空間碎片繩網(wǎng)捕獲拖曳恒張力控制

盧 山，姜澤華，劉 禹

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2. 上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109)

0 引 言

目前在軌運(yùn)行的航天器已達(dá)數(shù)千顆，預(yù)計(jì)10年內(nèi)每年超過服役期的航天器將達(dá)到百顆以上。其中低軌失效航天器自然衰減至大氣層燒毀將需要幾十年甚至更長(zhǎng)的時(shí)間，靜止軌道航天器若在壽命末期不采取措施則會(huì)永久滯留于駐泊點(diǎn)，使得可安全利用的軌道資源，特別是靜止軌道駐泊點(diǎn)進(jìn)一步減少。據(jù)NASA(National Aeronautics and Space Administr-ation, NASA)最新數(shù)據(jù)顯示，截止2019年6月27日已監(jiān)測(cè)到19677個(gè)大型在軌運(yùn)行目標(biāo)，其中包括5163個(gè)有效載荷和14514個(gè)火箭箭體，而直徑大于1 cm的碎片總數(shù)估計(jì)在百萬量級(jí)，主要集中分布于高度在2000 km以下的近地軌道和地球同步軌道。NASA科學(xué)家Kessler等[1]在1978年就已指出，空間碎片之間的碰撞會(huì)產(chǎn)生更多的碎片，從而極大地增加潛在的碎片碰撞概率，并由此導(dǎo)致碎片數(shù)量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。事實(shí)上，2009年2月10日發(fā)生的美國(guó)銥星33與俄羅斯宇宙號(hào)2251的衛(wèi)星碰撞事件表明，空間碎片的碰撞連鎖反應(yīng)已被經(jīng)觸發(fā)了[2]。在2007年，NASA空間碎片計(jì)劃負(fù)責(zé)人Johnson[3]指出自2020 年起，每年清除5～20個(gè)大型空間碎片就可抑制空間碎片總量的增長(zhǎng)，從而保證未來空間環(huán)境不再持續(xù)惡化。至此，空間碎片主動(dòng)清除被提上了各國(guó)空間技術(shù)的發(fā)展日程。空間碎片主動(dòng)清除方式主要有電動(dòng)力繩索降軌、機(jī)械臂抓捕、繩網(wǎng)捕獲拖曳、太陽帆增阻和激光照射等。其中，繩網(wǎng)捕獲拖曳概念因其重量輕、靈活性高和控制簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，成為近幾年最受學(xué)者關(guān)注的碎片清除技術(shù)之一。

近些年來，針對(duì)繩系拖曳系統(tǒng)控制方法研究，各國(guó)學(xué)者已經(jīng)做了一些理論研究工作。文獻(xiàn)[4]研究了通過系繩連接的空間碎片與空間拖船組合體的動(dòng)力學(xué)問題，結(jié)果表明，若空間拖船推力的方向與系繩方向一致，且系繩保持張緊，那么離軌過程就是安全的。文獻(xiàn)[5-6]針對(duì)空間拖船和廢棄星的繩系組合體，考慮了廢棄星上的撓性部件，如帆板的影響，提出了一種推力控制策略以避免碰撞。文獻(xiàn)[7]提出了一種包含加速、平衡、旋轉(zhuǎn)和返回的4階段繩系組合體離軌方案，并進(jìn)行了仿真分析，為工程實(shí)現(xiàn)提供了技術(shù)思路。文獻(xiàn)[8-9]主要針對(duì)拖曳過程中組合體的擺動(dòng)問題，分別設(shè)計(jì)了分層滑模控制器及高階滑?？刂破鳌Ｎ墨I(xiàn)[10]考慮到利用系繩拉力進(jìn)行姿態(tài)控制時(shí)，系繩拉力波動(dòng)對(duì)姿態(tài)的影響，采用了魯棒性較強(qiáng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法進(jìn)行協(xié)調(diào)控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[11]分析了軌道轉(zhuǎn)移過程中面內(nèi)外擺角的擺振特性，采用線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator, LQR)設(shè)計(jì)了系繩張力控制律以抑制擺角振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的穩(wěn)定。

上述研究提出在空間繩系組合體拖曳離軌任務(wù)中采用各種時(shí)變張力控制律，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)響應(yīng)速度快，控制精度高。然而，采用時(shí)變張力控制律控制碎片拖曳，對(duì)測(cè)量設(shè)備的測(cè)量精度和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的響應(yīng)速度等性能提出了極高的要求，目前難以在工程中應(yīng)用?？紤]工程實(shí)現(xiàn)可行性，使用現(xiàn)有技術(shù)設(shè)備即可滿足性能要求，本文提出采用恒定張力拖曳被繩網(wǎng)捕獲的碎片目標(biāo)的控制方法，通過理論推導(dǎo)證明僅采用恒定張力即可實(shí)現(xiàn)拖曳過程的穩(wěn)定控制，并分別針對(duì)空間碎片可能產(chǎn)生的姿態(tài)章動(dòng)及繩系組合體的出現(xiàn)的面內(nèi)外擺動(dòng)設(shè)計(jì)控制律。

1 空間繩系組合體動(dòng)力學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)組成

典型的繩系拖曳系統(tǒng)由拖船航天器、空間碎片和系繩組成，拖船航天器與空間碎片通過系繩連接。本文針對(duì)失效航天器演化成的大型空間碎片目標(biāo)，利用牛頓歐拉法建立繩系組合體動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 繩系拖曳系統(tǒng)組成與連接關(guān)系Fig.1 Composition and connection of TST system

1.2 系繩模型

建模過程中將系繩等效成不可壓縮的彈性桿模型，不計(jì)系繩質(zhì)量，計(jì)入系繩彈性，根據(jù)實(shí)際情況考慮系繩阻尼特性。系繩張力只與形變量ΔL相關(guān)。定義拖船航天器與失效航天器上兩系繩牽掛點(diǎn)連線矢量Ltm，方向由失效航天器牽掛點(diǎn)指向拖船航天器牽掛點(diǎn)，則有：

(1)

式中:Cmbi,Ctbi分別為慣性系到拖船航天器和失效航天器本體坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，pm,pt分別為本體系下兩星體系繩牽掛點(diǎn)矢量，rm,rt分別為拖船航天器、失效航天器質(zhì)心在慣性系中的矢量。則系繩張力：

(2)

式中:L為系繩松弛時(shí)的原長(zhǎng)，系繩形變量為：

(3)

D為系繩直徑，E為系繩彈性系數(shù)，η為系繩黏性阻尼系數(shù)，系繩張緊方向?yàn)橄道K張力方向。

1.3 軌道動(dòng)力學(xué)模型

繩系拖曳系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中，系統(tǒng)所受外力中除拖船航天器軌控推力和地球中心引力外，忽略其它外部攝動(dòng)。由此，地心慣性系下拖船航天器和失效航天器軌道動(dòng)力學(xué)方程分別為：

(4)

(5)

式中:μ為地球引力常數(shù)，m1和m2分別為拖船航天器、失效航天器的質(zhì)量，F(xiàn)th為拖船航天器的軌控推力。

1.4 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

忽略拖船航天器與失效航天器的柔性，將其均視為剛體，則可采用動(dòng)量矩定律[12]建立拖船航天器與失效航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

(7)

式中:Im和It分別為拖船航天器、失效航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，ωm和ωt分別為兩航天器體角速度在各自本體坐標(biāo)系下的投影，Cmbi和Ctbi為地心慣性系到拖船航天器、失效航天器本體系的姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Tc為拖船航天器的姿態(tài)控制力矩[13]。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 模型簡(jiǎn)化

為了對(duì)恒定張力條件下的繩系拖曳系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，采用圖2所示的簡(jiǎn)化繩系拖曳系統(tǒng)模型。將拖船航天器視為質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，將失效航天器視為質(zhì)量為m2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx，Jy和Jz的剛體。系繩分別連接在碎片剛體質(zhì)心和拖船航天器質(zhì)點(diǎn)上，其質(zhì)量可以忽略。

圖2 簡(jiǎn)化的空間碎片繩系拖曳系統(tǒng)示意圖Fig.2 Simplified schematic diagram of TST system

定義當(dāng)?shù)劂U錘水平坐標(biāo)系C0X0Y0Z0：原點(diǎn)取為系統(tǒng)質(zhì)心C0，X0軸從地心鉛錘指向上，Y0軸在軌道平面內(nèi)垂直于X0軸并指向系統(tǒng)的前進(jìn)方向，Z0軸由右手法則定義。為描述碎片的姿態(tài)，定義原點(diǎn)在碎片質(zhì)心、坐標(biāo)軸為碎片剛體慣性主軸的體固坐標(biāo)系C2X2Y2Z2。定義系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如下：從當(dāng)?shù)劂U錘方向到X2軸的夾角為θ(順時(shí)針為正)；從當(dāng)?shù)厮椒较虻剿槠屯洗|(zhì)心連線的夾角為γ(順時(shí)針為正)；碎片和拖船的質(zhì)心距為l。系繩張力Ft為常值，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在軌道平面內(nèi)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓軌道，利用拉格朗日方程可以得到空間碎片繩系拖曳系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程[13]如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 李雅普諾夫第一方法

李雅普諾夫第一法又稱間接法。它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對(duì)于非線性不很嚴(yán)重的系統(tǒng)，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

首先進(jìn)行線性化，系統(tǒng)的平衡位置表示為θe和γe，將其代入系統(tǒng)方程式(10)和式(11)中則有：

(12)

γe=0

(13)

由式(12)可得系統(tǒng)兩個(gè)平衡解。由文獻(xiàn)[14]可知，θe在[0， π]范圍的平衡解為可行解，在[-π， 0]范圍的解不可行。本小節(jié)旨在分析可行解的穩(wěn)定性，因此將僅考慮θe∈[0， π]的取值范圍。在平衡位置附近對(duì)系統(tǒng)方程線性化結(jié)果如下：

(14)

(15)

將系統(tǒng)方程改寫成狀態(tài)空間形式如下：

(16)

則系統(tǒng)的特征方程|λI-A|=0可寫為：

(17)

解得系統(tǒng)特征根為：λ1,2=0

(18)

(19)

在圖2中所示的坐標(biāo)系定義下，xb>0，sinθe>0，因此sinθe/xb>0。事實(shí)上，當(dāng)xb<0時(shí)，系統(tǒng)的可行平衡解將在[-π, 0]范圍內(nèi)，仍然滿足sinθe/xb>0的條件。故λ3,4為純虛數(shù)，這說明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

李雅普諾夫第一法證明了系統(tǒng)在平衡解附近是臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。

2.3 李雅普諾夫第二方法

李雅普諾夫第二法又稱直接法。它的基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷。

將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(10)和式(11)相加，得到如下形式：

(20)

(21)

取李雅普諾夫函數(shù)為：

(22)

式中:yb<0，xb>0，對(duì)于任意α，均有V≥0，對(duì)李雅普諾夫函數(shù)式(22)求導(dǎo)則有：

(23)

這說明此時(shí)碎片的姿態(tài)角運(yùn)動(dòng)軌跡將落在某個(gè)特定曲面上:

日常實(shí)用性是奧迪R8 RWS的一大優(yōu)勢(shì)，即使這乍一看像是某種劣勢(shì)—當(dāng)車速在160公里/小時(shí)之內(nèi)的情況下，R8 RWS為駕駛者帶來的聽覺和感受可能與普通的奧迪A4并無二致。然而，對(duì)于駕駛者而言，在體驗(yàn)狂躁駕駛樂趣之余，感受生命中的沉靜與愉悅，也算是一件一舉兩得的樂事。

(24)

意味著運(yùn)動(dòng)軌跡將不會(huì)收斂于原點(diǎn)。

李雅普諾夫第二方法將上一小節(jié)所得的系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論拓展到了大角度擺動(dòng)情況，使結(jié)論不再局限于平衡解附近的鄰域。

3 控制律設(shè)計(jì)

3.1 姿態(tài)章動(dòng)抑制控制律設(shè)計(jì)

考慮到目標(biāo)為失效航天器且被飛網(wǎng)包裹時(shí)自旋情況不確定，認(rèn)為其可能有一定角度的章動(dòng)。為保證拖曳過程中不會(huì)發(fā)生系繩纏繞等風(fēng)險(xiǎn)，在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行拖曳離軌前，應(yīng)當(dāng)對(duì)目標(biāo)的章動(dòng)角進(jìn)行抑制，減弱拖曳過程中目標(biāo)的章動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。其姿態(tài)章動(dòng)幅度大小可通過兩星連線與自旋軸間夾角體現(xiàn)，故可通過抑制兩星連線與目標(biāo)自旋軸的夾角對(duì)目標(biāo)姿態(tài)進(jìn)行章動(dòng)抑制。在拖曳過程中，當(dāng)拖船航天器質(zhì)心、網(wǎng)端繩結(jié)、目標(biāo)質(zhì)心三者共線情況下，系繩張力對(duì)目標(biāo)姿態(tài)不會(huì)產(chǎn)生影響，此時(shí)兩星連線與目標(biāo)本體自旋軸的夾角ξb為控制平衡位置，如圖3所示。

圖3 章動(dòng)抑制示意圖Fig.3 Schematic diagram of debris nutation suppression

由于失效航天器姿態(tài)存在章動(dòng)，故在拖曳過程中兩星連線與目標(biāo)自旋軸的夾角以ξb為中心擺動(dòng)。章動(dòng)抑制的目的就是將兩星連線與目標(biāo)自旋軸的夾角ξ控制在一定范圍內(nèi),由此設(shè)計(jì)章動(dòng)抑制常值切換張力控制律為：

Ft=

(25)

式中:的章動(dòng)角標(biāo)稱值ξmax和ξmin根據(jù)控制要求的精度選擇，切換張力示意圖如圖4所示。

圖4 張力切換示意圖Fig.4 Schematic diagram of tension switch

3.2 組合體面內(nèi)面外擺動(dòng)控制律設(shè)計(jì)

在拖曳過程中需要對(duì)系繩的擺動(dòng)進(jìn)行有效鎮(zhèn)定，從而保證系繩和張力方向保持不變，同時(shí)還要把失效航天器自旋軸方向和系繩方向調(diào)整到期望的拖曳方向。

為了描述繩系組合體的姿態(tài)，引入面內(nèi)角、面外角的概念。首先建立軌道坐標(biāo)系S0，如圖5所示：Z軸沿地心連線方向由繩系組合體質(zhì)心指向地球，X軸位于軌道平面內(nèi)與Z軸垂直并指向軌道跡向,Y軸遵循右手準(zhǔn)則，定義系繩方向在軌道面內(nèi)的投影與軌道系X軸正向的夾角為面內(nèi)角ε，系繩方向與軌道平面的夾角為面外角β。面內(nèi)角表示了繩系組合體在軌道面內(nèi)的相對(duì)位置，應(yīng)控制面內(nèi)角盡量小，避免大幅震蕩導(dǎo)致逆向拖曳；面外角表示拖曳時(shí)系繩的張力有無軌道法向的分力，應(yīng)控制面外角盡量小，避免燃料的浪費(fèi)。

圖5 組合體面內(nèi)外擺動(dòng)示意圖Fig.5 Schematic diagram of in-plane and out-plane swing

面內(nèi)外擺角ε=0°，β=0°時(shí)，繩系組合體姿態(tài)沿軌道跡向，拖曳變軌效率最高，故面內(nèi)外擺角控制目標(biāo)為ε=0°，β=0°。以拖船航天器噴氣推力為控制器輸入，采用基于相平面方法的組合體面內(nèi)外擺角控制律，得到繩系組合體面內(nèi)外擺動(dòng)的穩(wěn)定極限環(huán)，下文以面內(nèi)擺角為例設(shè)計(jì)噴氣開關(guān)策略：

圖5中開關(guān)線A,D的方程如下：

(26)

(27)

開關(guān)線控制參數(shù)設(shè)計(jì)：已知平臺(tái)推力器最小脈沖寬度Tmin；控制周期內(nèi)最大脈沖寬度Tmax；組合體面內(nèi)擺角控制力矩Tcε=Fzdm2/(m1+m2)；面內(nèi)擺角轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jε=m1m2d2/(m1+m2),d為兩星相對(duì)距離，F(xiàn)z為拖船航天器軌控推力。

圖6 面內(nèi)擺角控制開關(guān)線Fig.6 In-plane swing angle control switch line

4 仿真校驗(yàn)

拖曳控制全過程方案為：選取兩種切換張力為Ftb= 4 N和Fts=2 N，全程采用常值切換控制律抑制失效航天器的姿態(tài)章動(dòng)，并同時(shí)采用基于相平面控制原理的控制律抑制組合體面內(nèi)面外擺動(dòng)，保證拖曳過程的安全平穩(wěn)，達(dá)成將碎片目標(biāo)近地點(diǎn)高度抬高350 km的控制目標(biāo)，仿真結(jié)果如下：

表1 面內(nèi)擺角控制相平面區(qū)域范圍及每個(gè)區(qū)域機(jī)開機(jī)時(shí)間Table 1 Phase plane area range and startup time of each area machine controlled by in-plane swing angle

仿真結(jié)果表明，在該種全過程拖曳控制方案下，碎片目標(biāo)的姿態(tài)章動(dòng)始終能夠得到很好地抑制；繩系組合體面內(nèi)面外擺角能得到很好地鎮(zhèn)定；完成拖曳控制全過程的所用時(shí)間為9.02 h，碎片目標(biāo)近地點(diǎn)高度被抬高350 km，實(shí)現(xiàn)了將空間碎片從地球同步軌道轉(zhuǎn)移至墳?zāi)管壍赖哪繕?biāo)，達(dá)到了預(yù)期的控制效果。與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[15]中采用的時(shí)變張力控制方法的仿真結(jié)果對(duì)比，采用常值張力控制方法雖然響應(yīng)速度稍慢，但也完全能夠滿足工程任務(wù)的時(shí)間要求，且對(duì)目標(biāo)姿態(tài)章動(dòng)和組合體面內(nèi)外擺動(dòng)的控制精度更高。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)常值拉力作用下的空間碎片繩系組合體的拖曳離軌問題，首先利用牛頓歐拉法建立了組合體動(dòng)力學(xué)模型，并通過拉格朗日方程得到簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)模型；然后利用李雅普諾夫第一法證明了系統(tǒng)在平衡解附近具有臨界穩(wěn)定性，并通過李雅普諾夫第二法將系統(tǒng)穩(wěn)定性推廣到大角度擺動(dòng)情況，使結(jié)論不再局限于平衡解附近的鄰域；得出穩(wěn)定性結(jié)論后，設(shè)計(jì)常值拉力切換控制律抑制空間碎片的姿態(tài)章動(dòng)，研究基于相平面原理的控制律抑制繩系組合體的面內(nèi)面外擺動(dòng)。通過對(duì)空間碎片軌道轉(zhuǎn)移全過程的仿真分析表明，采用常值拉力切換能夠?qū)崿F(xiàn)拖曳過程的精確控制，設(shè)計(jì)的控制律能夠達(dá)到預(yù)期的控制效果，為今后將恒張力拖曳控制方法應(yīng)用于空間碎片主動(dòng)清除任務(wù)打下理論基礎(chǔ)。

圖7 拖船航天器和失效航天器姿態(tài)角變化曲線Fig.7 Curve of change of tug spacecraft and invalid spacecraft attitude angle

圖8 繩系組合體面內(nèi)擺角和面外擺角變化曲線Fig.8 Curve of change of in-plane and out-plane swing angle

圖9 近地點(diǎn)高度變化量曲線Fig.9 Change of the altitude of the perigee height