高中生物學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)原理

梁愈

一、函數(shù)原理

1.正比例函數(shù)

例1 調(diào)查某草原的田鼠數(shù)量時(shí)，在劃定的1ha的調(diào)查區(qū)內(nèi)，設(shè)置100個(gè)捕鼠籠，一夜間捕獲田鼠32只，將捕獲的田鼠經(jīng)標(biāo)記后在原地釋放.數(shù)日后，在同一地方再放置同樣數(shù)量的捕鼠籠，這次共捕獲30只，其中有上次標(biāo)記的個(gè)體10只.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1） 求該地區(qū)田鼠種群的個(gè)體總數(shù).

（2） 若某種群有成鼠a頭（計(jì)算時(shí)作為親代），每頭雌鼠一生產(chǎn)仔16只，各代雌雄比例均為1∶ 1，則從理論上計(jì)算，第n代產(chǎn)生的子代數(shù)是多少？

簡(jiǎn)析 （1）第1個(gè)問(wèn)題可利用重捕標(biāo)志法，根據(jù)樣本來(lái)估計(jì)待查區(qū)田鼠種群的個(gè)體數(shù).標(biāo)志重捕法的理論依據(jù)是數(shù)學(xué)中的正比例函數(shù).

設(shè)該地區(qū)田鼠種群總數(shù)為y，第一次捕獲的數(shù)量

為x只（全部標(biāo)志再放掉），第二次再捕獲的數(shù)量

為a只，其中帶標(biāo)志的有b只，有 y x = a b ，因?yàn)?a b 為定值，所以y是x的正比例函數(shù)，這也說(shuō)明在某地區(qū)捕到的動(dòng)物越多，該地區(qū)此種動(dòng)物的量就越多.把a(bǔ)=30，b=10，x=32分別代入y= a b x中，則y=96，即為該地區(qū)田鼠種群的總數(shù).

（2）由題意可知，田鼠的增長(zhǎng)量符合理想條件種群數(shù)量增長(zhǎng)類(lèi)型的“J”型曲線，“J”型曲線表示一個(gè)指數(shù)函數(shù)：Nt=N0λt，此函數(shù)反映的是理想條件下某種群的初始數(shù)量是N0，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，以增長(zhǎng)率λ連續(xù)增長(zhǎng)達(dá)到的種群總數(shù)Nt的過(guò)程，得出

t=n，N0=a.因此，解題的關(guān)鍵是求出λ.由于一只雌鼠一生產(chǎn)仔16只，且各代雌雄比為1∶ 1，只有雌鼠才能產(chǎn)仔，即每只雌鼠一生都可產(chǎn)生8只雌鼠，故λ = 8，所以，Nn=a8n，即第n代產(chǎn)生的子代數(shù)為a8n.

2.極值問(wèn)題

例2 在一個(gè)草原生態(tài)系統(tǒng)中，草為生產(chǎn)者，鼠是初級(jí)消費(fèi)者，進(jìn)入該生態(tài)系統(tǒng)的總能量為m.問(wèn)在“草——鼠”食物鏈中，鼠從中獲得的能量至多為多少？

簡(jiǎn)析 從數(shù)學(xué)角度看，鼠與草的能量關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，如果以常數(shù)n代表能量傳遞效率，消費(fèi)者營(yíng)養(yǎng)級(jí)的數(shù)量為自變量x，則鼠獲得的能量可用函數(shù)表示：y=m·nx.n的取值范圍是：10%≤n≤20%，為大于或等于1的正整數(shù).

3.單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

例3 在實(shí)驗(yàn)條件下，測(cè)試某種恒溫動(dòng)物離體細(xì)胞的呼吸強(qiáng)度E受溫度變化的影響，如圖1.

圖1

其結(jié)果正確的是（ ）.

簡(jiǎn)析 這是事物的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系問(wèn)題.恒溫動(dòng)物離體細(xì)胞的活性隨著溫度的升高而逐漸增強(qiáng)，到達(dá)最適溫度時(shí)酶的活性最強(qiáng).隨著溫度的逐漸上升，當(dāng)超過(guò)最適溫度時(shí)，酶的活性受到抑制，使之變性甚至失去活性.結(jié)合單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，應(yīng)當(dāng)選擇C.

二、集合原理

圖2

例4 一對(duì)夫婦，男性為色盲患者，基因型為AaXbY，女子表現(xiàn)正常，基因型為AaXBXb，aa表示白化個(gè)體.求他們的子代患病的概率及子代患一種病的概率.

簡(jiǎn)析 解此題的方法并非一種，如果采用幾何分析方法是最直觀、最簡(jiǎn)便的.如圖2所示，可設(shè)這對(duì)夫婦所生子女為全集，記作I.子女中只患白化病或色盲的集合分別記為A、B.則A∩B為子 女中既患白化病又患色盲的概率，子女患病的概率為A∪B子代只患一種病的概率為 A+B-2（A∩B）.

（1） 子代患病的概率為：

P=AB=P白化+P色盲-P白化×P色盲=1/4+1/2-1/4×（1/2）=5/8

（2）子代只患一種病的概率為：

P=A+B-2（A∩B）=P白化+P色盲-2P白化×P色盲=1/4+1/2-2（1/4）×（1/2）=1/2

三、排列組合原理

例5 （2009年全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽理論試題第17題）一個(gè)二倍體物種，在A基因座位上有10個(gè)復(fù)等位基因，在B基因座位上有8個(gè)復(fù)等位基因；A、B兩個(gè)基因不連鎖，請(qǐng)問(wèn)可能存在的基因型有幾種（ ）.

A.18種 B.1260種 C.80種 D.180種

簡(jiǎn)析 假設(shè)當(dāng)復(fù)等位基因?yàn)閚個(gè)時(shí)，設(shè)復(fù)等位基因?yàn)锳1、A2、A3……An.（1）以棋盤(pán)式表達(dá)之，設(shè)計(jì)棋盤(pán)式的行與列，分別表示雌配子和雄配子；

（2）將雌雄配子組合在一起構(gòu)成合子的基因型.見(jiàn)下表：

A1 A2 A3 …… An

A1 A1A1

A2 A1A2 A2A2

A3 A1A3 A2A3 A3A3

…… …… …… …… ……

An A1An A2An A3An …… AnAn

（3）統(tǒng)計(jì)表2所示棋盤(pán)式中的合子基因型種類(lèi)：1+2+3+…+n=n（n+1）/2（種），其中：

對(duì)角線上的純合子有n種.

雜合子有n（n-1）/2（種）.

（4）計(jì)算復(fù)等位基因數(shù)量： 由于A基因座位上有10個(gè)復(fù)等位基因，則基因型有：10（10+1）/2=55（種），雜合子有：10×9/2=45（種）.B基因座位上有8個(gè)復(fù)等位基因，則基因型有：8（8+1）/2 = 36（種），雜合子有：8×7/2 = 28（種）.

由于A、B兩基因不連鎖，則基因型組合有：55×36 = 1980種.兩組基因型均為雜合子的概率為45×28 = 1260種.因此，上述題目無(wú)正確答案.

四、歸納法原理

例6 基因型為Aa的豌豆連續(xù)自交.在圖3中，能夠正確表示其自交代數(shù)和純種占第n代個(gè)體比例關(guān)系的是（ ）

圖3

簡(jiǎn)析 此類(lèi)問(wèn)題宜用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)雜合子自交后代的概率進(jìn)行推算，則F1的雜合子概率為1/2， 純合子的概率也為1/2.F2的雜合子概率為（1/2）2，直到Fn，雜合子的概率為（1/2）n，故純合子的概率為1-（1/2）n.在結(jié)合圖形中的生物學(xué)含義，選擇D.

五、二項(xiàng)式展開(kāi)原理

例7 （2009高考廣東理綜卷20題）某人群中某常染色體顯性遺傳病的發(fā)病率為19%，一對(duì)夫婦中妻子患病，丈夫正常，他們所生的子女患病概率是（ ）.

A.10/19 B.9/19 C.1/19 D.1/2

簡(jiǎn)析 本題目的隱含條件：題目中的研究對(duì)象是“某人群”，數(shù)量較多，且隨機(jī)婚配，符合遺傳平衡，解此題涉及到二項(xiàng)式展開(kāi)原理.

妻子的基因型為AA或Aa，通過(guò)分析兩種基因型都可生出患病的孩子，直接計(jì)算后代的患病率，需要對(duì)兩種基因型進(jìn)行計(jì)算，比較復(fù)雜，本題可以反向計(jì)算后代正常的概率，計(jì)算過(guò)程是：發(fā)病率為19%，即AA與Aa的基因型頻率之和是19%，正常的概率（即aa的基因型頻率）為81%，根據(jù)遺傳平衡定律（A、a的基因頻率分別用p、q表示），q2=81%，則q=9/10，由p+q=1，可以求得，p=1/10.丈夫正常，基因型為aa，妻子患病，基因型有AA或Aa，兩種可能，先求妻子基因型為Aa的概率，根據(jù)遺傳平衡定律可知，基因型為Aa的概率=2p×q=2×1/10×9/10=18%，但已經(jīng)確定妻子是患者，因此，妻子的基因型為Aa的概率=（18%）/（19%）= 18/19，后代為表現(xiàn)正常（aa）的概率=1/2×18/19=9/19，所以這對(duì)夫婦所生子女患病的概率是10/19.

六、乘法加法原理

例8 對(duì)輕度智力低下（feeblemindedness）隱性基因雜合的雙親，若有4個(gè)孩子，其情形如下，問(wèn)概率各為多少？（1）全不正常（2）全部正常（3）3個(gè)正常1個(gè)低能.

簡(jiǎn)析 假定雙親的基因型為Ff，則各類(lèi)型子女出現(xiàn)的概率是：

Ff × Ff

↓

1 4 FF 2 4 Ff 1 4 ff

3 4 正常 1 4 低能

各種情形的概率是：

（1） 全不正常：C04（ 1 4 ）4（ 3 4 ）0=（ 1 4 ）4= 1 256

（2） 全部正常：C44（ 3 4 ）4（ 1 4 ）0=（ 3 4 ）4= 81 256

（3）3個(gè)正常1個(gè)低能

C34（ 3 4 ）3（ 1 4 ）1=4（ 3 4 ）3（ 1 4 ）1=

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