微納聚合體衛(wèi)星的對稱式重構規(guī)劃算法

康國華，劉奇弦，吳佳奇，王 強

(南京航空航天大學航天學院，南京 210016)

0 引 言

微納聚合體衛(wèi)星是由多個立方體微納衛(wèi)星通過組合機構而形成的動態(tài)組合體航天器。通過以磁力鉸鏈為組合機構進行研究，鉸鏈分布于每個衛(wèi)星的12條棱上，微納衛(wèi)星在磁力鉸鏈的約束下以棱為轉軸進行轉動，從而實現(xiàn)微納聚合體衛(wèi)星的構型重構。圖1為磁鉸鏈布局和變構過程原理示意圖。

圖1 微納聚合體衛(wèi)星變構原理Fig.1 Principle of reconfiguration of CBMS

構型可重構的模塊化航天器由于具有較強的可擴展性、較強的適應性，可滿足不同的任務需求，近年來引起了各國研究人員的關注。日本開展了板塊延展衛(wèi)星(Panel extension satellite, PETSAT)計劃[1-2]，但衛(wèi)星面板之間通過機械鉸鏈連接，連接方式在地面確定，無法在軌更改，因而無法實現(xiàn)任意形態(tài)的重構。英國薩里大學的可重構太空望遠鏡自主拼接(Autonomous assembly of a reconfigurable space telescope, AAReST)項目，計劃通過多顆衛(wèi)星模塊的分離與再拼接實現(xiàn)不同望遠鏡構型之間的變換，以滿足不同的成像需求[3-4]。但分離后再拼接的策略在控制上面臨姿軌耦合問題的挑戰(zhàn)，姿軌耦合控制也會導致額外的燃料消耗。

磁力鉸鏈的示意圖如圖2所示，基于磁力鉸鏈的微納聚合體衛(wèi)星利用了鉸鏈約束的特性，可將微納模塊的轉動轉化為位置的改變，磁力鉸鏈分布于微納模塊的12條棱上，通過電流的通斷決定鉸鏈的吸附與分離，這使得微納模塊可實現(xiàn)在三個方向的轉動。這意味著通過不同模塊的多次運動可實現(xiàn)任意兩構型之間的變換。對于磁鉸鏈連接機構的研究主要集中在模塊化機器人領域，美國麻省理工學院提出了M-Blocks[5]可重構模塊化機器人，立方體模塊通過繞分布于各棱的磁鉸鏈轉動實現(xiàn)形態(tài)的重構，該機構相比于機械連接機構，對模塊相對位置關系寬容度更高，但該型機器人工作于地面環(huán)境。目前磁鉸鏈在航天器上的應用較少，有待進一步研究。

圖2 磁力鉸鏈示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetic hinge

微納聚合體衛(wèi)星是一個漂浮基多剛體系統(tǒng)，系統(tǒng)中每兩個通過磁鉸鏈連接的剛體之間動力學是耦合的，鉸鏈處內(nèi)力會導致一對力矩作用于鉸鏈兩側的剛體，從而影響兩者的姿態(tài)。多剛體系統(tǒng)的建模方法有經(jīng)典力學方法、Kane法、R-W方法等。以牛頓-歐拉方程為代表的經(jīng)典力學法將系統(tǒng)中的剛體分割為獨立剛體，剛體間內(nèi)力視為外力施加于各剛體，該方法隨剛體數(shù)增加，方程數(shù)也增加，求解難度大大增加[6-8]。Kane法用廣義速率描述系統(tǒng)運動[9]，計算量比經(jīng)典力學的方法少，但該方法不適用于任意多剛體系統(tǒng)，需對研究對象具體分析。Roberson和Wittenburg[10]將圖論引入多剛體動力學，提出了R-W方法，用有向圖描述系統(tǒng)構型，可用于任意結構的多剛體系統(tǒng)，適用于對微納聚合體衛(wèi)星進行建模。

可重構系統(tǒng)的重構規(guī)劃的目的是使該系統(tǒng)能在盡可能滿足最優(yōu)指標(如最少步數(shù))的情況下實現(xiàn)構型的轉換。林曉青等[11]利用遺傳算法設計了檢測機器人群組的站位規(guī)劃策略。Rus等[12]提出了Melt-Grow算法，可用于立方體形狀的模塊化機器人的重構，他將目標構型分解為鏈狀的中間構型，目標構型由中間構型形成。但上述研究的對象為模塊化機器人或機器人群組，未考慮航天器動力學特性，需設計一種適用于模塊化航天器的規(guī)劃算法，能有效減小各模塊的運動對航天器姿態(tài)的影響。

本文利用R-W法對微納聚合體衛(wèi)星進行動力學建模，分析了重構過程中的動力學耦合特點，提出了一種對稱式重構規(guī)劃算法，以減小重構過程中各模塊的運動對航天器姿態(tài)的影響。

1 動力學分析

1.1 動力學模型的建立

微納聚合體衛(wèi)星重構時，可分為兩個部分：1)若干模塊通過鎖緊機構鎖緊而形成的組合體，該組合體可看作單個剛體，以下稱為本體；2)與本體解除鎖定，在磁力鉸鏈的約束下發(fā)生轉動的模塊，以下稱為運動模塊。微納聚合體衛(wèi)星由一個本體與多個運動模塊組成。由于微納聚合體衛(wèi)星為漂浮基多剛體系統(tǒng)，故引入一虛擬剛體與一虛擬球鉸鏈，本體通過該虛擬球鉸與虛擬剛體相連，虛擬剛體姿態(tài)不變，質(zhì)量為0。以運動模塊數(shù)為3的系統(tǒng)為例進行分析，該系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 多剛體系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the multi-rigid-body system

本體雖形狀不規(guī)則，但可等效為質(zhì)量、慣量、質(zhì)心位置相同的長方體。剛體S1，S2，S3，S4分別為運動模塊，e0到e4分別為固連于各剛體的基，C0到C4分別為各剛體質(zhì)心。

為建立動力學方程，引入增廣體的概念。對于剛體Si，在其與其他剛體相連的鉸鏈中心處附加一質(zhì)量點，該點質(zhì)量為直接或間接通過該鉸鏈與剛體Si相連的其他剛體質(zhì)量之和，則形成的新剛體為增廣體。Bi為Si對應的增廣體質(zhì)心。

該系統(tǒng)的拓撲結構如圖4所示，該系統(tǒng)為一樹形多剛體系統(tǒng)。

圖4 多剛體系統(tǒng)拓撲結構Fig.4 Topology of the multi-rigid-body system

用關聯(lián)矩陣S與通路矩陣T描述該系統(tǒng)結構，兩矩陣的定義如下：

(1)

i=0,…,4,j=1,…,4

(2)

i,j=1,…,4

對于圖4所示拓撲結構，關聯(lián)矩陣與通路矩陣的值分別如下：

取φ=[φ11,φ12,φ13,φ2,φ3,φ4]T為廣義坐標，其中φ11到φ13分別為剛體S1繞鉸u1轉動的歐拉角，φ2到φ4分別為剛體S2到S4繞鉸u2到u4轉動的角度。則根據(jù)R-W方法列出如下的動力學方程：

(3)

f=w+w*

(4)

(5)

(6)

(7)

[ωj×(ωj×bji)]，i=1,…,4

(8)

將剛體S1的轉動分解為三次連續(xù)的轉動，則p1j(j=1,2,3)為三次轉動的轉軸方向上的單位矢量(在基e0中表示)，pi(i=2,3,4)為剛體Si轉軸方向上的單位矢量(在基e1中表示)。

對于其他構型的系統(tǒng)，動力學建模過程仍與此類似。

1.2 對稱式重構過程的動力學分析

運動模塊轉動過程中，鉸鏈處的內(nèi)力對于微納聚合體本體來說為外力，該力會產(chǎn)生力矩以影響本體的姿態(tài)。當多個運動模塊同時運動時，有多個力矩同時施加于本體。很明顯，如果其中一對力矩大小相等、方向相反時，兩者對本體姿態(tài)的影響可相互抵消。經(jīng)分析，當兩個運動模塊的位置、轉動方向等滿足：運動模塊轉軸相互平行，轉動方向相反，自身質(zhì)心與本體質(zhì)心距離相等的條件，即可實現(xiàn)力矩的抵消。上述條件在本文中定義為對稱性條件。

如圖5所示，當模塊A和模板B圍繞z軸轉動、方向相反時即滿足對稱性條件。兩模塊質(zhì)心坐標分別為(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，本體質(zhì)心坐標為(xc,yc,0)，兩模塊與本體相連的鉸鏈中心點與本體質(zhì)心的距離分別為L1和L2。當L1=L2且z1=-z2時，鉸鏈處內(nèi)力產(chǎn)生的合力矩最多只有兩個自由度，即最多對本體姿態(tài)產(chǎn)生兩個自由度的影響。當z1=z2=0時，合力矩為0，對本體姿態(tài)的影響可完全抵消。

圖5 對稱性條件Fig.5 Symmetry condition

為分別對:1)z1=-z2且z1≠0，z2≠0; 2)z1=z2=0兩類對稱式重構情形進行仿真分析，分別設定如圖6(a)和(b)所示的兩個仿真場景。

圖6 動力學仿真場景Fig.8 Dynamic simulation scene

圖6中各運動模塊在0.01 N·m的恒定力矩作用下轉動。假定理想情況下，力矩同時作用于不同運動模塊，各模塊質(zhì)心位于形心，各模塊標稱質(zhì)量均為10 kg，模塊各主軸標稱慣量均為0.2 kg·m2，標稱棱長均為0.3 m，初始姿態(tài)與角速度均為0。

然而工程實現(xiàn)中，各模塊的尺寸、質(zhì)量、慣量以及模塊運動開始時間等參數(shù)可能不完全相同，這些參數(shù)的不一致性可能會對對稱式重構過程中本體姿態(tài)帶來額外的影響。下文在考慮以上參數(shù)不一致性的情況下對變構過程本體姿態(tài)變化進行仿真分析。

由于僅研究不同模塊間的相對差異，不考慮模塊參數(shù)的絕對誤差，因此為各模塊的尺寸、質(zhì)量、慣量等參數(shù)附加均值為0，標準差不為0的隨機偏差。

模塊尺寸的不同帶來的影響主要體現(xiàn)在質(zhì)心位置的不同。目前質(zhì)心測量相對誤差已低至0.1%量級[13]，因此給各模塊質(zhì)心坐標引入均值為0，標準差為0.005 m的隨機偏移量。各模塊質(zhì)量、慣量仍相同，質(zhì)量仍為10 kg，各主軸慣量仍均為0.2 kg·m2，模塊在0.01 的恒定力矩作用下同時轉動。分別對圖6(a)和(b)所示的場景1與場景2進行動力學仿真，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖7(a)和(b)所示。

圖7 考慮模塊質(zhì)心位置差異的本體姿態(tài)變化Fig.7 Change of attitude of the mainbody considering the difference of centroid position between modules

由圖7(a)和(b)可知，考慮可模塊質(zhì)心位置差異后，場景1、2本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級，場景一稍大，且兩類對稱式重構能保證本體至少有一個自由度的姿態(tài)保持穩(wěn)定。

目前質(zhì)量測量相對誤差已低至0.1%量級[14]，因此，為研究模塊質(zhì)量的不一致性帶來的影響，各模塊在10 kg標稱質(zhì)量基礎上引入均值為0，標準差為0.1 kg的隨機質(zhì)量偏差，其他參數(shù)為標稱值。分別對圖6(a)和(b)所示的場景1與場景2進行動力學仿真，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖8(a)和(b)所示。

圖8 考慮模塊質(zhì)量差異的本體姿態(tài)變化Fig.8 Change of attitude of the mainbody considering the difference of mass between modules

由圖8(a)和(b)可知，考慮模塊質(zhì)量差異后，場景1本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級，場景2僅在10-3量級，其中，場景2中本體滾動與俯仰角均保持穩(wěn)定。

目前慣量測量相對誤差已低至0.01%量級[14]，因此為研究模塊慣量差異的影響，各模塊在0.2 kg·m2的標稱慣量基礎上引入均值為0，標準差為0.001 kg·m2的隨機慣量偏差，其他參數(shù)為標稱值。仍分別對圖6(a)和(b)所示的場景1與場景2進行動力學仿真，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖9(a)和(b)所示。

由圖9(a)和(b)可知，考慮模塊慣量差異后，場景1本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級，場景2僅在10-4量級，其中，場景二中本體滾動與俯仰角均保持穩(wěn)定。

圖9 考慮模塊慣量差異的本體姿態(tài)變化Fig.9 Change of attitude of the mainbody considering the difference of inertia between modules

為研究模塊運動開始時間的差異對對稱式重構中本體姿態(tài)的影響，使圖6(a)和(b)所示的場景1與場景2中運動模塊B相對于運動模塊A延遲0.5 s開始運動，得到本體姿態(tài)角變化曲線分別如圖10(a)和(b)所示。

圖10 考慮模塊運動開始時間差異的本體姿態(tài)變化Fig.10 Change of attitude of the mainbody considering the difference of start time of movement between modules

由圖10(a)和(b)可知,考慮模塊運動開始時間差異后，場景1本體姿態(tài)變化僅在10-2rad量級，場景2僅在10-3量級，其中，場景2中本體滾動與俯仰角均保持穩(wěn)定。

為進一步驗證對稱式重構的有效性，對不滿足對稱性條件的非對稱式重構過程進行動力學仿真，仿真場景如圖11所示，除重構運動方式和組合體構型不同外，其余參數(shù)設置均與上述仿真相同。

圖11 動力學仿真場景Fig.11 Dynamic simulation scene

仿真得到的本體姿態(tài)變化曲線如圖12所示。

圖12 非對稱式重構下本體姿態(tài)變化曲線Fig.12 Change of attitude of the mainbody under asymmetric reconfiguraton

由圖12可知，非對稱式重構下，本體姿態(tài)相比于對稱式重構發(fā)生了更大的變化，其中滾動角的變化超過了0.5 rad，說明非對稱式重構對本體姿態(tài)有較大沖擊，而對稱式變構可避免這一問題綜合分析上述仿真結果，可知考慮了不同模塊質(zhì)心位姿、質(zhì)量、慣量、運動開始時間的差異的情況下，對稱式變構仍能保證本體至少一個自由度的姿態(tài)穩(wěn)定，其他軸向的姿態(tài)變化幅度也較小。由此證明，對稱式重構在各模塊質(zhì)心位置、質(zhì)量、慣量、運動開始時間存在一定差異的情況下仍能在一定程度上減小本體姿態(tài)所受的影響。

2 重構規(guī)劃算法設計

2.1 構型的表示方法及其合理性判定

利用三維空間網(wǎng)格表示各模塊的位置[15]，則各模塊位置對應一個整數(shù)坐標，則組合體構型可用一個三維整數(shù)坐標的集合表示。一個集合中的所有點進行相同的旋轉、平移變換后所得到的新集合與原集合表示的構型為同一構型。

并非任意集合都可表示組合體構型，當集合中出現(xiàn)如圖13中(2)(3)所示兩種結構時，認為該集合不合理，在重構過程中應排除。

圖13 合理與不合理構型的示例Fig.13 Examples of reasonable and unreasonable configurations

文中將模塊面接觸定義為連通，分離和弱連接定義為非連通。此外構型的連通性可通過求解無向圖中各節(jié)點間最短路徑的方法判斷。

判斷流程如圖14所示，將構型中每個模塊作為無向圖中的頂點，當某模塊的某面與另一模塊的某面相接觸時，則認為兩模塊相連，在無向圖中對應兩頂點通過一條邊相連，所有相連頂點之間的邊的權值均為1。得到無向圖之后，計算該無向圖中所有頂點與其他頂點間的最短距離(兩頂點間最短通路上的權值之和)，若存在某兩頂點間的距離為無窮大，則該構型不連通。

圖14 構型連通性判斷流程Fig.14 Program flow to judge connectivity of configurations

2.2 不同構型間差異度的評價指標

微納聚合體衛(wèi)星從初始構型變換為目標構型的過程可類比為路徑規(guī)劃的過程，重構過程中每一個中間構型相當于路徑上某一節(jié)點。要以盡可能少的步數(shù)實現(xiàn)重構，相當于尋找從初始構型到目標構型間的最短路徑。最主要的問題是找到一個指標，可以衡量兩構型間的“距離”，重合度以及最優(yōu)分配度量[16]均可實現(xiàn)以上功能。

重合度可用兩構型對應的坐標集合的交集的元素個數(shù)來衡量。構型A對應的模塊坐標集合為α，構型B對應的模塊坐標集合為β，兩集合交集為γ=α∩β，則集合γ中元素的數(shù)量為兩構型的重合度。

最優(yōu)分配度量的計算方法如下文所述。

ai(i=1,…,n)為構型A中的模塊，bj(j=1,…,n)為構型B中的模塊，定義如下函數(shù)：

f(A,B)=∑1≤i, j≤nkijdij

(10)

式中：dij為ai到bj的網(wǎng)格距離(即在網(wǎng)格中移動的最小步數(shù))，當ai將移動到bj位置時，kij為1，否則為0。由于各模塊初末位置一一對應，因此有以下約束：

(11)

(12)

定義最優(yōu)分配度量為：

δ(A,B)=minf(A,B)

(13)

則最優(yōu)分配度量值可由Hungarian算法[17]求得，求解過程由以下示例進行說明。

圖15(a)為當前4個模塊組成的平面構型，(b)為目標構型，(c)為兩構型的疊加。由于各模塊位置確定，因此疊加構型唯一確定。

圖15 示例構型Fig.15 Example of configurations

定義4×4的矩陣D，其元素Dij=dij(圖15(c)中模塊i到j’的網(wǎng)格距離)。則矩陣D的值如下所示：

δ(A,B)=D11+D22+D33+D44

(14)

2.3 重構規(guī)劃算法設計

重構規(guī)劃算法需要找到一條從初始構型到目標構型的較短的“路徑”，對路徑的搜索方法以A*算法為基礎，將最優(yōu)分配度量與重合度共同作為“路徑”上節(jié)點之間距離的度量指標，為達到對稱式重構的目的，根據(jù)1.2中構型變化對稱性判定條件對中間構型進行篩選。

根據(jù)A*算法的原理，定義估價函數(shù)f(x)=d(x)+h(x)，其中d(x)為初始構型到當前構型x的變換步數(shù)，h(x)為當前構型x到目標構型的估計距離(與最優(yōu)分配度量值呈正相關，與重合度呈負相關)。搜索前建立open列表與close列表；將初始構型作為當前的父節(jié)點構型，將初始構型存入close列表；根據(jù)模塊運動約束得到父節(jié)點構型所有可達構型，并將不在close列表中的可達構型放入open列表；用對稱性條件考察open列表中的構型，若存在滿足條件的構型，則將不滿足條件的構型從open列表刪除；在open列表中篩選出與目標構型重合度度量值最大的構型，其余構型從open列表中刪除；在open列表中篩選出與目標構型最優(yōu)分配度量值最小的構型，其余構型從open列表中刪除；隨機選擇open列表中剩余構型之一，將其作為新的父節(jié)點構型，并存入close列表；重復以上步驟，直到目標構型出現(xiàn)在open列表中。算法流程如圖16所示。

圖16 重構規(guī)劃算法流程Fig.16 Program flow of reconfiguration planning

3 算法校驗

微納聚合體衛(wèi)星的一種典型應用場景為空間陣列天線的展開與構型變換。其構型分為發(fā)射構型(即由運載火箭發(fā)射時的小包絡尺寸構型)和在軌構型(即入軌后根據(jù)不同功能需求展開而成的構型)。在軌構型中，陣列天線常用的典型構型包括面陣構型與線陣構型。本節(jié)采用對稱性重構規(guī)劃算法對以上三類典型構型間的變換進行校驗。

1)發(fā)射構型重構為面陣構型

模塊總數(shù)為12，需以適當比例設置運動模塊數(shù)量?？紤]到運動模塊數(shù)量不宜過多，為在運動模塊數(shù)量較少的情況下校驗算法對對稱運動的篩選作用，本算例將運動模塊數(shù)量上限設置為僅大于1的奇數(shù)3，規(guī)劃結果如圖17所示。

圖17 算例1計算結果Fig.17 Calculation result of numerical example 1

2)發(fā)射構型重構為線陣構型

參數(shù)設置與(1)相同，規(guī)劃結果如圖18所示。

圖18 算例2計算結果Fig.18 Calculation result of numerical example 2

3)面陣構型重構為線陣構型

參數(shù)設置與(1)相同，規(guī)劃結果如圖19所示。

圖19 算例3計算結果Fig.19 Calculation result of numerical example 3

3個算例由規(guī)劃算法得到的重構過程總步數(shù)、對稱式重構步數(shù)及其所占的比例如表1所示。

表1 規(guī)劃計算結果分析Table 1 Analysis of calculation result of planning algorithm

由表可知，對于三個算例，組合體都在較少的步數(shù)內(nèi)完成了重構。其中對稱式重構的步數(shù)所占的比例在不同算例中差別較大，但最低也接近50%，最高為100%，證明了對稱式重構規(guī)劃算法的有效性。

4 結 論

本文為解決微納聚合體衛(wèi)星的重構規(guī)劃問題，首先建立了動力學模型，對其進行動力學分析。仿真結果表明：當某兩個模塊的運動滿足對稱性條件時，兩者的運動對微納聚合體衛(wèi)星本體姿態(tài)的干擾可相互抵消。

基于上述分析，本文設計了微納聚合體衛(wèi)星對稱式重構規(guī)劃算法。通過3個典型算例對該算法進行校驗。校驗結果表明：該算法可實現(xiàn)在盡可能多的對稱運動步數(shù)下進行重構。

同時，由仿真結果可知，不同的初始與目標構型下，對稱運動比例差別較大，說明算法運行結果對各初始條件敏感。因此，初始與目標構型、模塊總數(shù)、運動模塊數(shù)量等因素對規(guī)劃結果的影響有待研究。此外，對稱性步數(shù)是否存在理論上限，是否存在無法對稱變構的構型等問題有待進一步研究。