胡劍
[摘 要]? 從整體出發(fā)來思考,在單元復習、期末復習中得到很廣泛的應用。在解決實際問題時,也可以培養(yǎng)學生用整體的眼光來看問題,用整體的思維來解決問題,“整體”思維是一個非常有效的解題策略。
[關鍵詞]? 小學數(shù)學;整體思維;解題策略
整體思維又稱系統(tǒng)思維,它認為整體是由各個局部按照一定的秩序組織起來的,要求以整體和全面的視角把握對象。我們在平時的教學中,經(jīng)常會用到整體思維的方式,比如在單元復習中,遵循的就是“整體—部分—整體”的學習模式,“整體”把握單元知識結構,“部分”研究各個知識節(jié)點,再“整體”理順單元知識脈絡,而期末復習中著眼的整體又是全冊,部分是個單元?!爸腔蹟?shù)學”創(chuàng)始人江蘇省特級教師陳士文先生指出:“世界是一個有聯(lián)系的整體,我們的教材設計要從整體出發(fā),在知識的來龍去脈中培養(yǎng)學生整體的眼光、整體的思維,感悟智慧的生長。切忌‘斬頭去尾燒中段,把對世界的整體認識切割成一道道瑣碎的提問,而缺少宏觀的思考?!盵1]
其實,在解決實際問題時,培養(yǎng)學生用整體的眼光來看問題,用整體的思維來解決問題,也是一個非常有效的解題策略。有一道很有意思的題目:小明和小敏家相距1200米,兩人打好電話相約一起出發(fā)。小明牽著一只小狗從家出發(fā)去見好朋友小敏,小明每分鐘50米,小敏每分鐘70米,小狗和小敏也很熟,一出門就以每分鐘240米的速度奔跑過去,小狗遇到小敏后立即返回奔向主人,遇到小明后又奔向小敏……一直到小明和小敏相遇了才停了下來。問小狗一共跑了多少米?一位大學畢業(yè)的實習教師看到題目說小狗與小敏的相遇是動態(tài)的,可以用微積分來解決,可立馬又說可以整體來看,不去考慮中間的相遇狀態(tài),只要先求出小明與小敏的相遇時間,這個時間就是小狗來回跑的時間。從一開始下意識用微積分來思考,到用“整體思維”,成人的思考方式的轉變已經(jīng)說明了策略上的繁簡和優(yōu)劣。用“整體”思考的方式,也是一種解決問題的好策略,下面是筆者在教學中應用“整體”思維方式解決問題的一些思考。
一、整體思考:不考慮中間狀態(tài)
【案例一】蘇教版數(shù)學四年級上冊P17有一道這樣的題目:
如果按照常規(guī)思路,3只小猴輪流抬西瓜,分別編序號A、B、C,先AB、再AC、再CB,示意圖如下:
但要畫出這個示意圖,對于小學生來說,是有一定難度的,班級里只有少數(shù)學生才畫得出來。于是,筆者這樣來設計教學過程:
【片段一】
師:假設這個大西瓜就只有2只小猴在抬,到家時一只小猴一共抬了多少米?
生:走完全程一只小猴抬了300米。
師:2只小猴呢?
生:300×2=600(米)
師:也就是說,要想把這只西瓜抬回家,兩只小猴一定一共抬600米。2只小猴所走的路程是一個整體,這個整體(總量)是不會變化的?,F(xiàn)在多了1只小猴,不是2只,而是3只了,所行的總量還是一樣的,只要把這600米平均分配一下就可以了。
生:老師我知道了,整體考慮,總量不變,再平均分。300×2÷3=200(米)
【片段二】
師:還是這只西瓜,現(xiàn)在是4只小猴來輪流抬,平均一只小猴抬多少米呢?
生:300×2÷4=150(米)
師:5只小猴來抬呢?
生:300×2÷5=120(米)
師:能看出什么規(guī)律?(什么變什么不變)
生:行的總路程不變,平均分攤的份數(shù)變了。
師:以后遇到這樣的題型怎么做?
生:總路程÷總份數(shù)就可以了。
師:我們再做一道題,爸爸買了一輛私家車,還配有一只備用輪胎。爸爸打算帶全家去距離2000千米的西藏自駕游,考慮到對輪胎的磨損,打算用上備用輪胎。問平均一只輪胎走了多少千米?
生:2000×4÷5=1600(千米)
波利亞關于怎樣解題的四個步驟,即①問題的理解,②制定計劃,③計劃的實施,④結果的反饋。[2]設計這兩個教學片段,老師的意圖非常明顯,就是引領學生對這一類題目進行思考,怎樣有效地來解決問題。【片段一】是基于對問題的理解,幫助學生從整體出發(fā)來思考問題,建立“整體思維”:這道題的中間過程比較復雜,但整體來看,不管是哪兩只小猴來抬,所行的總路程是不變的,要先求到實際發(fā)生的路程是多少米,再去除以一共分攤的小猴數(shù),這是教學的第一層次,教會學生會做這道題;【片段二】是實施階段,并對整體思維的一個鞏固并延伸,這是非常必要的,授之以魚不如授之以漁,這是筆者安排教學的第二層次。僅僅會一題是不夠的,把3只小猴來抬變成4只、5只……讓學生明白,總路程是不變的,改變的只是平均分攤的小猴數(shù),仍然是從整體出發(fā)來思考,實際上只是除數(shù)發(fā)生變化。而后面補充練習是對知識的延伸,這樣的題型經(jīng)常會遇到,都可以用這種思維方式。對于這類問題,引導學生不要機械地、按部就班地去解題,從整體出發(fā),不考慮中間狀態(tài),是一種非常有效的方法。
二、整體思考:不要急著計算
【案例二】
師:下面是一個4×3表格,第一行和第一列的數(shù)是已知的,空格的數(shù)是它所在行的第一個數(shù)與它所在列的第一個數(shù)的乘積。求下表中所有數(shù)的和是多少?
[1 3 5 7 7 12 ]
生1:比較簡單,一個個數(shù)先算結果,再把這些數(shù)都加起來。
生2:這樣要加12個數(shù),太復雜了??梢岳贸朔ǚ峙渎蓙硭?。先算已知數(shù)的和,1+3+5+7+7+12=35;再算第二行空格的數(shù),7×(3+5+7)=105;再算第三行空格的數(shù),12×(3+5+7)=180;最后全部加起來,35+105+180=320。
生3:老師,我發(fā)現(xiàn)了,還可以再簡單些。第二行可以把自己加進去的,7×(1+3+5+7)=112;第三行也是,12×(1+3+5+7)=192。再把三行的結果全部加起來,16+112+192=320。
師:同學們的方法在一步步改進。我們先不要著急去計算。
隨著老師的一句“先不要著急去計算”,緩下節(jié)奏,重新進行梳理。乘法分配律是蘇教版數(shù)學四年級下冊學習的一個重要運算律,運用運算律對這道題進行理論上的分析,給學生以理論的支撐。用字母a、b、c、d表示第一行的四個數(shù),a、e、f表示第一列的三個數(shù)。
第一行求和:a+b+c+d=a×(a+b+c+d);
第二行求和:e×a+e×b+e×c+e×d=e×(a+b+c+d);
第三行求和:f×a+f×b+f×c+f×d=f×(a+b+c+d)
所有這些數(shù)的和:(a+e+f)×(a+b+c+d)
此時,學生會明白,根據(jù)題目要求,這些數(shù)的和其實就是第一行的數(shù)之和與第一列的數(shù)之和相乘。此題可以這樣算:(1+3+5+7)×(1+7+12)=16×20=320。
“在小學數(shù)學的教學中我們?nèi)匀灰髮W生在可能的范圍內(nèi)作出必要的論證,因為,這正是促進學生思維發(fā)展、特別是逐步形成一定的理性精神與批判能力的一個重要手段,包括逐步養(yǎng)成良好的學習習慣”。[3]所以,我們要完成這么一個推導過程。等一等,不急著去計算,其實就是一種整體考量,一個大整體呈現(xiàn),來發(fā)現(xiàn)里面的細節(jié),在這道題里,乘法分配律是總基調,如何更好地利用這個運算律,這就要著眼于整體了。從整體去思考,有效地把“大”計算化解為“小”運算了。我們還可以對此題進行加固,表格可以改為:6×5、10×8……,算理上都是一樣的。
又如,在學習圓周率相關計算時,為了提高計算速度,相信很多學生背了不少數(shù)據(jù),1π=3.14,2π=6.28,3π=9.42……有的甚至背到20π,其實大可不必,從整體來考慮,不要急著去計算,也起到很好的效果。如:把一個底面半徑為6厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊,可以鑄成多少個底面半徑4厘米、高為3厘米的圓柱體鐵塊?很多學生拿到題目悶頭就算:先算大圓柱體的體積:3.14×6×6×8=904.32立方厘米,再算小圓柱體的體積3.14×4×4×3=150.72立方厘米,最后再求大體積里有幾個小體積:904.32÷150.72=6(個),學生們做錯了嗎?沒有,但算得很辛苦。計算量很大,任何一個計算環(huán)節(jié)都不能出現(xiàn)差錯,否則前功盡棄??梢赃@樣來列式:
(π×6×6×8)÷(π×4×4×3)=[π×6×6×8π×4×4×3]=6(個)
這里,圓周率π與其他數(shù)據(jù)融合在一起,一直沒有去“動”它,特意保留到最后,能約分的先約分。因此,在處理圓周率的相關計算時,讓學生養(yǎng)成從整體來把握,保留π到最后的習慣,大大地提高了計算的時效性。
從“整體”著手進行思考,把握整體思維,遠遠不止上面所述,尋找解決問題的策略,遵循的是“快捷”和“有效”“引導學生積極地去尋找更為簡單、更為迅速的算法和解題方法,更加方便、更為實用的表征方法,更具有普遍性的結果”。[4]新課程標準要求學生領悟“基本思想”,積累“基本活動經(jīng)驗”,這對于培養(yǎng)學生的“整體”思維,起到了很好的推動作用。
[參 考 文 獻]
[1]陳士文.“智慧數(shù)學”的內(nèi)涵及特質[J].江蘇教育,2011(10):7-8.
[2]張興華.兒童學習心理與小學數(shù)學教學[M].南京:江蘇教育出版社,2011(7):224.
[3]鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學[M].南京:江蘇教育出版社,2012(9):146.
[4]鄭毓信.數(shù)學教師的三項基本功[M].南京:江蘇教育出版社,2011(9):89.
(責任編輯:李雪虹)