不妨從“整體”來思考

胡劍

[摘 要]? 從整體出發(fā)來思考，在單元復習、期末復習中得到很廣泛的應用。在解決實際問題時，也可以培養(yǎng)學生用整體的眼光來看問題，用整體的思維來解決問題，“整體”思維是一個非常有效的解題策略。

[關鍵詞]? 小學數(shù)學;整體思維;解題策略

整體思維又稱系統(tǒng)思維，它認為整體是由各個局部按照一定的秩序組織起來的，要求以整體和全面的視角把握對象。我們在平時的教學中，經(jīng)常會用到整體思維的方式，比如在單元復習中，遵循的就是“整體—部分—整體”的學習模式，“整體”把握單元知識結構，“部分”研究各個知識節(jié)點，再“整體”理順單元知識脈絡，而期末復習中著眼的整體又是全冊，部分是個單元?！爸腔蹟?shù)學”創(chuàng)始人江蘇省特級教師陳士文先生指出：“世界是一個有聯(lián)系的整體，我們的教材設計要從整體出發(fā)，在知識的來龍去脈中培養(yǎng)學生整體的眼光、整體的思維，感悟智慧的生長。切忌‘斬頭去尾燒中段，把對世界的整體認識切割成一道道瑣碎的提問，而缺少宏觀的思考?！盵1]

其實，在解決實際問題時，培養(yǎng)學生用整體的眼光來看問題，用整體的思維來解決問題，也是一個非常有效的解題策略。有一道很有意思的題目：小明和小敏家相距1200米，兩人打好電話相約一起出發(fā)。小明牽著一只小狗從家出發(fā)去見好朋友小敏，小明每分鐘50米，小敏每分鐘70米，小狗和小敏也很熟，一出門就以每分鐘240米的速度奔跑過去，小狗遇到小敏后立即返回奔向主人，遇到小明后又奔向小敏……一直到小明和小敏相遇了才停了下來。問小狗一共跑了多少米？一位大學畢業(yè)的實習教師看到題目說小狗與小敏的相遇是動態(tài)的，可以用微積分來解決，可立馬又說可以整體來看，不去考慮中間的相遇狀態(tài)，只要先求出小明與小敏的相遇時間，這個時間就是小狗來回跑的時間。從一開始下意識用微積分來思考，到用“整體思維”，成人的思考方式的轉變已經(jīng)說明了策略上的繁簡和優(yōu)劣。用“整體”思考的方式，也是一種解決問題的好策略，下面是筆者在教學中應用“整體”思維方式解決問題的一些思考。

一、整體思考：不考慮中間狀態(tài)

【案例一】蘇教版數(shù)學四年級上冊P17有一道這樣的題目：

如果按照常規(guī)思路，3只小猴輪流抬西瓜，分別編序號A、B、C，先AB、再AC、再CB，示意圖如下：

但要畫出這個示意圖，對于小學生來說，是有一定難度的，班級里只有少數(shù)學生才畫得出來。于是，筆者這樣來設計教學過程：

【片段一】

師：假設這個大西瓜就只有2只小猴在抬，到家時一只小猴一共抬了多少米？

生：走完全程一只小猴抬了300米。

師：2只小猴呢？

生：300×2=600（米）

師：也就是說，要想把這只西瓜抬回家，兩只小猴一定一共抬600米。2只小猴所走的路程是一個整體，這個整體（總量）是不會變化的?，F(xiàn)在多了1只小猴，不是2只，而是3只了，所行的總量還是一樣的，只要把這600米平均分配一下就可以了。

生：老師我知道了，整體考慮，總量不變，再平均分。300×2÷3=200（米）

【片段二】

師：還是這只西瓜，現(xiàn)在是4只小猴來輪流抬，平均一只小猴抬多少米呢？

生：300×2÷4=150（米）

師：5只小猴來抬呢？

生：300×2÷5=120（米）

師：能看出什么規(guī)律？（什么變什么不變）

生：行的總路程不變，平均分攤的份數(shù)變了。

師：以后遇到這樣的題型怎么做？

生：總路程÷總份數(shù)就可以了。

師：我們再做一道題，爸爸買了一輛私家車，還配有一只備用輪胎。爸爸打算帶全家去距離2000千米的西藏自駕游，考慮到對輪胎的磨損，打算用上備用輪胎。問平均一只輪胎走了多少千米？

生：2000×4÷5=1600（千米）

波利亞關于怎樣解題的四個步驟，即①問題的理解，②制定計劃，③計劃的實施，④結果的反饋。[2]設計這兩個教學片段，老師的意圖非常明顯，就是引領學生對這一類題目進行思考，怎樣有效地來解決問題。【片段一】是基于對問題的理解，幫助學生從整體出發(fā)來思考問題，建立“整體思維”：這道題的中間過程比較復雜，但整體來看，不管是哪兩只小猴來抬，所行的總路程是不變的，要先求到實際發(fā)生的路程是多少米，再去除以一共分攤的小猴數(shù)，這是教學的第一層次，教會學生會做這道題;【片段二】是實施階段，并對整體思維的一個鞏固并延伸，這是非常必要的，授之以魚不如授之以漁，這是筆者安排教學的第二層次。僅僅會一題是不夠的，把3只小猴來抬變成4只、5只……讓學生明白，總路程是不變的，改變的只是平均分攤的小猴數(shù)，仍然是從整體出發(fā)來思考，實際上只是除數(shù)發(fā)生變化。而后面補充練習是對知識的延伸，這樣的題型經(jīng)常會遇到，都可以用這種思維方式。對于這類問題，引導學生不要機械地、按部就班地去解題，從整體出發(fā)，不考慮中間狀態(tài)，是一種非常有效的方法。

二、整體思考：不要急著計算

【案例二】

師：下面是一個4×3表格，第一行和第一列的數(shù)是已知的，空格的數(shù)是它所在行的第一個數(shù)與它所在列的第一個數(shù)的乘積。求下表中所有數(shù)的和是多少？

[1 3 5 7 7 12 ]

生1：比較簡單，一個個數(shù)先算結果，再把這些數(shù)都加起來。

生2：這樣要加12個數(shù)，太復雜了?？梢岳贸朔ǚ峙渎蓙硭?。先算已知數(shù)的和，1+3+5+7+7+12=35;再算第二行空格的數(shù)，7×（3+5+7）=105;再算第三行空格的數(shù)，12×（3+5+7）=180;最后全部加起來，35+105+180=320。

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)了，還可以再簡單些。第二行可以把自己加進去的，7×（1+3+5+7）=112;第三行也是，12×（1+3+5+7）=192。再把三行的結果全部加起來，16+112+192=320。

師：同學們的方法在一步步改進。我們先不要著急去計算。

隨著老師的一句“先不要著急去計算”，緩下節(jié)奏，重新進行梳理。乘法分配律是蘇教版數(shù)學四年級下冊學習的一個重要運算律，運用運算律對這道題進行理論上的分析，給學生以理論的支撐。用字母a、b、c、d表示第一行的四個數(shù)，a、e、f表示第一列的三個數(shù)。

第一行求和：a+b+c+d=a×（a+b+c+d）;

第二行求和：e×a+e×b+e×c+e×d=e×（a+b+c+d）;

第三行求和：f×a+f×b+f×c+f×d=f×（a+b+c+d）

所有這些數(shù)的和：（a+e+f）×（a+b+c+d）

此時，學生會明白，根據(jù)題目要求，這些數(shù)的和其實就是第一行的數(shù)之和與第一列的數(shù)之和相乘。此題可以這樣算：（1+3+5+7）×（1+7+12）=16×20=320。

“在小學數(shù)學的教學中我們?nèi)匀灰髮W生在可能的范圍內(nèi)作出必要的論證，因為，這正是促進學生思維發(fā)展、特別是逐步形成一定的理性精神與批判能力的一個重要手段，包括逐步養(yǎng)成良好的學習習慣”。[3]所以，我們要完成這么一個推導過程。等一等，不急著去計算，其實就是一種整體考量，一個大整體呈現(xiàn)，來發(fā)現(xiàn)里面的細節(jié)，在這道題里，乘法分配律是總基調，如何更好地利用這個運算律，這就要著眼于整體了。從整體去思考，有效地把“大”計算化解為“小”運算了。我們還可以對此題進行加固，表格可以改為：6×5、10×8……，算理上都是一樣的。

又如，在學習圓周率相關計算時，為了提高計算速度，相信很多學生背了不少數(shù)據(jù)，1π=3.14，2π=6.28，3π=9.42……有的甚至背到20π，其實大可不必，從整體來考慮，不要急著去計算，也起到很好的效果。如：把一個底面半徑為6厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊，可以鑄成多少個底面半徑4厘米、高為3厘米的圓柱體鐵塊？很多學生拿到題目悶頭就算：先算大圓柱體的體積：3.14×6×6×8=904.32立方厘米，再算小圓柱體的體積3.14×4×4×3=150.72立方厘米，最后再求大體積里有幾個小體積：904.32÷150.72=6（個），學生們做錯了嗎？沒有，但算得很辛苦。計算量很大，任何一個計算環(huán)節(jié)都不能出現(xiàn)差錯，否則前功盡棄?？梢赃@樣來列式：

（π×6×6×8）÷（π×4×4×3）=[π×6×6×8π×4×4×3]=6（個）

這里，圓周率π與其他數(shù)據(jù)融合在一起，一直沒有去“動”它，特意保留到最后，能約分的先約分。因此，在處理圓周率的相關計算時，讓學生養(yǎng)成從整體來把握，保留π到最后的習慣，大大地提高了計算的時效性。

從“整體”著手進行思考，把握整體思維，遠遠不止上面所述，尋找解決問題的策略，遵循的是“快捷”和“有效”“引導學生積極地去尋找更為簡單、更為迅速的算法和解題方法，更加方便、更為實用的表征方法，更具有普遍性的結果”。[4]新課程標準要求學生領悟“基本思想”，積累“基本活動經(jīng)驗”，這對于培養(yǎng)學生的“整體”思維，起到了很好的推動作用。

[參 考 文 獻]

[1]陳士文.“智慧數(shù)學”的內(nèi)涵及特質[J].江蘇教育，2011（10）：7-8.

[2]張興華.兒童學習心理與小學數(shù)學教學[M].南京：江蘇教育出版社，2011（7）：224.

[3]鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學[M].南京：江蘇教育出版社，2012（9）：146.

[4]鄭毓信.數(shù)學教師的三項基本功[M].南京：江蘇教育出版社，2011（9）：89.

（責任編輯：李雪虹）