解析幾何中忽略隱含條件錯因分析

陳干

所謂隱含條件，是指題中若暗若明、含而不露的條件.一般來說，它們常巧妙地隱蔽在題設(shè)或結(jié)論的背后，不易為人們所覺察.在數(shù)學(xué)解題中，隱含條件具有干擾性、迷惑性，常給解題帶來消極因素.若能注意到題中隱含條件，往往會使解題結(jié)果更具有完整性、準(zhǔn)確性.下面就解析幾何中常見的忽略隱含條件導(dǎo)致的錯誤進行分析，并給出對策.

1.忽略曲線方程點的坐標(biāo)取值范圍限制

例1 若點P（x，y），滿足3x2+2y2=6x，試求x2+y2的取值范圍.

錯解 由已知得y2= 1 2 （-3x2+6x）

∴x2+y2=- 1 2 （x-3）2+ 9 2

故當(dāng)x=3時，x2+y2的最大值為 9 2 ，即x2+y2≤ 9 2 .

評注 本題解法忽略了點P（x，y）在曲線3x2+2y2=6x上，則點的坐標(biāo)取值范圍受到限制.事實上，由已知2y2=-3x2+6x≥0，得到題設(shè)隱含條件為0≤x≤2.故當(dāng)0≤x≤2時，x2+y2應(yīng)在當(dāng)x=2時，取得最大值為4，當(dāng)x=0時，取得最小值為0.因此0≤x2+y2≤4.

在圓錐曲線方程中，曲線方程點的坐標(biāo)取值范圍受到限制.由此題發(fā)現(xiàn)，在研究圓錐曲線方程最值問題時，應(yīng)充分注意到對自變量的取值范圍的研究，否則，將會發(fā)生錯誤.

2.忽略直線的斜率不存在

例2 已知雙曲線（x-1）2-y2=1和圓x2+y2=1，直線l同時滿足下列兩個條件：

（1）與雙曲線交于不同兩點；

（2）與圓相切，且切點是直線與雙曲線相交所得的弦的中點.求直線l的方程.

錯解 設(shè)直線l的方程為y=kx+b

由直線l與圓相切得b2=1+k2 ①

將y=kx+b代入雙曲線方程得

（1-k2）x2-2（kb+1）x-b2=0

當(dāng)k≠±1時，有Δ>0，這樣直線與雙曲線有兩個交點，設(shè)其為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為C（x0，y0），則x0= x1+x2 2 = kb+1 1-k2 ，y0=kx0+b= k+b 1-k2 .

又C為圓的切點，從而（ kb+1 1-k2 ）2+（ k+b 1-k2 ）2=1 ②

由①、②得

k= 3 3 ，b=- 2 3 3 或k=- 3 3 ，b= 2 3 3 .

所以，直線方程為：

y= 3 3 x- 2 3 3 或y=- 3 3 x+ 2 3 3 .

評注 設(shè)直線為y=kx+b隱含了斜率k存在，故應(yīng)再討論若k不存在時的情況.當(dāng)斜率k不存在時，即直線l垂直于x軸時，此時，直線方程為：x=-1，顯然x=-1符合條件.

事實上，直線y=kx+b成立的條件是斜率k存在.若解題中，用到直線的斜截式時，往往應(yīng)考慮斜率k不存在時的情形，否則，經(jīng)常會產(chǎn)生漏解.

3.忽略直線截距式方程中截距等于零

例3 已知圓C：（x-2）2+y2=3，直線l與圓C相切并且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.

錯解 設(shè)直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距分別為a、b，圓心C（2，0），半徑r= 3 ，依題意知a=b，故設(shè)直線l的方程為x+y=a.

∵直線l與圓C相切，∴ |2-a| 2 = 3 ，∴a=2+ 6 或a=2- 6 .

綜上，直線l的方程為x+y=2+ 6 或x+y=2- 6 .

評注 直線截距式方程成立的條件是截距存在且不等于0.此解法忽略了對a=b=0隱含條件的研究.事實上，當(dāng)a=b=0時，設(shè)直線l的方程為y=kx.

∵直線l與圓C相切，∴ |2k| k2+1 = 3 ，解得k= 3 或k=- 3 .

∴直線l的方程為y= 3 x或y=- 3 x，因此，滿足題意的方程為x+y=2+ 6 或x+y=2- 6 或y= 3 x或y=- 3 x.

事實上，在研究直線截距式方程時，應(yīng)注意到截距是否等于0.若不注意到這一問題，可能漏解.

4.忽略直線和圓錐曲線相交的條件

例4 給定雙曲線x2- y2 2 =1，過點B（1，1）能否做直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q1、Q2，且點B是線段Q1Q2的中點？這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在，說明理由.

錯解 設(shè)所求的直線為y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.

代入到2x2-y2-2=0中，得

（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0

設(shè)Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根，故2-k2≠0時， x1+x2 2 = k（1-k） 2-k2 =1，解得k=2.故存在直線y-1=2（x-1），即y=2x-1.

評注 此解法忽略了兩個隱含條件的研究，其一，設(shè)直線為y-1=k（x-1），隱含了斜率k存在，故應(yīng)再討論若k不存在時的情況，當(dāng)k不存在時顯然不滿足條件；其二，直線與雙曲線x2- y2 2 =1交于兩點Q1、Q2時，必滿足Δ>0，但當(dāng)k=2時，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）<0，故k不存在.

因此，正確答案應(yīng)是：滿足題意的直線不存在.

5.忽略曲線和曲線相交的條件

例5 已知圓（x-2）2+y2=1與拋物線y2=2px（p>0）有公共點，求p的取值范圍.

錯解 由 （x-2）2+y2=1y2=2px 得x2+（2p-4）x+3=0 ①

圓（x-2）2+y2=1與拋物線y2=2px（p>0）有公共點，方程①應(yīng)存在實數(shù)根，由此得Δ≥0，即Δ=（2p-4）2-12≥0，又考慮到p>0，解得0

評注 上述解答從推理過程看，好象步步有依據(jù)，不存在什么問題.實際上，圓（x-2）2+y2=1與拋物線y2=2px（p>0）當(dāng)1≤x≤3時，有公共點存在.這是因為圓和拋物線的公共點應(yīng)在圓（x-2）2+y2=1上，公共點的橫坐標(biāo)應(yīng)滿足（x-2）2≤1，即1≤x≤3，這個隱蔽條件對p的取值范圍有影響.正確的解法應(yīng)如下：

設(shè)f（x）=x2+（2p-4）x+3，由 p>0Δ=（2p-4）2-12≥01≤ 4-2p 2 ≤3f（1）≥0f（3）≥0

解得0

6.忽略圖形位置特征

例6 △ABC中，固定底邊BC，移動頂點A，設(shè)|BC|=a，當(dāng)sinC-sinB= 1 2 sinA時，求點A的軌跡方程.

錯解 以BC所在直線為x軸，BC中點為原點O，建立直角坐標(biāo)系.

則B（- a 2 ，0），C（ a 2 ，0），設(shè)A（x，y），∵sinC-sinB= 1 2 sinA，由正弦定理，得|AB|-|AC|= 1 2 a（定值）.

即點A的軌跡是以B、C為焦點，且焦距為a，實軸長為 a 2 ，從而虛軸長為 3 2 a的雙曲線.

故點A的軌跡方程為 x2 （ a 4 ）2 - y2 （ 3 4 a）2 =1.

評注 由|AB|-|AC|= 1 2 a（定值）就說明 點A的軌跡是以B、C為焦點，且焦距為a，實軸長為 a 2 ，從而虛軸長為 3 2 a的雙曲線，這是錯誤的.應(yīng)該說，點A的軌跡是雙曲線的右支，因此，應(yīng)加上條件x≥ a 4 .又考慮到點A、B、C不能共線，否則，不能構(gòu)成三角形，故點A不能是（ a 4 ，0），即x≠ a 4 .因此，正確的答案應(yīng)是點A的軌跡方程為 x2 （ a 4 ）2 - y2 （ 3 4 a）2 =1（x> a 4 ）.

事實上，在求軌跡問題時，應(yīng)充分注意到圖形的位置特征，注意到求軌跡的純粹性，去掉不滿足題意的點，否則，會產(chǎn)生多解.

7.忽略恒等變形的等價性

例7 已知雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0），

離心率e= 2 3 3 ，過A（0，-b），B（a，0）的直線與原點的距離為 3 2 ，求：

（1）雙曲線方程；

（2）直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線交于不同兩點C，D，且C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上，求m的取值范圍.

錯解 （1）易求雙曲線方程為 x2 3 - y2 1 =1.

（2）將y=kx+m代入 x2 3 - y2 1 =1.

得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）則x1，x2是方程的兩根，

∴x1+x2= 6km 1-3k2 過A做AE⊥CD于E，依題意C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上，∴E為CD中點，即為直線CD與直線AE的交點.

由 y=kx+my+1=- 1 k x 解得x=- （m+1）k k2+1 ②

∴- （m+1）k k2+1 = 3km 1-3k2 ，1-3k2=-4m ③

又Δ=（6km）2+4（1-3k2）（3m2+3）>0，

即12m2+12（-4m）>0，

∴m>4或m<0.

評注 事實上，由1-3k2=-4m.即3k2=4m+1可知4m+1>0.

由此可知，本題解法忽略了4m+1>0這一隱含條件，而這一隱含條件是隱蔽在解題過程中，往往被忽視.因此，在解題過程中應(yīng)注意到變形過程必須是恒等變形，即要注意到變量的取值范圍的限制.

本題正確的答案應(yīng)是m>4或- 1 4