均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

李方杰

摘要：本文舉例說明均值不等式的定義，均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中求解最值問題，均值不等式恒成立的問題，運用均值不等式比較代數(shù)式大小的方法。均值不等式的證明過程及整理中學(xué)數(shù)學(xué)中均值不等式的易錯點，并對其進行歸納與分析。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);均值不等式;分類探究

引言

量具有相等的關(guān)系，也具有不等關(guān)系，所有比較量大小的問題都需要用到不等式的知識。不等量之間的關(guān)系，我們一般使用不等式來描述它，它不僅僅描述了量之間的關(guān)系，在其它方面也有一定的涉及。不等式的存在給很多原本無法解決的問題提供了新的解決方向。

均值不等式這一內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)必修5不等式部分的重點之一，其在不等式的理論中也占據(jù)著不可動搖的地位。同時運用均值不等式求解最值問題也是高考數(shù)學(xué)考查重點，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中也對這一部分內(nèi)容做出了相關(guān)的教學(xué)規(guī)定，均值不等式的應(yīng)用在整個高中數(shù)學(xué)中都有一定的涉及。運用均值不等式求解最值問題也是歷年以來高考考查的重要知識點，因此對均值不等式的性質(zhì)進行歸納研究很有必要。

一、均值不等式

1.均值不等式定義

（1）定義均值不等式也叫做平均不等式。調(diào)和平均數(shù)（Harmonic?mean）、幾何平均數(shù)（Geometric?mean）、算數(shù)平均數(shù)（Arithmetic?mean）及平方平均數(shù)（Quadratic?mean）的不等關(guān)系就稱為均值不等式，即或者

其中：

調(diào)和平均數(shù)（Harmonic?mean）

幾何平均數(shù)（Geometric?mean）

算數(shù)平均數(shù)（Arithmetic?mean）

平方平均數(shù)（Quadratic?mean）

（2）均值不等式的性質(zhì)

一般的，對于均值不等式有以下性質(zhì)（1）若為非負(fù)數(shù)，即;

（當(dāng)時，取“=”成立）

（2）若為非負(fù)實數(shù)，即;

（當(dāng)時，取“=”成立）

（3）若為非負(fù)實數(shù)，即;

（當(dāng)時，取“=”成立）

（4）若為非負(fù)實數(shù)，;

（當(dāng)時，取“=”成立）

對上述均值不等式的性質(zhì)，這里做以下補充說明：

（1）上述四個式子稱是中學(xué)中常用的均值不等式

（2）一個重要的不等式鏈：（，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取“=”）

（3）稱為幾何平均數(shù)（Geometric?mean），稱稱為算數(shù)平均數(shù)（Arithmetic?mean），可描述為兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算何平均數(shù)。

從均值不等式還可觀察出：

若且（為非負(fù)數(shù)），

則時，;

若且（為非負(fù)數(shù)），

則時，?？珊唵斡洖椤昂投ǚe最大，積定和最小”。

但應(yīng)注意：

（1）均值不等式成立的前提條件：若滿足前提條件就可以直接運用，若不滿足需改變其符號再運用;

（2）在運用均值不等式時遇到不能直接使用均值不等式解決的題型，可先根據(jù)均值不等式的性質(zhì)對它進行變形，湊成能夠使用均值不等式的形式;

（3）可否取等號，若要求函數(shù)的最大、最小值，只有在能取等號時才能確定函數(shù)式的最值，除此之外不能使用均值不等式求其最值，只能用其它方法求最值。

綜上所述：合理運用均值不等式的口訣可記為“一正二定三相等”。

二、]均值不等式求解最值問題

1.求解函數(shù)最值

本節(jié)將在舉例均值不等式在求解最值問題的應(yīng)用中，對用均值不等式求解最值的方法做了歸納總結(jié)。在運用均值不等式時的應(yīng)注意前提條件“一正二定三相等”，一般來說在實際解題過程中均值不等式的使用是需要進行變換，約分等多種變形手段而得到的。

2.拼湊法

（1）拼湊定和

例3.1求的最大值。

解：變形得，

根據(jù)均值不等式有，

所以，

只有在，即時，“=”成立，

由此得時，?為函數(shù)的最大值。

解題反思：此題，將根號外的正變量移進根號內(nèi)進行集中變元，再對其添上系數(shù)4，便可得均值不等式中的“和定積最大”。

（2）拼湊降冪

例3.2若，求的最大值。

解：，

故，即當(dāng)時，等號成立，則的最大值為2.

（2）換元法

例3.3?已知，。

解：由題可得，因為，

所以，令，

則，，即，

故，所以。

解題反思：首先直接利用均值不等式轉(zhuǎn)化為解不等式問題，再通過換元的技巧，把復(fù)雜的式子變?yōu)楹唵巍?/p>

（3）參數(shù)法

例3.4?已知為正實數(shù)，求的最小值。

解：由題可知，無法直接計算，因此可添加參數(shù)，

即，

函數(shù)這是可取最小值，此時時，。

解題反思：本小題通過添加參數(shù)進行均值不等式，最終達到分子與分母約掉未知數(shù)而求出函數(shù)的最值。

在解題的過程中，部分可以直接用均值不等式求解，更多的時候，需要注意均值不等式的多種形式，靈活運用，多種方法相結(jié)合，熟練掌握多種變形技巧。

三、均值不等式與恒成立問題

恒成立問題是高考中的熱門考點之一，函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等等都是解恒成立的重要方法，然而用均值不等式解恒成立問題也是一種應(yīng)用比較廣泛的方法，一般有兩種處理方式：

（1）若不等式在區(qū)間D上恒成立

則等價于在區(qū)間D上;

（2）若不等式在區(qū)間D上恒成立

則等價于在區(qū)間D上。

例4.1已知x，y為正實數(shù)且，若使不等式是恒成立的，求實數(shù)的取值范圍？

解：由題可知，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

所以x+y最小值為16，故的取值范圍為。

解題反思：本小題靈活的運用關(guān)于“1”的恒等式，將“1”進等量代換，以及運用了不等式的基本性質(zhì)恒成立。

例4.2假設(shè)，都有不等式成立，求m的取值范圍。

解：由題可知對任意，

不等式恒成立，故有，

即，

由于，

故，所以m的取值范圍為。

解題反思：本題主要考查了恒成立問題，對于此類問題解法有很多，在此主要介紹了分離變量法與均值不等式相結(jié)合的方法。

對于大多數(shù)有關(guān)不等式恒成立問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為求其最值問題，再結(jié)合均值不等式的運用法則“一正二定三相等”，選取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑥亩鉀Q問題。

四、比較大小

對于比較兩個代數(shù)式的大小這類問題，通常有作差比較法，中間值法，綜合法，分析法，放縮法等方法。均值不等式作為不等式的一種，往往在這類題中能發(fā)揮出意料之外的效果。

1.分析法

例5.1

若，?，

則的大小關(guān)系是？

解：因為，所以

所以。

解題反思：均值不等式作為不等式的一種，其本身就反應(yīng)了兩個數(shù)之間的大小關(guān)系，對其進行適當(dāng)?shù)淖儞Q，就能使用均值不等式進行求解。

2.放縮法

例5.2已知，，問的大小關(guān)系？

解：

因為，所以，即

故，所以。

解題反思：本題主要考查均值不等式的變形，

將作為標(biāo)準(zhǔn)進行縮放，便可解決此題。

五、證明不等式

中學(xué)證明不等式一般采用比較法，代換法等。但有些問題運用上述方法無法快捷有效的解決，此時使用均值不等式對問題進行處理，這樣會使復(fù)雜問題簡單化，這里舉例說明。

1.代換法

例6.1已知，且，

求證：。

解：由于，

所以，，，

又因為，則，，，

故

命題即證。

解題反思：本小題靈活應(yīng)用“1”作為橋梁進行等量代換，為運用均值不等式提供條件，最后疊加解決該題。

2.拆項法

例6.2?假設(shè)，證明：。

解：證明：由題可知?，

可得

（當(dāng)時“=”成立）。

3.反證法

例6.3已知，求證：。

解：

假設(shè)，則

而，故，

所以，從而.

所以，即，故，這與假設(shè)矛盾，故.

解題反思：本小題利用立方和公式及均值不等式結(jié)合進行反證與已知事實產(chǎn)生矛盾，從而得出結(jié)論。

六、均值不等式應(yīng)用易錯分析

均值不等式應(yīng)用非常廣泛，可以巧妙地解決兩正數(shù)和、積、倒數(shù)和以及平方和的相互轉(zhuǎn)化問題。因此常利用均值不等式解決最值、恒成立、比較大小、證明不等式等問題。然而我們往往在應(yīng)用中容易出錯。這就是由于運用時忽略了均值不等式成立的前提條件，從而走入種種誤區(qū)導(dǎo)致解題錯誤。

1.忽略“正數(shù)”條件致錯

例7.1已知，求函數(shù)的最小值？

錯解：由題可知

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以。

錯誤分析：在應(yīng)用均值不等式求解時，未注意題中已知條件而導(dǎo)致結(jié)果錯誤，正所謂“一正”不滿足而使用均值不等式。

2.忽略驗證“和為定值”?或“積為定值”或致錯

例7.2已知為正實數(shù)，求的最小值？

錯解：因為x>0，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，故。

錯誤分析：在利用均值不等式求解“積”或“和”的最值時，必須先滿足“積為定值”或“和為定值”，而上訴過程與的積不為定值而導(dǎo)致應(yīng)用錯誤，正所謂“二定”不滿足。

3.“等號”不成立致錯

例7.3已知且，求的最小值？

錯解：因為，所以，則，

即，故的最小值是8。

錯誤分析：過多的使用均值不等式，而導(dǎo)致等號成立的條件不一致，“當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅰ?/p>

“當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅰ?/p>

不滿足同時成立，因此答案錯誤。

結(jié)語

均值不等式作為不等式的一類，在整個中學(xué)都有一定的應(yīng)用，在高等教育中也有著它的一席之地。經(jīng)過對此文的撰寫，我深刻理解了均值不等式對于數(shù)學(xué)這一學(xué)科的意義。它為原來無法解決的問題找到新的解決辦法，體現(xiàn)出均值不等式的價值。對于中學(xué)生來說，探索、認(rèn)識、理解知識，體會學(xué)習(xí)的意義，讓他們明白學(xué)有所用，提高對于學(xué)習(xí)的興趣和積極性，形成良好的思維能力。學(xué)海無涯，對于均值不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用的分析還有很長一段路需要走。它需要各位老師、學(xué)者在理論與實踐中不斷地探索與研究。

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