提高幾何直觀能力有“四招”

紀(jì)金稟

摘 要：幾何直觀不僅是一種解決問(wèn)題的方法，還是一種能力。幾何直觀基于直觀感知過(guò)程，離不開(kāi)理性思考。教學(xué)中，可以結(jié)合學(xué)生感知過(guò)程的特點(diǎn)、思維的特點(diǎn)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“看”“操作”“想象”“說(shuō)”，使觀察更深刻，思考更深入，從而提高學(xué)生的幾何直觀能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀能力;感知;理性思考

一方面，幾何直觀是指，借助于見(jiàn)到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力[1]。通過(guò)幾何直觀獲得的感性認(rèn)識(shí)，能讓學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生某種關(guān)系，并聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決。不僅如此，幾何直觀被認(rèn)為是一種能力。另一方面，幾何直觀是在直觀感知的感性基礎(chǔ)之上所形成的理性思考[2]?？梢?jiàn)，幾何直觀是一種基于感性認(rèn)識(shí)并伴隨理性思考的能力。

因此，提高幾何直觀能力，不僅要從感知過(guò)程入手，還應(yīng)重視理性思考過(guò)程，使感知更準(zhǔn)確、有效，使思考更清晰、深入。有目的地觀察能使感知更準(zhǔn)確，操作和想象能在腦海中對(duì)圖形進(jìn)行再加工，說(shuō)理能對(duì)感性材料進(jìn)行更深層次的理性思考。教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“看”“操作”“想象”和“說(shuō)”，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到更高層次的幾何直觀，提高幾何直觀能力。

一、學(xué)會(huì)“看”

幾何直觀是一種感知活動(dòng)，對(duì)幾何圖形的感知離不開(kāi)充分的觀察。教學(xué)中，存在學(xué)生看到幾何圖形仍無(wú)法解決問(wèn)題的現(xiàn)象，筆者認(rèn)為在于學(xué)生缺乏觀察的目的性。觀察的漫無(wú)目的使學(xué)生觀察圖形時(shí)忽略關(guān)鍵因素，造成思維模糊、停滯甚至偏離實(shí)際問(wèn)題。學(xué)會(huì)有目的地觀察，利于學(xué)生更快速、更準(zhǔn)確地把握幾何圖形的關(guān)鍵特征，使體驗(yàn)更深刻，理性思考更深入，從而整體把握?qǐng)D形中的某種關(guān)系。

【案例1】

甲、乙兩艘輪船同時(shí)從上海出發(fā)開(kāi)往青島。經(jīng)過(guò)18小時(shí)后，甲船落后乙船57.6km。甲船每小時(shí)行32.5km，乙船每小時(shí)行多少千米？（用方程解答）

■

師：從上圖中能找出怎樣的等量關(guān)系呢？

生：甲船落后乙船57.6km。

師：怎么列等量關(guān)系呢？

（等待許久，無(wú)人回答。）

師：既然甲船落后乙船57.6km。在上圖中，甲船和乙船的路程有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)你先自己想一想，列出等量關(guān)系式，再和四人小組說(shuō)說(shuō)你的想法。

生：乙船的路程-甲船的路程=相差的路程

師：還可以怎么列等量關(guān)系式？

生：甲船的路程+相差的路程=乙船的路程

由于圖中包含運(yùn)動(dòng)方向、起始點(diǎn)、相差的路程等信息，學(xué)生的第一次觀察漫無(wú)目的，思路最終轉(zhuǎn)移到圖中的數(shù)字信息——

57.6km，最終用題干中的“甲船落后乙船57.6km”回答問(wèn)題，思維停滯不前。第二次引導(dǎo)學(xué)生觀察兩船的路程，學(xué)生的思維便集中到圖形中，構(gòu)建起“甲船的路程+相差的路程=乙船的路程”的形象關(guān)系。通過(guò)讓學(xué)生有目的地“看”，培養(yǎng)觀察的目的性。在往后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能自發(fā)地進(jìn)行有目的的觀察和思考，更有效地把握?qǐng)D形中的關(guān)系。

二、學(xué)會(huì)“操作”

學(xué)生在動(dòng)手活動(dòng)中形成的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展幾何直觀的基礎(chǔ)，是感受、理解抽象幾何直觀的有力支撐[3]。常見(jiàn)的操作活動(dòng)有：剪、拼、擺、圈、折、量、畫等，這些活動(dòng)不僅要調(diào)動(dòng)視覺(jué)感官，還使學(xué)生的多種感官協(xié)同參與，是一種更全面的感知，對(duì)已有圖形進(jìn)行二次加工，使感知更準(zhǔn)確。教學(xué)中，要讓學(xué)生感受到操作活動(dòng)是理解圖形的重要方法，更要讓操作活動(dòng)成為在圖形啟發(fā)下的自覺(jué)反應(yīng)，提高幾何直觀能力。

【案例2】

請(qǐng)你在下圖中圈一圈，并和同桌說(shuō)一說(shuō)：的只數(shù)是（）倍

生：鴨的只數(shù)是雞的3倍。

師：你是怎么想的？

生：雞有3只，所以鴨要3只3只地圈，圈三次，有3個(gè)3只，所以鴨的只數(shù)是雞的3倍。

師：為什么鴨要3只3只地圈？

生：因?yàn)殡u有3只。

師：看來(lái)要以雞的數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)圈呢！那圈三次說(shuō)明什么呢？

生：圈3次說(shuō)明有3個(gè)3只。

師：你認(rèn)為把圖形圈一圈有什么好處？

生：能更快地看出要以雞的只數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，鴨有3個(gè)3只，所以鴨的只數(shù)是雞的3倍。

學(xué)生較難從等距排列的鴨子中尋找數(shù)量關(guān)系，更難理解要以雞的數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)，鴨有3個(gè)3只這一本質(zhì)性關(guān)系。通過(guò)“圈一圈”這一操作活動(dòng)，學(xué)生能自覺(jué)地以雞的只數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，每3只鴨圈一次，使“3個(gè)3只”的關(guān)系更為突出，發(fā)現(xiàn)“圈一圈”能使圖形中的關(guān)系變得更容易理解。學(xué)生感受到操作活動(dòng)對(duì)理解圖形關(guān)系的積極性，當(dāng)觀察圖形遇到困難時(shí)，會(huì)自覺(jué)地對(duì)圖形進(jìn)行相關(guān)操作，幾何直觀能力也將得到提高。

三、學(xué)會(huì)“想象”

幾何直觀不僅借助平面圖形，還借助立體圖形;不僅借助靜態(tài)圖形，還借助動(dòng)態(tài)圖形;不僅借助單一圖形，還借助多個(gè)圖形甚至無(wú)數(shù)個(gè)圖形。因此，在幾何直觀活動(dòng)中，時(shí)常離不開(kāi)“想象”。更有研究者指出：發(fā)展幾何直觀，最重要的就是要發(fā)展學(xué)生的空間想象能力[3]。想象活動(dòng)有利于突破“二維與三維”“有限與無(wú)限”“靜態(tài)與動(dòng)態(tài)”之間的界限，達(dá)到更高層次的幾何直觀。培養(yǎng)幾何直觀能力不能局限于觀察、操作活動(dòng)，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象。

【案例3】

用小正方體拼成下圖中的大正方體后，把它們的表面刷上紅色的漆，其中兩面涂色的小正方體有多少塊？

師：兩面涂色的小正方體有幾塊？

生：這里有兩塊、還有這里……都是兩塊（手指著看得的九條棱），一共是18塊。

師：想象一下，除了看得到的棱上一共有18塊，還有嗎？

生：還有后面看不到的這三條棱（手指著那三條棱的大致位置），每條棱上都有2塊是2面涂色的。

師：怎么求這些涂色的小正方體有多少塊？

生：正方體有12條棱，每條棱上有2塊小正方體兩面涂色，12×2=24（塊）。

學(xué)生之所以得出“18個(gè)”的錯(cuò)誤結(jié)論，在于不能將看到的正方體當(dāng)立體圖形看待，沒(méi)有進(jìn)行適當(dāng)?shù)目臻g想象。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生想象其余三條棱上小正方體的特點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)每條棱上都有2個(gè)小正方體是兩面涂色的。學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)不可能每次都擁有實(shí)物進(jìn)行思考，平面呈現(xiàn)的圖形結(jié)合空間想象是幾何直觀中常遇到的情況。想象活動(dòng)有利于思維擺脫二維空間的束縛，在三維空間中有效進(jìn)行，達(dá)到更高層次的幾何直觀。

四、學(xué)會(huì)“說(shuō)”

幾何直觀基于感性認(rèn)識(shí)，伴有理性思考，但這種思考并不是嚴(yán)密的推理，有時(shí)是一閃而過(guò)的感悟，或快速而簡(jiǎn)單推理的結(jié)果，容易出現(xiàn)片面的理解和隨意的判斷，因此常出現(xiàn)模糊甚至錯(cuò)誤的結(jié)論。通過(guò)“說(shuō)”的活動(dòng)，學(xué)生能“反芻”對(duì)圖形的感知過(guò)程，邊“說(shuō)”邊梳理自己的思路，進(jìn)行理性層面的深度加工，使感知到的關(guān)系變得清晰而確定?！罢f(shuō)”具有兩方面的意義，一來(lái)能深化對(duì)圖形理解，修正偏差;二來(lái)能建立起實(shí)際問(wèn)題和幾何圖形之間的橋梁，利于解決問(wèn)題。

（一）在“說(shuō)”中深化理解

學(xué)生對(duì)圖形的理解有時(shí)是模糊甚至是錯(cuò)誤的，如果能在大腦中對(duì)圖形中的關(guān)系進(jìn)行二次加工，進(jìn)一步思考其中的關(guān)系，就有助于形成清晰的認(rèn)識(shí)、修正錯(cuò)誤的理解?！罢f(shuō)”是一種重要的方法，學(xué)生將直觀感知到的關(guān)系“說(shuō)”出來(lái)，也是在理性層面上梳理感知過(guò)程，有利于圖形表征與文字表征之間的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步理解圖形中的關(guān)系，使感知更清晰、更準(zhǔn)確。

【案例4】

李伯伯家有一塊公頃的地。種土豆的面積占了這塊地的，種土豆的面積是多少公頃？

師：結(jié)合圖形想一想，種土豆的面積是多少公頃？

生：公頃。

師：你是怎么想的？

生：把種土豆的面積平均分成5份，每份就是公頃。

師：看看圖，再回想剛才平均分的過(guò)程。

生：先把這1公頃平均分成2份，再把其中一份平均分成5份，這樣的1份是公頃。

師：仔細(xì)回想，剛才你把1公頃平均分了幾次？

生：兩次。

師：我們把誰(shuí)看作單位1呢？

生：（學(xué)生沉思片刻）應(yīng)該是公頃，剛才把1公頃看作單位1，平均分成2份后，再把其中的一份平均分成5份，相當(dāng)于把1公頃平均分成10份，所以是公頃。

通過(guò)不斷引導(dǎo)學(xué)生觀察圖，回想原本的思考過(guò)程，“說(shuō)”出對(duì)圖形的理解，學(xué)生逐漸理解應(yīng)把1公頃看作單位1，將兩次平均分相結(jié)合，準(zhǔn)確把握每一份與1公頃的關(guān)系。學(xué)生的“說(shuō)”是對(duì)思考過(guò)程的“反芻”，不僅利于教師把握學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，也利于學(xué)生在“說(shuō)”中修正錯(cuò)誤，在“說(shuō)”中深化理解。

（二）在“說(shuō)”中解決問(wèn)題

學(xué)生利用圖形分析問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的解決過(guò)程也在圖中進(jìn)行著，而圖形是實(shí)際問(wèn)題的抽象表達(dá)，與實(shí)際問(wèn)題之間存在一定的差異，容易造成學(xué)生畫出了圖，卻無(wú)法解決問(wèn)題的情況。究其原因，在于學(xué)生無(wú)法將圖形所代表的意義與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系?？梢龑?dǎo)學(xué)生將圖形與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系“說(shuō)”出來(lái)，在圖形中進(jìn)行有效的演繹，從而解決問(wèn)題。

【案例5】

題目：馬路一邊栽了50棵梧桐樹(shù)。如果每?jī)煽梦嗤?shù)中間載一棵銀杏樹(shù)，一共要栽多少棵銀杏樹(shù)？

（學(xué)生畫出了圖，卻無(wú)法解決問(wèn)題）

師：在這個(gè)圖里，你用什么表示梧桐樹(shù)和銀杏樹(shù)？

生：這些（指著豎著的長(zhǎng)線段）表示梧桐樹(shù)，銀杏樹(shù)是這一些短的。

師：要求的是什么？

生：銀杏樹(shù)的數(shù)量。

師：銀杏樹(shù)種的位置有什么特點(diǎn)？

生：種在兩棵梧桐樹(shù)之間。

師：能種幾棵銀杏樹(shù)跟什么有關(guān)？

生：（學(xué)生興奮地說(shuō)到）間隔！一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵銀杏樹(shù)，有幾個(gè)間隔，就能種幾棵銀杏樹(shù)！

可以看出，學(xué)生已經(jīng)會(huì)用線段圖表示種樹(shù)的情況，但是無(wú)法將銀杏樹(shù)數(shù)量與間隔數(shù)相聯(lián)系，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考圖中畫出的每個(gè)元素與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，而后學(xué)生忽然興奮地說(shuō)出答案，說(shuō)明學(xué)生已能將問(wèn)題與圖形相結(jié)合，感悟到間隔數(shù)和銀杏樹(shù)數(shù)量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使線段圖和實(shí)際問(wèn)題建立起橋梁，從而解決問(wèn)題。

總之，幾何直觀是基于感性認(rèn)識(shí)的理性思考所致，通過(guò)“看”“操作”“想象”使學(xué)生的感知更深刻，思考更深入，對(duì)圖形擁有更高層次的理解，通過(guò)“說(shuō)”深化對(duì)圖形的理解、溝通圖形與實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系，使圖形的介入真正利于問(wèn)題的解決。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì) “看”“操作”“想象”和“說(shuō)”，提高學(xué)生的幾何直觀能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.

[2]唐平，付天貴.義務(wù)教育階段幾何直觀分析框架[J].教學(xué)與管理，2016（30）：83-85.

[3]郁軍，張佩玲.小學(xué)數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)研究[M].北京：教育科學(xué)出版社，2017：62-68.