京街[6]和關(guān)富玲等[7-10]針對(duì)四面體單元可展天線機(jī)構(gòu)、六棱柱單元可展天線機(jī)構(gòu)及單、雙層環(huán)形可展天線機(jī)構(gòu)，對(duì)其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、組網(wǎng)形式及展開運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了較為全面的分析。陳國(guó)輝等[11]設(shè)計(jì)了一種傘狀可展開天線，研究了天線在軌展開、型面及適應(yīng)性等技術(shù)難題，并將其應(yīng)用在“嫦娥4號(hào)”中繼星。哈爾濱工業(yè)大學(xué)在大型空間可展開天線的構(gòu)型設(shè)計(jì)和地面卸載方法等方面做了深入探索和大量研究工作，目前已經(jīng)成功研制出索桿式伸展臂和三棱柱單元構(gòu)架式伸展臂等多個(gè)樣機(jī)[11-14]。西安電子科技大學(xué)在星載環(huán)形及構(gòu)架式折展天線的動(dòng)力學(xué)、型面設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)仿真及參數(shù)化程序建模等方面取得了突出成果[15-16]。文獻(xiàn)[18-21]針對(duì)棱錐可展單元進(jìn)行了設(shè)計(jì)與研究。

可展機(jī)構(gòu)的組網(wǎng)方法研究關(guān)鍵在于根據(jù)可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)要求確定基本幾何單元及其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，以及單元之間的連接形式。現(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)特定可展機(jī)構(gòu)的組網(wǎng)進(jìn)行研究，如ETS-Ⅷ構(gòu)架式可展開天線[22]采用六邊形單元組合形成；“和平號(hào)”空間站應(yīng)用了四面體可展單元組網(wǎng)形成的構(gòu)架式可折展天線；AstroMesh環(huán)形桁架式可折展天線[23]，包含了多個(gè)對(duì)角位置連桿可以改變的平面折疊單元。Grünbaum等[24]研究了正規(guī)統(tǒng)一組網(wǎng)、k-規(guī)范組網(wǎng)、等邊過渡性組網(wǎng)和非邊對(duì)邊組網(wǎng)四種正多邊形的組網(wǎng)形式，對(duì)其組網(wǎng)便利條件和限制條件進(jìn)行對(duì)比研究。陳焱[25]根據(jù)Bennett機(jī)構(gòu)、Hybrid機(jī)構(gòu)和Bricard 3種傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的組網(wǎng)方式獲得了數(shù)種平面、曲面折展機(jī)構(gòu)。Tanaka等[26]以剪叉式單元作為基本單元，利用幾何方法實(shí)現(xiàn)了最小組合單元機(jī)構(gòu)的組網(wǎng)，最終得到了7種大型組網(wǎng)可展機(jī)構(gòu)。劉行[27]基于平面密鋪理論，分析了三叉Bricard機(jī)構(gòu)的兩種組網(wǎng)方式。王偉[28]分別基于單個(gè)獨(dú)立的Bennett機(jī)構(gòu)與剪叉式組合Bennett機(jī)構(gòu)組網(wǎng)設(shè)計(jì)單自由度模塊和多自由度模塊，進(jìn)而得到多種大尺度曲面可展機(jī)構(gòu)。Wang等[29]對(duì)模塊化大型可展天線中的組網(wǎng)形式及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行了設(shè)計(jì)與分析。

大型折展機(jī)構(gòu)的組網(wǎng)研究不僅是難度大的幾何數(shù)學(xué)問題，更是復(fù)雜過約束機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)學(xué)問題，當(dāng)折展單元按照特定的機(jī)構(gòu)學(xué)原理連接，最終形成的空間大尺度折展機(jī)構(gòu)屬于復(fù)雜空間機(jī)構(gòu)?，F(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)構(gòu)架式可展天線的組網(wǎng)設(shè)計(jì)方法較少且存在一定局限性。因此，本文主要研究基于四面體基本單元的可展開天線支撐機(jī)構(gòu)的組網(wǎng)方法，分析組網(wǎng)機(jī)構(gòu)的收攏展開過程。

1 四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)組網(wǎng)原理

3RR-3RRR四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，其由3個(gè)底花盤、一個(gè)頂花盤、連接頂花盤與底花盤的3根腹桿和底花盤兩兩之間互相連接的6根同步桿組成，3個(gè)底花盤中心處于同一平面上。3個(gè)底花盤分別沿花盤中心與3個(gè)底花盤所在外接圓中心的連線方向朝目標(biāo)軸線運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)四面體機(jī)構(gòu)的同步收攏與展開運(yùn)動(dòng)。頂花盤P相對(duì)于底花盤（如花盤A）的運(yùn)動(dòng)為繞外接圓在該花盤中心點(diǎn)處的切線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。連接3個(gè)底花盤中心，形成平面三角形。三角形屬于穩(wěn)定性高的基本幾何單元，且正常情況下，利用多個(gè)三角形單元均可等效組合形成任意曲面，因此本文將利用四面體可展單元的3個(gè)底花盤中心連接形成的三角形平面實(shí)現(xiàn)天線拋物面型反射面的逼近，其組網(wǎng)原理如圖2所示。采用拋物面口徑的內(nèi)接六邊形為外輪廓，將該內(nèi)接六邊形劃分為多個(gè)三角形單元，三角形單元之間公用節(jié)點(diǎn)和邊線。

圖1 四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)Fig. 1 Tetrahedral deployable unit mechanism

圖2 組網(wǎng)原理Fig. 2 Networking principle

2 四面體可展單元機(jī)構(gòu)組網(wǎng)方法

2.1 基本可展單元機(jī)構(gòu)分布形式

四面體基本可展單元是由3個(gè)底花盤和一個(gè)頂花盤形成的棱錐結(jié)構(gòu)，在其3個(gè)底花盤中心所確定的三角形平面逼近拋物反射面的組網(wǎng)方式中，依據(jù)三角形平面的排布特點(diǎn)，提出如圖3所示的連續(xù)式和間隔式兩種組網(wǎng)形式。為了增加支撐機(jī)構(gòu)的整體剛度，當(dāng)基本可展單元的底花盤組網(wǎng)形成近似的旋轉(zhuǎn)拋物面之后，需要在可展單元的頂花盤之間添加連接支鏈，形成特定曲面，如圖4所示。由上述可知頂花盤之間的連接形式對(duì)應(yīng)也分為連續(xù)式和間隔式分布兩種。對(duì)于由底花盤逼近形成的曲面屬于天線的工作面，在其上鋪設(shè)金屬網(wǎng)后進(jìn)行信號(hào)的識(shí)別與收集，可稱其為反射面。而頂花盤之間添加支鏈后所逼近形成的曲面主要起增加機(jī)構(gòu)剛度的作用，因而稱其為背面。

圖3 反射面基本單元分布形式Fig. 3 Distribution form of the basic unit of reflector

通過觀察圖4中背面基本單元分布形式，存在一定分布規(guī)律：連續(xù)式背面基本單元分布如圖4（a）所示，連接各頂花盤之間的支鏈呈現(xiàn)出六邊形分布規(guī)律，并且各個(gè)六邊形連續(xù)分布。而間隔式背面基本單元分布如圖4（b）所示，連接各頂花盤節(jié)點(diǎn)，則背面呈現(xiàn)出三角形連續(xù)分布規(guī)律，與連續(xù)式反射面基本單元分布一致。在形成的三角形平面中，也可分為兩類，有腹桿連接和無腹桿連接，且呈現(xiàn)出間隔式分布規(guī)律。而對(duì)于有腹桿連接的三角形平面，3個(gè)背面相鄰的頂花盤和一個(gè)反射面對(duì)應(yīng)位置的底花盤便形成了一個(gè)四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)，不同的是該四面體機(jī)構(gòu)是倒置的。其分布形式與間隔式反射面基本單元分布一致。

圖4 背面基本單元分布形式Fig. 4 Distribution form of the basic unit on the back

2.2 最小組合單元機(jī)構(gòu)組網(wǎng)

根據(jù)天線拋物面組網(wǎng)原理，每個(gè)三角形都是通過兩兩共用邊連接，如圖5所示，從單個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，這里以中心節(jié)點(diǎn)A為例，與其相連的三角形為6個(gè)，形成了一個(gè)六邊形閉環(huán)機(jī)構(gòu)。由于以每個(gè)節(jié)點(diǎn)為中心均能找到這樣的一個(gè)閉環(huán)機(jī)構(gòu)，因此選取此閉環(huán)機(jī)構(gòu)為最小組合單元。而為了方便進(jìn)一步分析兩種基本單元分布規(guī)律的特點(diǎn)，將各選取中心位置的一個(gè)最小組合單元進(jìn)行分析，如圖6所示。

圖5 選取最小組合單元Fig. 5 Selection of the minimum combination unit

在連續(xù)式最小組合單元中，6個(gè)四面體基本可展單元連續(xù)分布，單元之間共用花盤和同步桿。連接6個(gè)基本單元的頂花盤即在背面形成了六邊形，將該六邊形通過六根腹桿與位于反射面上的中心花盤A連接，則形成倒置的六棱錐結(jié)構(gòu)，如圖6（a）所示。分析該六棱錐的運(yùn)動(dòng)形式為，在四面體單元O-ABC中，節(jié)點(diǎn)O相對(duì)于節(jié)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)為繞某方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，該方向?yàn)楣?jié)點(diǎn)A、B、C處所確定的外接圓在節(jié)點(diǎn)A處的切線方向，而六棱錐單元和四面體單元共用一根腹桿OA，則其運(yùn)動(dòng)形式由頂花盤的運(yùn)動(dòng)形式確定，即頂花盤繞腹桿上轉(zhuǎn)動(dòng)副（切線方向）的擺動(dòng)恰好是倒置六棱錐單元的收攏運(yùn)動(dòng)，因而整個(gè)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)收攏與展開運(yùn)動(dòng)。在間隔式最小組合單元中，3個(gè)四面體基本可展單元間隔分布，共用一個(gè)花盤，如圖6（b）所示。按照間隔式分布規(guī)律可知，連接反射面上的3個(gè)基本單元之間的3條邊界支鏈，實(shí)則為下一圈機(jī)構(gòu)的3個(gè)基本單元所有。背面通過3條支鏈連接3個(gè)頂花盤中心形成三角形，與反射面的共用花盤組成倒置的四面體結(jié)構(gòu)。同理，倒置四面體單元的運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)按照頂花盤的運(yùn)動(dòng)規(guī)律確定，即頂花盤繞腹桿上轉(zhuǎn)動(dòng)副的擺動(dòng)恰好為倒置四面體單元的收攏運(yùn)動(dòng)。

圖6 兩種組網(wǎng)形式的最小組合單元Fig. 6 The minimum combination unit of two networking forms

根據(jù)上述分析，間隔式分布與連續(xù)式分布的主要不同點(diǎn)如表1所示。根據(jù)表1可得出結(jié)論，在相同的情況下，間隔式分布具有基本單元數(shù)少、單元種類單一，因而組網(wǎng)形成的大型機(jī)構(gòu)桿件較少、重量較輕的優(yōu)點(diǎn)，因此本文主要研究間隔式分布規(guī)律的組網(wǎng)形式。

表1 兩種基本單元排布形式翻譯

3 間隔式組網(wǎng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析與仿真

為了保證由四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)組網(wǎng)后形成的機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)收攏、展開運(yùn)動(dòng)，并且具有較大的收攏率，需要對(duì)組網(wǎng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，確定各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，從而避免機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)構(gòu)件干涉問題。根據(jù)2.2節(jié)的分析，本文選取間隔式分布組網(wǎng)形式進(jìn)行可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，對(duì)間隔式最小組合單元機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。在間隔式最小組合單元中，3個(gè)3RR-3RRR四面體基本可展單元共用中心節(jié)點(diǎn)A，呈間隔分布，兩兩之間通過下一層的3個(gè)基本單元的3根RRR支鏈相連。為了使背面上倒置的四面體單元同反射面單元的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一致，選用RRR支鏈連接背面的頂花盤，整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖7所示。

圖7 間隔式最小組合單元機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig. 7 Schematic diagram of the spaced minimum combination unit

根據(jù)文獻(xiàn)[20]可知單個(gè)3RR-3RRR四面體基本可展單元機(jī)構(gòu)具有1個(gè)自由度，因此，當(dāng)3個(gè)基本單元共用中心花盤時(shí)形成的機(jī)構(gòu)的自由度為3。將3條RRR支鏈連接在3個(gè)頂花盤之間，形成倒置四面體單元A-HIJ，該四面體滿足反射面四面體單元的相同的幾何關(guān)系，且其收攏運(yùn)動(dòng)取決于反射面四面體單元的收攏運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為是跟隨運(yùn)動(dòng)，機(jī)構(gòu)自由度不變。最后在反射面3個(gè)基本單元之間添加RRR支鏈，以節(jié)點(diǎn)A、B、G形成的閉環(huán)機(jī)構(gòu)為例，由于花盤B、G的運(yùn)動(dòng)由各自所在的基本可展單元決定，此閉環(huán)機(jī)構(gòu)可等效為圖8所示的機(jī)構(gòu)。

圖8 平面等效機(jī)構(gòu)Fig. 8 Plane equivalent mechanism

以花盤A為定平臺(tái)，花盤B為動(dòng)平臺(tái)。在花盤A的中心建立坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ，X軸沿著3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向，Z軸垂直于ABG平面，Y軸由右手螺旋定則確定。則花盤B與花盤A之間通過兩條支鏈連接，分別為P1支鏈和R1R2R3P2支鏈。根據(jù)反螺旋理論，分支P1和分支R1R2R3P2提供給定平臺(tái)的約束螺旋系分別為

其中：(xp1yp10)為移動(dòng)副P1在坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ中的坐標(biāo)。根據(jù)式（1）和式（2），沿Y軸和Z軸的約束力偶為該閉環(huán)機(jī)構(gòu)的公共約束，不存在冗余約束和局部自由度，因此，根據(jù)修正的G-K公式，可得該機(jī)構(gòu)的自由度為

其中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，且d=6-λ，λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)目；n為構(gòu)件數(shù)（包含機(jī)架）；g為機(jī)構(gòu)中包含的運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)；fk為第k個(gè)運(yùn)動(dòng)副具有的單自由度數(shù)目；v為機(jī)構(gòu)中的冗余約束數(shù)目；ζ為局部自由度數(shù)目。

根據(jù)對(duì)基本單元組網(wǎng)規(guī)律及平面等效機(jī)構(gòu)的分析結(jié)果，由于背面倒置的四面體單元不影響整個(gè)組網(wǎng)機(jī)構(gòu)的自由度，分析整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程時(shí)可不考慮腹桿和背面結(jié)構(gòu)，因此，僅考慮機(jī)構(gòu)的反射面，整個(gè)最小組合單元的等效機(jī)構(gòu)，如圖9所示，各頂點(diǎn)代表反射面花盤，各頂點(diǎn)之間通過移動(dòng)副連接。將節(jié)點(diǎn)A視為機(jī)架，選取任意一個(gè)移動(dòng)副添加驅(qū)動(dòng)，整個(gè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行同步收攏，根據(jù)相似三角形原理有。因此，最小組合單元機(jī)構(gòu)的自由度為1，能夠?qū)崿F(xiàn)同步收攏與展開。

為了驗(yàn)證間隔式組網(wǎng)方法的理論分析正確性和運(yùn)動(dòng)可行性，設(shè)計(jì)并繪制間隔式最小組合單元機(jī)構(gòu)的三維仿真模型。圖10為機(jī)構(gòu)的一般展開狀態(tài)，由于機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)為奇異位形，需要添加多個(gè)驅(qū)動(dòng)使其運(yùn)動(dòng)到一般展開位形。應(yīng)用ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)仿真分析，根據(jù)理論分析結(jié)果，間隔式最小組合單元機(jī)構(gòu)自由度數(shù)即為實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)數(shù)，因此，在機(jī)構(gòu)的任一轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)處添加驅(qū)動(dòng)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)結(jié)果如圖11所示。

圖9 最小組合單元等效機(jī)構(gòu)Fig. 9 Equivalent mechanism of the minimum combination unit

圖10 最小組合單元機(jī)構(gòu)三維模型Fig. 10 Three-dimensional model of the minimum combination unit

圖11 最小組合單元機(jī)構(gòu)收攏狀態(tài)Fig. 11 Folding state of the minimum combination unit

圖10中，添加的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)值為1.5°/s，分別選擇多個(gè)位置添加驅(qū)動(dòng)，均可實(shí)現(xiàn)圖11所示的機(jī)構(gòu)收攏狀態(tài)，反之，通過添加相反方向的驅(qū)動(dòng)，亦可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的展開運(yùn)動(dòng)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了基于3RR-3RRR四面體基本可展單元構(gòu)造的間隔式組網(wǎng)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)收攏與展開運(yùn)動(dòng)，且自由度為1。

4 結(jié) 論

1）根據(jù)3RR-3RRR四面體基本可展單元的特點(diǎn)，按照三角形等效逼近的組網(wǎng)原理，對(duì)曲面可展開天線機(jī)構(gòu)進(jìn)行組網(wǎng)研究，提出了連續(xù)式和間隔式兩種組網(wǎng)方法。

2）兩種組網(wǎng)方法對(duì)比分析結(jié)果表明，基于間隔式組網(wǎng)方法的可展機(jī)構(gòu)具有包含的基本單元數(shù)量少且種類單一、機(jī)構(gòu)整體桿件少、重量輕等優(yōu)勢(shì)。

3）理論及仿真分析表明，采用間隔式組網(wǎng)方法得到的最小組合單元組網(wǎng)機(jī)構(gòu)，能夠?qū)崿F(xiàn)同步收攏和展開運(yùn)動(dòng)，且自由度為1。該組網(wǎng)方法可以根據(jù)不同的尺寸進(jìn)行組網(wǎng)，形成任意的曲面可展機(jī)構(gòu)。