“多題一解”在教學(xué)中的應(yīng)用

張 嶺

（廣東省深圳市新華中學(xué) 廣東深圳 518109）

所謂“多題一解”，就是指從一個(gè)角度思考，用同一種方式來解答不同的問題[1]，即探究問題的本質(zhì)，歸納、總結(jié)它們的相同點(diǎn)，從而提煉出解決多道同類題目的方法，形成“多題一解”。

“多題一解”有助于培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，可以幫助他們找到不同問題的本質(zhì)、核心，做到融會(huì)貫通[2]。這樣，在思考、討論、解答問題的過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性被充分調(diào)動(dòng)起來，既開闊了他們的思路，又培養(yǎng)了其數(shù)學(xué)思維能力，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的樂趣。

在解答題目的過程中，學(xué)生利用“多題一解”的數(shù)學(xué)思想，對(duì)題目進(jìn)行了充分比較，發(fā)現(xiàn)了題目的本質(zhì)。這有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也培養(yǎng)了他們的歸納、總結(jié)能力。下面用一個(gè)例子來說明。

北師大版七年級(jí)下第二章“相交線與平行線”中有一類比較典型的題目，如下所示。

例1 如圖，已知直線l1∥l2，點(diǎn)P在直線l3上，且不與點(diǎn)A、B重合，記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。

（1）當(dāng)P點(diǎn)在圖1位置時(shí)，試說明∠3=∠1+∠2。

（2）當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到圖2位置時(shí)，請(qǐng)寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，并說明理由。

（3）當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到圖3位置時(shí)，請(qǐng)寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，并說明理由。

圖2

圖3

分析：兩條平行線被一個(gè)拐角聯(lián)系在一起，可稱為拐角問題。此題三個(gè)小題的解題思路是一致的，都是過拐點(diǎn)作平行線，再利用平行線的性質(zhì)和判定，結(jié)合∠1、∠2、∠3的位置關(guān)系，得出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系。下面是具體的解法。

（1）下面是圖1問題的證明。

證明：如圖4，過P點(diǎn)作直線PQ∥l1

∴∠EPQ=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

∵l1∥l2（已知）

∴PQ∥l2（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠QPF=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠3=∠EPQ+∠QPF

∴∠3=∠1+∠2

總結(jié)：通過過P點(diǎn)作直線PQ∥l1，把兩條平行直線l1和l2聯(lián)系起來。

圖4

圖5

（2）下面來看圖2問題的證明。

解：∠2=∠1+∠3

理由是：

如圖5，過P點(diǎn)作直線PQ∥l2

∴∠FPQ=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

∵l1∥l2（已知）

∴PQ∥l1（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠EPQ=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠FPQ=∠EPQ+∠3

∴∠FPQ=∠1+∠3

∴∠2=∠1+∠3

通過上面兩個(gè)小題的證明，我們可以發(fā)現(xiàn)：類似的題目，都可以通過拐點(diǎn)作與已知平行線相平行的輔助線的方法來解決。

對(duì)圖3問題的證明，可以用與圖1、2類似的方法，由學(xué)生自己完成，組內(nèi)講解、訂正。

接下來，教師要提問：請(qǐng)考慮，作輔助線可不可以寫作“過點(diǎn)P作PQ∥l1∥l2”？

在多年的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生像上面這樣作輔助線，原因是不知道這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾。

這樣一題三問初步加深了學(xué)生對(duì)此類問題的理解。下面，我們把這個(gè)角拉到外面來，看這種方法是否仍然可行。

例2 如圖6，已知AB∥CD，探究∠A、∠APC和∠C之間的數(shù)量關(guān)系。

分析：這道題與例1形式不同，也有多種題法。能用上面的方法來解決這道題目嗎？此題也是兩條平行線被一個(gè)拐角聯(lián)系在一起，我們?cè)囍蒙项}的方法來解一解。

圖6

解：如圖7，過點(diǎn)P作PE∥AB

∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵AB∥CD（已知）

∴PE∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）

∴∠C+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°

圖7

即∠A+∠APC+∠C=360°

可以看出，例2的解法與例1的解法是一致的。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生掌握基本的解題模式和方法，形成必要的解題技能，掌握一定的探索數(shù)學(xué)問題的工具，升華為“多題一解”。

我們?cè)賮砜磁c三角尺有關(guān)的題目是不是也和上面的題目有關(guān)。

例3 如圖8，直線a∥b，直角三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線a上，∠C=90°，∠β=55°。求∠α的度數(shù)。

分析：這道題只要過點(diǎn)C作CD∥b，就能轉(zhuǎn)化為前面的題型了。

圖8

通過上面的討論，我們可以看到，很多題目雖然形式不同，但可以用同一種方法解答，也就是“多題一解”。“多題一解”思想的作用是培養(yǎng)學(xué)生分析題目內(nèi)在聯(lián)系的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)看到一道題就想到一類題、想到相應(yīng)解法[3]。這種方法可以幫助學(xué)生進(jìn)行歸類、總結(jié)，深入分析此類題目的解法，不至于一道題目一種解法，搞得學(xué)生無從下手。

“多題一解”是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一。要想達(dá)到數(shù)學(xué)上的“多題一解”，學(xué)生必須在平日多下功夫，先盡可能地積累“多題一解”的技巧，最終對(duì)數(shù)學(xué)融會(huì)貫通，加深對(duì)問題本質(zhì)的理解。