以“數(shù)三角形”為例談數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的有效滲透

李海濤

摘 要：2011版數(shù)學(xué)新課標中明確了“基本思想”也就是數(shù)學(xué)思想方法的價值和地位，現(xiàn)今社會創(chuàng)新型人才的需求要求數(shù)學(xué)思想方法必須從小學(xué)數(shù)學(xué)課堂抓起。具體到數(shù)三角形這個課例，課前從數(shù)線段、數(shù)角入手鋪墊，新授從拋出問題找到困難再到探索研究解決問題，最后及時歸納總結(jié)，在無形中潤物無聲地滲透思想方法。拓展環(huán)節(jié)巧設(shè)題目在爭論中打破思維定勢，課后留疑為以后獨立探索掌握思想方法這一神兵利器留有空間。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);化繁為簡;有序;滲透;真正發(fā)生

一、數(shù)學(xué)思想方法的價值和滲透數(shù)學(xué)思想方法的必要性

2011版數(shù)學(xué)新課程標準明確指出：“學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗……”“基本思想”正式成為“四基”之一。將思想方法列入促進學(xué)生在義務(wù)教育階段全面發(fā)展的目標之一，在理論上明確了其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要價值和關(guān)鍵地位。

布魯納指出，掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識，是解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點和根本思想方法，也就是我們在現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教育中所提出的“通法”。它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，能夠為小學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展起到奠基性作用。在習(xí)總書記的倡導(dǎo)和推動下，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才已成為社會共識，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)是培育創(chuàng)新型人才的關(guān)鍵一招，其培養(yǎng)和滲透必須從小學(xué)數(shù)學(xué)課堂開始抓起。

二、“數(shù)三角形”課例展示及思想方法滲透分析

教學(xué)內(nèi)容：人教版四年級下冊P71練習(xí)題7

1.前置探索，承上啟下

師：昨天老師給大家布置了“數(shù)一數(shù)”的前置作業(yè)，下面一起來匯報交流一下。

學(xué)生匯報自己數(shù)線段、數(shù)角時用到的方法。

師：剛才數(shù)線段時大家想出了兩種不同的方法，可以先1條1條地數(shù)，再2條2條地數(shù)，依次數(shù)下去。也可以先固定一個端點，把從這個端點出發(fā)的全部數(shù)完，再依次數(shù)下去，兩種方法都是非?！坝行颉钡?。數(shù)角的時候大家也用到了類似的方法，在“有序”的引領(lǐng)下做到了不重復(fù)也不遺漏。

師：大家數(shù)線段、數(shù)角都學(xué)得非常好。接下來你們還想數(shù)什么？

生：平行四邊形、長方形、正方形、三角形……

師：今天這節(jié)課我們先重點來研究數(shù)三角形。

導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)計了數(shù)線段和數(shù)角的前置作業(yè)，目的是讓學(xué)生在自主探索中喚起舊知，回憶起三、四年級數(shù)圖形教學(xué)當中“有序”。經(jīng)歷了先前置探究再課上交流這兩次思維火花的碰撞，對“有序”的思想方法進行了有效滲透，為數(shù)三角形思想方法的進一步滲透做好了鋪墊。

2.探究新授，潤物無聲

師：圖中一共有多少個三角形，開始數(shù)吧。

師：你數(shù)出來了嗎？你遇到了什么困難？

生：數(shù)不出來。單個的小三角形有2019個，還有組合起來的三角形，太多了。

師：是呀，單個基本三角形都有2019個，還有2個2個地數(shù)，3個3個地數(shù)……真的太多了。碰到了這種很復(fù)雜的問題，我們要怎樣解決呢？

生：要是少一點就好了，就能數(shù)出來了。

師：是的，碰到一個復(fù)雜的問題，可以先把復(fù)雜變簡單，從簡單入手去研究。聽你們的，少一點，少到多少呢？

生：2個基本三角形、3個基本三角形……

師：每個人想要研究的數(shù)量不同，為了提高學(xué)習(xí)效果，小組內(nèi)分工合作，先定好要研究的基本三角形個數(shù)，把三角形畫好，再數(shù)一數(shù)，最后把結(jié)果記錄下來。

這個環(huán)節(jié)，首先拋出一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生獨立分析，給學(xué)生真正直面問題的機會，面對困難自主開始想方法去解決問題。經(jīng)歷了這樣一個讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的心路歷程，可以更好地激發(fā)學(xué)生的探索興趣，引發(fā)學(xué)生真正思考，提高了后面思想方法滲透環(huán)節(jié)的可接受性。碰到復(fù)雜情況怎么辦？這個問題引發(fā)學(xué)生的大討論，學(xué)生根據(jù)生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗等自然地想到了要變“多”為“少”，把“復(fù)雜”變成“簡單”，在無形中學(xué)生自己提出了解決問題時要“化繁為簡”，把數(shù)學(xué)思想方法在討論中巧妙地滲透了進去，為以后學(xué)生獨立解決時喚醒“化繁為簡”的思想方法打下了很好的基礎(chǔ)，為解決這道題指明了方向。

師：老師巡看時，發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)做得非常好，小組內(nèi)的同學(xué)互相交流一下。

依次請2個基本三角形、3個基本三角形（重點）的同學(xué)上來講怎樣數(shù)的。

生：先數(shù)3個基本三角形，再數(shù)由2個基本三角形組成的，再數(shù)由3個基本三角形組成的。

師：李老師來當你的助手，你數(shù)，我貼。觀察一下，李老師為什么要這么擺，你發(fā)現(xiàn)了什么？如果我們用算式簡單地記錄下來，怎么寫？

生：這樣擺非常有序，可以看出數(shù)法。3+2+1=6（個）

師：3個基本三角形的類型，還有不同的數(shù)法嗎？

生：先固定三角形最左邊的邊，把含有這條邊的三角形全部數(shù)出來有3個，再固定第二條邊不重復(fù)的數(shù)有2個，再固定第三條邊有1個。

師：兩種方法都是3+2+1，這兩個3一樣嗎？這兩種方法，又有什么聯(lián)系的地方呢？

生：不一樣，第一個3是三個基本三角形，第二個3是從最左邊這條邊出發(fā)數(shù)出來的3個三角形。

生：第一種數(shù)法如果豎著擺就是第二種數(shù)法，雖然兩個3不一樣，但數(shù)出來結(jié)果一樣，可以轉(zhuǎn)化一下變得一樣。

師：剛剛我們數(shù)三角形的時候，想了兩種不同的方法。雖然方法不同，但都做到了“有序”思考，成功地解決了問題。而且，大家通過“轉(zhuǎn)化”，使兩種方法又聯(lián)系起來，把“變與不變”分得清清楚楚。

在學(xué)生數(shù)三角形的時候，抓住3個基本三角形這種類型，讓學(xué)生講了自己的兩種不同方法，殊途同歸，再次凸顯“有序”思想方法的價值和普遍適用性，加深學(xué)生的認識。兩個“3”一樣嗎，又有什么聯(lián)系，這一關(guān)鍵問題引發(fā)學(xué)生仔細地觀察和思考，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)兩者換個方向看可以變得一樣，滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想。同時，本來不一樣又回到一樣，經(jīng)歷了這個變化過程，在比較中滲透了“變與不變”的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想方法的滲透需要有效的載體，選擇合理的數(shù)學(xué)問題可以在同一問題情境下滲透多種數(shù)學(xué)思想。

師：5個基本三角形的類型，猜一猜，一共有多少個三角形？怎么想的？

生：5+4+3+2+1。根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，一共幾個基本三角形就從幾往下一直加到1。

師生一起來驗證5個、6個、7個基本三角形的類型。

師：那10個基本三角形的、200個基本三角形的，2019個呢？n個呢？

生：2019+2018+…+2+1。n+（n-1）+……+2+1。

師：這個復(fù)雜的問題被我們解決了，我們是怎樣把它解決出來的呢？

生：我們碰到了一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，把多變成少，從簡單入手開始研究，有序思考，探索規(guī)律，再運用規(guī)律解決問題。

師：其實今天我們的研究方法與大數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說的不謀而合（ppt出示華羅庚的話），也就是以退為進，化繁為簡。

學(xué)生自己完整經(jīng)歷了解決最開始復(fù)雜問題的過程，總結(jié)出要多變少，有序地去找規(guī)律，在總結(jié)中理解了“化繁為簡”這一解決復(fù)雜問題的核心思想方法。但學(xué)生只是一種模糊的感知，沒有內(nèi)化和系統(tǒng)，老師及時地進行小結(jié)并且將華羅庚先生“善于退，足夠的退，退到原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅”的名言展示出來，給學(xué)生形成系統(tǒng)的認識，加深對化繁為簡的理解。數(shù)學(xué)思想方法的滲透是潤物無聲的，但又要注意及時地總結(jié)和歸納，為學(xué)生點亮“思想方法”這盞明燈。

3.拓展延伸，打破定勢

師：那現(xiàn)在看這個圖形，一共有多少個三角形？誰可以快速地答出來。

……

生1：2019+2018+……+2+1（個）

生2：不對，這里線段不是斜著的，是橫著的。上面是一個三角形，下面是梯形，梯形不是三角形。

師：看來有爭論，數(shù)學(xué)課堂就需要這種不同的聲音，真理越辯越明！那這個問題要怎樣解決呢？

生：可以化繁為簡，從簡單入手開始研究，去找規(guī)律，再驗證。

學(xué)生動手探索研究，解決問題。

學(xué)生在前面習(xí)得了“化繁為簡”“有序”“轉(zhuǎn)化”“變與不變”等數(shù)學(xué)思想，但同時得到了n+（n-1）+…+2+1這個規(guī)律，形成了思維定勢。這道拓展題目擺出來，學(xué)生之間就產(chǎn)生了爭論，通過生生爭論，思維定勢和理性思考激烈沖突，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律不再適用于這個題目。這時候自然而然就會想到要用數(shù)學(xué)思想解決這個問題。學(xué)生用爭論打破定勢，證明了重要的是思想方法而不是死記結(jié)論。數(shù)學(xué)思想方法是宏觀的“通法”，與解決某個具體問題的“解法”不同，具有更好的適用范圍，但學(xué)生往往會受思維定勢等的影響，更容易記住“解法”，通過類似的爭論等方法輔助思想方法的滲透，讓這盞明燈越來越亮。

4.課后留疑，研精覃思

師：我們今天研究了這兩種數(shù)三角形的方法。（課件）如果繼續(xù)數(shù)三角形，你覺得可能研究哪一種？

生：一個大三角形里，既有橫著加線又有豎著加線的。

師：這節(jié)課我們一起研究了數(shù)三角形。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重方法，今天你們用到的“有序”“轉(zhuǎn)化”“變與不變、化繁為簡”等思想在以后的學(xué)習(xí)中會像明燈一樣點亮你們學(xué)習(xí)的方向。這些思想在數(shù)長方形、正方形、梯形的時候是否也用得上呢？一個大三角形里，既有橫著加線又有豎著加線的又怎樣解決呢？留給你們課后去探索和研究！

在課堂的最后，引導(dǎo)學(xué)生自然拋出“一個大三角形里，既有橫著加線又有豎著加線的共有多少個三角形”的問題，為學(xué)生課后探索提供素材，讓學(xué)生可以通過課后的探索練習(xí)加深對思想方法的認識。同時是否用得上的問題引發(fā)學(xué)生思考，為以后學(xué)習(xí)數(shù)其他圖形打下基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思想方法不能止于課堂教學(xué)，課后也要留有問題，給學(xué)生豐富的思考空間，讓學(xué)生在自己的探索和應(yīng)用中融會貫通，成為以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的神兵利器。