淺談大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建

摘 要：數(shù)學(xué)教育應(yīng)該在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的過程培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅有助于專業(yè)課的學(xué)習(xí)，而且數(shù)學(xué)思維能影響學(xué)生的一生。本文闡述了數(shù)學(xué)思維中的形象思維、抽象思維、探索性思維、擴(kuò)展性思維、創(chuàng)造性思維的定義，并說明在教學(xué)以及學(xué)習(xí)中如何著重培養(yǎng)這幾種數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：形象思維;抽象思維;探索性思維;擴(kuò)展性思維;創(chuàng)造性思維

數(shù)學(xué)教育應(yīng)著重其思維的培養(yǎng)，而不在于多解對(duì)一道題或少解錯(cuò)一道題，尤其是對(duì)大學(xué)生的數(shù)學(xué)教育。對(duì)于理工科的大學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這三門課是必修的基礎(chǔ)課。這三門課的教學(xué)過程中，教師們應(yīng)通過其知識(shí)點(diǎn)的傳授時(shí)，側(cè)重對(duì)學(xué)生們數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維可分為形象思維、抽象思維、探索性思維、擴(kuò)展性思維、創(chuàng)造性思維等。在教學(xué)過程中，每一種思維都不是單獨(dú)存在的，各種思維應(yīng)該穿插進(jìn)行培養(yǎng)，為了比較這些思維的異同，本文將分別進(jìn)行敘述。

1 形象思維

形象思維，是指通過事物的表象和具體形象來進(jìn)行的思維，屬于思維的初級(jí)階段。在數(shù)學(xué)上，形象思維側(cè)重于對(duì)概念重點(diǎn)信息的提取，從而理解定義并恰當(dāng)應(yīng)用;或是讀題面，理解題意，并思索應(yīng)用什么方法進(jìn)行求解。

例如：設(shè)E為平面上一點(diǎn)集，即，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)。若存在點(diǎn)P的一個(gè)鄰域，使得，則P為E的內(nèi)點(diǎn)。根據(jù)此定義我們可以提取的信息：P應(yīng)該是點(diǎn)集E內(nèi)部的點(diǎn)而且不能是邊界上的點(diǎn)，根據(jù)此理解可把圖畫出，如下圖，點(diǎn)P1就是點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)。

從上面的例題可以看出，在講解定義和例題時(shí)，側(cè)重對(duì)定義和題面重點(diǎn)信息的提取并推出所需要的信息。從而培養(yǎng)學(xué)生觀察信息和獲取信息的能力。

2 抽象思維

抽象思維，是指把議論語言當(dāng)作媒介、借助邏輯和概念分析來做出推理和判斷的思維，屬于思維的理性階段。在高等數(shù)學(xué)這門課程里最抽象的章節(jié)是級(jí)數(shù)，無窮級(jí)數(shù)在微積分學(xué)中占有重要地位，我們可以借助無窮級(jí)數(shù)來表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。所謂無窮級(jí)數(shù)，即無窮多項(xiàng)數(shù)列相加。根據(jù)求和的數(shù)列的特點(diǎn)不同，又分為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、變號(hào)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)等。判斷這些級(jí)數(shù)的斂散性，有很多判別方法，判別方法也非常靈活。

例如：（比較判別法）設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且則：

1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂;

2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。

根據(jù)判別法可知，此判別法是針對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，要判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，需要找到另一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與之比較。重點(diǎn)就是需要找到的這個(gè)被比較的級(jí)數(shù)要恰當(dāng)，下面舉個(gè)例子說明。

例如：判別級(jí)數(shù)的斂散性

分析：這里需要對(duì)恰當(dāng)放縮，觀察分子為n+1，若分母

也能分解出n+1這個(gè)因式，就能消去n+1，分母變成n的一次冪，而分子只剩常數(shù)，這樣便可以和調(diào)和級(jí)數(shù)建立聯(lián)系。而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，便可判斷出此級(jí)數(shù)亦發(fā)散。

遇到這類較抽象的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要注意幫助分析思路，注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象、分析、概括、判斷、推理和綜合能力。

3 探索性思維

探索性思維，是指根據(jù)目標(biāo)進(jìn)行求異、求同學(xué)習(xí)和探索的思維，它常常升華于一般性思維。在學(xué)習(xí)函數(shù)與極限章節(jié)，總會(huì)遇到用定義證明數(shù)列或函數(shù)的極限存在。需要假設(shè)極限存在，反解出所需要的N或δ或M。

極限這一章節(jié)是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一章。對(duì)于剛步入大學(xué)生活的同學(xué)們來說，這一章節(jié)晦澀難懂不易理解，但是通過對(duì)本章定義以及例題的講解與練習(xí)，可培養(yǎng)大學(xué)生假設(shè)、嘗試、化歸、聯(lián)想和探索能力。

4 擴(kuò)展性思維

擴(kuò)展性思維的特點(diǎn)：靈活與求變。應(yīng)努力培養(yǎng)大學(xué)生變通、靈活的思維以適應(yīng)日新月異的社會(huì)。著重培養(yǎng)信息處理、做出決斷和解決問題的能力。

在高等數(shù)學(xué)中，同一題可能有不同的解法，學(xué)生們在練習(xí)這樣的題的過程當(dāng)中，可以突破定勢思維，使思維更具發(fā)散性。

例如：設(shè)球面半徑為R，球冠高度為h，則球冠面積為多少？

解法一：利用微元法：

解法二：在直角坐標(biāo)系下用二重積分計(jì)算：

解法三：在極坐標(biāo)系下用二重積分計(jì)算：

設(shè)分別為球面的經(jīng)度和緯度，則球冠在極坐標(biāo)系下的面積微元為dS。于是有

這個(gè)題列舉了三種解法，當(dāng)然要解決這個(gè)題還不止這三種解法，一題多解的題在數(shù)學(xué)上也有很多。在遇到這類題型時(shí)，可告訴學(xué)生此題解法的多樣性，講解其中一種方法，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)并完成其他解法，在這個(gè)過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度。

5 創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維，是指突破原有的思維方式并創(chuàng)造出新思維成果的思維，屬于思維的高級(jí)階段。在高等數(shù)學(xué)上體現(xiàn)在對(duì)題的解法，突破原有思維，用不一樣的做法，而且此做法簡單易懂。

上面的例題的解法可以看出解法一是常規(guī)解法，也是最容易想到的做法，但相比解法二稍微復(fù)雜一點(diǎn)。解法二更簡單，但需要對(duì)二重積分的幾何意義理解深刻，運(yùn)用恰當(dāng)。

本文對(duì)數(shù)學(xué)思維的五種形式進(jìn)行了闡述，并舉例說明在高等數(shù)學(xué)上這些思維鍛煉的體現(xiàn)。為了闡述清晰，將這幾種思維分開闡述說明，但是每一種思維鍛煉并不是單獨(dú)存在的。在教學(xué)、練習(xí)中，經(jīng)常會(huì)涉及多種思維的訓(xùn)練。

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作者簡介

陳良莉（1990-），女，漢族，四川宜賓人，碩士，助教，主要從事高校數(shù)學(xué)類課程教學(xué)。