PageRank思想在若干數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的滲透

鄭華 孫宇鋒

[摘 要] 在數(shù)學(xué)模型、數(shù)值分析、數(shù)學(xué)軟件等信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)課程中滲透PageRank的數(shù)學(xué)思想，可以用來(lái)在教學(xué)過(guò)程中形成鏈條式的教學(xué)模式，使學(xué)生進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣以及拓展學(xué)習(xí)視野，提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力和提升教學(xué)效果，使學(xué)習(xí)更有深度、廣度和寬度，進(jìn)而輻射科學(xué)計(jì)算后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程。

[關(guān)鍵詞] PageRank;鏈條式教學(xué);課程融合

[基金項(xiàng)目] 教育部2017年度“產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人”項(xiàng)目（201701044035、201701044085）;廣東省2016年度“教育教學(xué)質(zhì)量工程”建設(shè)項(xiàng)目

（大學(xué)生實(shí)踐教學(xué)基地立項(xiàng)No：46）;韶關(guān)學(xué)院第十九批教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目“基于大數(shù)據(jù)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的《專業(yè)核心

技能訓(xùn)練》課程教學(xué)改革研究與實(shí)踐”（SYJY20181908）;2018年韶關(guān)學(xué)院“質(zhì)量工程”建設(shè)項(xiàng)目（科學(xué)計(jì)算中的若干問(wèn)題No：7）

[作者簡(jiǎn)介] 鄭 華（1982—），男，廣東韶關(guān)人，計(jì)算數(shù)學(xué)博士，韶關(guān)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)楦咝阅苡?jì)算;孫宇鋒（1963—），男，河北邢臺(tái)人，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要從事微分方程、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)史研究。

[中圖分類號(hào)] G642? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）30-0294-02? ? [收稿日期] 2019-09-23

一、介紹

數(shù)學(xué)模型、數(shù)值分析、數(shù)學(xué)軟件等是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)課，這些課程良好的教學(xué)效果直接為該專業(yè)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題、順利完成專業(yè)人才培養(yǎng)方案的要求打下基礎(chǔ)。因此，在關(guān)聯(lián)性緊密的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)課程教學(xué)過(guò)程中，如果能借助合適的科學(xué)計(jì)算模型以及數(shù)學(xué)思想把多門(mén)課程融合，探索課程之間相應(yīng)理論的關(guān)聯(lián)性，以鏈條式教學(xué)的模式在不同的問(wèn)題情境中多次呈現(xiàn)類似的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而不斷呈現(xiàn)相關(guān)課程內(nèi)容中隱含的關(guān)鍵要素，有利于學(xué)生掌握并遷移于新的情境，提高其認(rèn)知的靈活性，使學(xué)生進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣以及拓展學(xué)習(xí)視野，加強(qiáng)對(duì)相關(guān)課程知識(shí)體系的貫通和全面掌握。

二、PageRank簡(jiǎn)介

一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的建模及解決往往是很復(fù)雜的，需要各方面的專家長(zhǎng)期協(xié)作，逐步取得進(jìn)展。因此，要把問(wèn)題引入到教學(xué)中來(lái)，精選問(wèn)題就成了關(guān)鍵[1]。PageRank是Google搜索中的核心算法，對(duì)于按用戶提交的關(guān)鍵詞搜索得到的網(wǎng)頁(yè)，基于這些網(wǎng)頁(yè)在互聯(lián)網(wǎng)中相互之間的浩瀚鏈接關(guān)系，PageRank算法對(duì)網(wǎng)頁(yè)進(jìn)行等級(jí)評(píng)分（稱為PR值）排序，其主要思想是同時(shí)考慮各網(wǎng)頁(yè)被鏈接數(shù)量以及各網(wǎng)頁(yè)本身的重要性。PageRank算法計(jì)算各網(wǎng)頁(yè)P(yáng)R值的基本步驟為：1.從互聯(lián)網(wǎng)獲取表示網(wǎng)頁(yè)之間鏈接關(guān)系的鄰接矩陣;2.對(duì)鄰接矩陣進(jìn)行修正得到Google矩陣;3.計(jì)算Google矩陣的主特征向量（即按模最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量）;4.把主特征向量進(jìn)行歸一化后得到各網(wǎng)頁(yè)的PR值。

三、PageRank和“循環(huán)比賽的名次”的建模過(guò)程教學(xué)

在數(shù)學(xué)模型的教學(xué)過(guò)程中，如果能把數(shù)學(xué)建模方法與鮮活的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境相聯(lián)系，就能加強(qiáng)理性與感性認(rèn)知的有機(jī)聯(lián)系，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)建模方法本質(zhì)的深刻理解，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模方法的靈活運(yùn)用和廣泛遷移?！把h(huán)比賽的名次”是數(shù)學(xué)模型[2]中的離散模型之一，其關(guān)注的背景問(wèn)題是日常生活中的比賽排名問(wèn)題（比賽只有勝負(fù)，沒(méi)有平局）。最簡(jiǎn)單的思路是按照各個(gè)參賽隊(duì)的總勝場(chǎng)數(shù)進(jìn)行排名，但從比賽結(jié)果對(duì)應(yīng)的競(jìng)賽圖角度看，在雙向連通圖的情形下無(wú)法對(duì)所有參賽隊(duì)進(jìn)行排序。因此，在數(shù)學(xué)模型課的“循環(huán)比賽的名次”建模思想的講授中，同時(shí)給學(xué)生展示PageRank的建模思路，可以有效地幫助學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)科學(xué)計(jì)算前沿問(wèn)題的拓展，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。

四、PageRank和冪法的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)

在數(shù)值分析[3]的特征值計(jì)算理論中，冪法對(duì)應(yīng)的是計(jì)算大規(guī)模稀疏矩陣的主特征值和主特征向量，這與PageRank算法流程第（3）步針對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題一致。從該數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述上看，跟高等代數(shù)課程中學(xué)習(xí)的矩陣特征值理論有所區(qū)別，這里只需計(jì)算矩陣的1個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。根據(jù)上節(jié)的分析，可結(jié)合PageRank模型的背景，給學(xué)生闡明計(jì)算主特征值和主特征向量在實(shí)際應(yīng)用中的必要性，確實(shí)有些應(yīng)用問(wèn)題只需要計(jì)算矩陣的1個(gè)特征值信息（而不是全部的特征值信息），進(jìn)而幫助學(xué)生擺脫高等代數(shù)特征值理論的純理論束縛，加深對(duì)冪法背景的理解，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)視野。

在算法構(gòu)建上，冪法的推導(dǎo)思路是不斷用給定矩陣乘以初始向量（即出現(xiàn)了矩陣乘冪的運(yùn)算），然后借助算法假設(shè)得到冪法的迭代格式以及推導(dǎo)其收斂性理論，這個(gè)過(guò)程涉及到高等代數(shù)課程較為抽象的線性空間和向量線性相關(guān)性理論，并且，其中的關(guān)鍵在于如何想到利用矩陣乘冪提取出矩陣的主特征值和對(duì)應(yīng)特征的向量。因此，對(duì)于在大學(xué)一年級(jí)階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課學(xué)得不好的學(xué)生，理解起來(lái)有些困難，會(huì)被略顯枯燥的數(shù)學(xué)推導(dǎo)束縛進(jìn)而影響對(duì)算法思想的掌握。由于冪法的推導(dǎo)思路和PageRank模型的思想是類似的，借助PageRank模型的簡(jiǎn)單版本——“循環(huán)比賽的名次”，就可以從“如何顯現(xiàn)每場(chǎng)比賽的勝負(fù)價(jià)值”這個(gè)角度入手，借助鄰接矩陣的意義和矩陣乘法規(guī)則，給學(xué)生展示冪法中矩陣乘冪運(yùn)算的推演。在這個(gè)過(guò)程中，把生活化以及科學(xué)前沿的案例融入較抽象的算法推導(dǎo)，能快速讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)推導(dǎo)的關(guān)鍵思想，進(jìn)而加深對(duì)冪法的理解。

五、PageRank和稀疏矩陣實(shí)驗(yàn)教學(xué)

稀疏矩陣的存儲(chǔ)和運(yùn)算是數(shù)學(xué)軟件課程關(guān)注的內(nèi)容之一，在計(jì)算機(jī)上對(duì)稀疏矩陣（尤其是大規(guī)模問(wèn)題）進(jìn)行操作的過(guò)程中，一般采用三元數(shù)組存儲(chǔ)的方式，并且應(yīng)盡量避免矩陣乘矩陣的運(yùn)算。以MATLAB為例，如果局限在MATLAB中講解稀疏矩陣運(yùn)算的相關(guān)函數(shù)（如sparse、sprand、spdiags、speye等），部分學(xué)生對(duì)此可能不會(huì)有深刻的體會(huì)，容易形成為了應(yīng)付期末考試而去機(jī)械記憶這些函數(shù)的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣?？紤]到PageRank模型中的Google矩陣正是由大規(guī)模稀疏矩陣修正得到的，把該實(shí)例引入數(shù)學(xué)軟件課程的上機(jī)實(shí)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)，給相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)帶來(lái)了生氣，可以消除學(xué)生對(duì)復(fù)雜代碼的厭煩情緒，讓學(xué)生更能感受到課程的實(shí)用性。

對(duì)于稀疏矩陣的存儲(chǔ)，在講解三元數(shù)組存儲(chǔ)方式原理的基礎(chǔ)上，結(jié)合PageRank模型中Google矩陣規(guī)模的演變過(guò)程，讓學(xué)生了解大規(guī)模稀疏矩陣的實(shí)際背景，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)稀疏矩陣存儲(chǔ)的必要性。其中，可以在互聯(lián)網(wǎng)上下載來(lái)源于實(shí)際應(yīng)用的大規(guī)模Web鄰接矩陣數(shù)據(jù)包，作為學(xué)生上機(jī)實(shí)驗(yàn)的操作對(duì)象。進(jìn)一步地，由于PageRank模型中的Google矩陣被個(gè)性化向量修正后是完全稠密的矩陣，因此不能在算法實(shí)現(xiàn)中進(jìn)行顯式存儲(chǔ)，以此作為大規(guī)模稠密矩陣存儲(chǔ)的反例，為下一步稀疏矩陣的運(yùn)算格式做好鋪墊。

對(duì)于稀疏矩陣的運(yùn)算，以大規(guī)模的Web鄰接矩陣為例，用MATLAB的spy函數(shù)查看矩陣稀疏結(jié)構(gòu)在矩陣乘矩陣運(yùn)算中的被破壞程度，可以使學(xué)生快速理解在PageRank算法實(shí)現(xiàn)中Google矩陣不能直接存儲(chǔ)的原因，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)“避免矩陣乘矩陣”這個(gè)稀疏矩陣基本運(yùn)算規(guī)則理念的理解。同時(shí)，基于計(jì)算機(jī)內(nèi)存限制和PageRank算法中的矩陣乘冪運(yùn)算要求，需要把矩陣乘冪運(yùn)算轉(zhuǎn)化為矩陣乘向量，進(jìn)而才推導(dǎo)出冪法實(shí)現(xiàn)的迭代過(guò)程。結(jié)合PageRank算法流程進(jìn)行講解，能使學(xué)生對(duì)數(shù)值分析中以迭代格式來(lái)實(shí)現(xiàn)冪法有更好的理解.

六、結(jié)論

信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)著重培養(yǎng)學(xué)生解決科學(xué)計(jì)算、軟件開(kāi)發(fā)等實(shí)際問(wèn)題的能力，把科學(xué)計(jì)算中的前沿問(wèn)題與該專業(yè)數(shù)學(xué)模型、數(shù)值分析、數(shù)學(xué)軟件等專業(yè)課相結(jié)合，在這些課程中滲透PageRank數(shù)學(xué)思想，圍繞這一典型綜合案例，以連貫的模型建立、算法設(shè)計(jì)、算法實(shí)現(xiàn)帶動(dòng)相關(guān)數(shù)學(xué)理論的理解，有效地幫助學(xué)生在宏觀上把所學(xué)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，提高對(duì)專業(yè)知識(shí)的多角度理解，使學(xué)習(xí)更有深度、廣度和寬度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提升教學(xué)效果，同時(shí)輻射科學(xué)計(jì)算后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程。由于眾多應(yīng)用數(shù)學(xué)類的課程相互之間都有一定的關(guān)聯(lián)性，本文的教學(xué)研究思路可推廣到其他應(yīng)用數(shù)學(xué)類的課程中。

參考文獻(xiàn)

[1]韓旭里.數(shù)值計(jì)算與數(shù)學(xué)建模結(jié)合教學(xué)的實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（3）：74-75.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

The Infiltration of the Idea of PageRank in the Teaching of Some Mathematical Courses

ZHENG Hua，SUN Yu-feng

（School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan，Guangdong 512005，China）

Abstract："Mathematical Model"，"numerical Analysis"，"Mathematical Software" and other information and computational science courses infiltrate the mathematical thought of PageRank，which can be used to form a chain teaching model in the teaching process，so that students can further clarify their learning objectives，stimulate their interest in learning and expand their learning horizons，improve their learning motivation and improve their teaching effect，and make their learning more deep，broad and wide，and then it will be helpful for the follow-up related professional courses in calculation science.

Key words：PageRank;chain teaching;courses integration