二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

羅中華

(上海建橋?qū)W院機(jī)電學(xué)院，上海 201306)

工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)是中國智能制造領(lǐng)域的突破口和重要抓手，被譽(yù)為“制造業(yè)皇冠頂端的明珠”，其研發(fā)、制造、應(yīng)用是衡量一個國家高端制造業(yè)水平和科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志[1-2]。移動機(jī)器人是機(jī)器人的一種類型，由計算機(jī)控制，具有移動、自動導(dǎo)航、多傳感器控制、網(wǎng)絡(luò)交互功能等。按運(yùn)動方式的不同，移動機(jī)器人可分為輪式、履帶式和足式機(jī)器人等，相比于輪式和履帶式機(jī)器人，足式機(jī)器人對復(fù)雜地形和非結(jié)構(gòu)化環(huán)境具有更強(qiáng)的適應(yīng)性[3-4]。移動機(jī)器人廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，在食品領(lǐng)域的應(yīng)用包括食品加工、包裝、分揀及碼垛。在食品領(lǐng)域機(jī)器人中，應(yīng)用多連桿機(jī)構(gòu)和凸輪機(jī)構(gòu)比較多[5-7]。隨著美國波士頓動力公司設(shè)計、制造的系列足式移動機(jī)器人的大規(guī)模應(yīng)用，可移動式機(jī)器人的發(fā)展已進(jìn)入了新時期。其應(yīng)用范圍拓展到了軍事、災(zāi)害救援、地質(zhì)勘探、核事故搶險、生活服務(wù)等領(lǐng)域[8-9]。

多連桿機(jī)構(gòu)廣泛地應(yīng)用于移動機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)，目前已有單腿、雙腿、4腿、6腿和8腿足式機(jī)器人[10]。腿部運(yùn)動機(jī)構(gòu)是機(jī)器人實現(xiàn)預(yù)定動作及軌跡的關(guān)鍵部件之一[11]，有較多學(xué)者[12-14]對腿部運(yùn)動機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。但現(xiàn)有移動機(jī)器人腿部多連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計研究不夠完善，主要體現(xiàn)為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)不夠準(zhǔn)確、約束條件不完整等，導(dǎo)致現(xiàn)有優(yōu)化的多連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)足端的實際軌跡曲線與理想軌跡曲線誤差較大。

章永年等[13]對二自由度七連桿(文中稱五連桿機(jī)構(gòu)，實際為七連桿機(jī)構(gòu))機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究，優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)節(jié)電機(jī)力矩性能、節(jié)電機(jī)速度性能、電機(jī)的總能耗、五桿總長最小；試驗僅選取了3個機(jī)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計變量、10個約束條件，根據(jù)此約束條件不能保證機(jī)器人腿部足端點(diǎn)實現(xiàn)預(yù)先給定的理想軌跡曲線。由于沒有給出驅(qū)動擺桿的擺動角度范圍以及如何擺動，無法驗證試驗機(jī)器人腿部足端點(diǎn)的實際軌跡曲線。

為了使機(jī)器人腿部足端的實際軌跡曲線與預(yù)先給定理想軌跡曲線盡量重合，試驗擬對章永年等[13]研究的二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了適當(dāng)改進(jìn)。增加兩個機(jī)構(gòu)角度尺寸參數(shù)；設(shè)計變量選用全部機(jī)構(gòu)參數(shù)以及驅(qū)動曲柄ED與x軸的初始夾角αs、驅(qū)動搖桿AF與x軸的初始夾角βs和搖桿AF旋轉(zhuǎn)角度δ等16個參數(shù)；目標(biāo)函數(shù)是使足端相對實際軌跡曲線上k個點(diǎn)(優(yōu)化數(shù)例k=72)到足端相對理想軌跡曲線的最小距離的代數(shù)和最?。唤瑤缀渭s束、性能約束和變量的上、下限約束等42個約束條件。以橢圓曲線作為機(jī)器人腿部足端相對理想軌跡曲線、驅(qū)動搖桿的來回擺動采用STEP運(yùn)動函數(shù)，對二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。利用優(yōu)化的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)，設(shè)計了6足仿真機(jī)器人，并采用UG軟件對優(yōu)化的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)和6足仿真機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動仿真。旨在為了驗證七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的正確性和應(yīng)用于6足機(jī)器人的可行性。

1 運(yùn)動公式

七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)如圖1所示[13]。七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)活動構(gòu)件數(shù)n=6、低副數(shù)PL=8、高副數(shù)PH=0，機(jī)構(gòu)的自由度為2。驅(qū)動曲柄為桿DE、驅(qū)動搖桿為桿AF。為了便于后面機(jī)構(gòu)優(yōu)化，坐標(biāo)原點(diǎn)未放在鉸鏈點(diǎn)上。七連桿機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)包括機(jī)構(gòu)的桿長參數(shù)l1、l2、…、l7，鉸鏈點(diǎn)A、E的坐標(biāo)分別為(xA,yA)，(xE,yE)，構(gòu)件的角度參數(shù)θ和φ，以及驅(qū)動曲柄ED與x軸的初始夾角αs、驅(qū)動搖桿AF與x軸的初始夾角βs和搖桿AF旋轉(zhuǎn)角度δ。

圖1 七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)圖

設(shè)曲柄DE從初始角θ逆時針旋轉(zhuǎn)α(逆時針方向為正，下同)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為：

(1)

設(shè)搖桿AF與x軸的夾角為β(β∈[βS,βS+δ])，則F點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2)

B點(diǎn)坐標(biāo)為：

(3)

設(shè)搖桿DB與x軸的夾角為φ，則有：

(4)

設(shè)搖桿DC與x軸的夾角為φ1，則有：

(5)

其中，

C點(diǎn)坐標(biāo)為：

(6)

H點(diǎn)坐標(biāo)為：

(7)

設(shè)搖桿FH與x軸的夾角為φ2，則有：

(8)

設(shè)搖桿FG與x軸的夾角為φ3，則有：

(9)

G點(diǎn)坐標(biāo)為：

(10)

設(shè)搖桿HG與x軸的夾角為φ4，則有：

(11)

I點(diǎn)坐標(biāo)為：

(12)

2 機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

2.1 足端理想軌跡曲線

現(xiàn)有文獻(xiàn)[4,14-15]常見的機(jī)器人足端理想軌跡曲線有矩形曲線、橢圓、拋物線、擺線(修正擺線)、心形線、組合線段等。這些足端理想軌跡曲線中，有封閉曲線和非封閉曲線兩種。機(jī)器人腿部按足端是否與地面有相對運(yùn)動分為擺動相和支撐相。支撐相的腿部足端相對于地面是靜止不動的，而支撐相腿部機(jī)構(gòu)的其他部位是運(yùn)動的，從而推動機(jī)器人機(jī)身向前運(yùn)動。同時，擺動相的腿足端的絕對運(yùn)動是機(jī)器人機(jī)身的牽連運(yùn)動和足端相對于機(jī)器人機(jī)身的相對運(yùn)動的合成運(yùn)動。按機(jī)身是否運(yùn)動，將機(jī)器人腿部足端軌跡曲線分為相對軌跡曲線和實際軌跡曲線。當(dāng)驅(qū)動曲柄旋轉(zhuǎn)一周，足端相對軌跡曲線一定是一條封閉的曲線，足端實際軌跡曲線一定是一條非封閉的曲線。因此，機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時，足端理想軌跡曲線應(yīng)分為相對理想軌跡曲線和實際理想軌跡曲線，足端實際軌跡曲線應(yīng)分為相對實際軌跡曲線和實際軌跡曲線。

在機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時，很難求得機(jī)器人機(jī)身的牽連運(yùn)動和腿部足端的實際軌跡，因此，對機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時，足端理想軌跡曲線選用相對理想軌跡曲線。定義機(jī)器人左右兩邊、前后同一位置的兩條腿分別為A腿和B腿。當(dāng)足端相對理想軌跡曲線為橢圓曲線時，并假設(shè)上半個橢圓曲線和下半個橢圓曲線準(zhǔn)確地分別為擺動相和支撐相，圖2為機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)足端的實際理想軌跡曲線。理論上，跨障高度為橢圓短半軸的2倍，機(jī)器人單步步長為橢圓長半軸的4倍。但實際上，因為連桿機(jī)構(gòu)基本上不能準(zhǔn)確地使上半個橢圓曲線和下半個橢圓曲線分別為擺動相和支撐相，實際步長與理論步長存在一定誤差。

雙點(diǎn)畫線的橢圓曲線為足端的相對理想軌跡曲線；B點(diǎn)為B腿的立足點(diǎn)，實線為A腿足端的實際理想軌跡；A點(diǎn)為A腿立足點(diǎn)，虛線為B腿足端的實際理想軌跡曲線

2.2 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

2.2.1 設(shè)計變數(shù) 選取二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)全部16個參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計變數(shù)，即

X=(x1,x2,…,x16)T=(l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,xA,yA,xE,yE,θ,φ,αs,βs,δ)T。

(13)

2.2.2 目標(biāo)函數(shù) 二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)是使足端相對實際軌跡曲線盡量與足端相對理想軌跡曲線重合。選用足端相對實際軌跡曲線上k個點(diǎn)到相對理想軌跡曲線的最小距離的代數(shù)和最小作為七連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)[16]，即

(14)

式中：

di——足端相對實際軌跡上的第i個點(diǎn)到足端相對理想軌跡曲線的最小距離。

2.2.3 約束條件 機(jī)構(gòu)應(yīng)滿足幾何約束條件和傳動角約束條件。根據(jù)七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)，建立二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的約束條件為：

lBDmax≤x3+x4，x3≤lBDmin+x4，x4≤lBDmin+x3；

lFHmax≤x2+x6，x2≤lFHmin+x6，x6≤lFHmin+x2；

(15)

式中：

lBDmin、lBDmax——點(diǎn)B與D之間的最小和最大距離；

lFHmin、lFHmax——點(diǎn)F與H之間的最小和最大距離；

γmin——機(jī)構(gòu)的最小傳動角。

設(shè)各變量下限值ximin和上限值ximax，變量下限和上限約束條件為：

ximin≤xi≤ximax(i=1,2,…,16)。

(16)

綜上，二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計為16個設(shè)計變量、42個約束條件的約束優(yōu)化設(shè)計問題。二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

(17)

2.3 遺傳算法

遺傳算法(GA)是美國Michigan大學(xué)John Holland教授1975年首先提出、基于1858年達(dá)爾文的自然選擇原理、自然遺傳機(jī)制、優(yōu)勝劣汰和適者生存的生物遺傳和進(jìn)化的規(guī)律而形成的一種隨機(jī)搜索優(yōu)化算法。該算法的主要步驟[17]：

① 隨機(jī)產(chǎn)生一組初始個體構(gòu)成初始群體；

② 計算群體中個體的適應(yīng)度；

③ 判斷算法收斂準(zhǔn)則是否滿足，若滿足則輸出搜索結(jié)果并停止運(yùn)算，否則轉(zhuǎn)下一步；

④ 選擇運(yùn)算，按優(yōu)勝劣汰執(zhí)行復(fù)制操作；

⑤ 交叉運(yùn)算，按一定的方式進(jìn)行交叉操作；

⑥ 變異運(yùn)算，按一定的規(guī)律執(zhí)行變異操作；

⑦ 轉(zhuǎn)步驟②。

2.4 數(shù)例

取足端相對理想軌跡曲線為長半軸100 mm、短半軸40 mm的橢圓曲線，橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。機(jī)構(gòu)的最小傳動角γmin=30°，各變量下限和上限取值約束為：30 mm≤l1≤50 mm、20 mm≤l2≤40 mm、30 mm≤l3≤90 mm、120 mm≤l4≤220 mm、15 mm≤l5≤60 mm、100 mm≤l6≤160 mm、140 mm≤l7≤180 mm、10 mm≤xA≤35 mm、220 mm≤yA≤400 mm、10 mm≤xE≤25 mm、200 mm≤yE≤380 mm、120°≤θ≤250°、100°≤φ≤180°、0°≤αS≤360°、210°≤βS≤270°、20°≤δ≤70°，相對實際軌跡上取k=72個點(diǎn)。驅(qū)動曲柄采用勻速轉(zhuǎn)動，即ω=-180°/s，經(jīng)驅(qū)動搖桿分別采用勻速往復(fù)擺動和STEP運(yùn)動函數(shù)往復(fù)運(yùn)動對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，發(fā)現(xiàn)STEP運(yùn)動函數(shù)往復(fù)運(yùn)動優(yōu)化設(shè)計效果好，故驅(qū)動搖桿采用STEP運(yùn)動函數(shù)[18]，即STEP(time, 0, 0, 1,δ)+STEP(time, 1, 0, 2, -δ)。選用遺傳算法作為優(yōu)化方法，編寫二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計程序。用編寫的優(yōu)化設(shè)計程序求得的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的最優(yōu)解為l1=44.654 mm、l2=38.360 mm、l3=84.848 mm、l4=120.005 mm、l5=44.498 mm、l6=119.231 mm、l7=150.672 mm、xA=10.328 mm、yA=296.586 mm、xE=19.729 mm、yE=355.336 mm、θ=193.475°、φ=134.729°、αs=118.259°、βs=210.128°，δ=42.5304°，f(X*)=29.061 9 mm。優(yōu)化的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)運(yùn)動仿真如圖3所示。驅(qū)動曲柄每1°為一個等分點(diǎn)進(jìn)行仿真，足端最大、最小的x坐標(biāo)分別為100.035 mm和-100.036 mm，足端最大、最小的y坐標(biāo)分別為40.005 mm和-40.009 mm，與理想的橢圓的長、短軸半徑的最大相對誤差僅為0.036%。足端的實際軌跡平均每點(diǎn)與理想橢圓軌跡曲線的絕對誤差約為0.40 mm，最大誤差的點(diǎn)的絕對誤差約為1.45 mm。從圖3可以看出，優(yōu)化的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)足端相對實際軌跡曲線幾乎完全與相對理想軌跡曲線重合。因此，文中七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果是十分理想的。

設(shè)A腿和B腿的七連桿機(jī)構(gòu)曲柄相位角相差180°，當(dāng)A腿和B腿的兩足端的y坐標(biāo)相等時，兩腿的兩足端與地面接觸，隨后一腿為支撐相，另一腿為擺動相。根據(jù)A腿和B腿足端的仿真數(shù)據(jù)，采用Excel繪制優(yōu)化的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)兩腿足端的實際軌跡曲線如圖4所示。由圖4可知，機(jī)器人實際步長約為393.9 mm，跨障高度約為80 mm。步長略小于400 mm的主要原因是兩腿足端的y坐標(biāo)相等時，y不為零(y=6.023 mm)所致。即足端支撐相和擺動相，機(jī)構(gòu)的曲柄不是各轉(zhuǎn)180°所致。

橢圓曲線為相對理想軌跡曲線、用雙點(diǎn)畫線表示，符號“+” 為機(jī)器人腿部足端相對實際軌跡點(diǎn)

實線為A腿足端的實際軌跡曲線，虛線為B腿足端的實際軌跡曲線

3 6足仿真機(jī)器人設(shè)計

以優(yōu)化的二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)為依據(jù)，設(shè)計了6足仿真機(jī)器人。文中所謂仿真機(jī)器人是指只考慮運(yùn)動分析正確性的機(jī)器人，而不考慮具體機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和提供驅(qū)動的動力裝置。6足仿真機(jī)器人如圖5所示，其3條腿為一組。將3條腿固定于下機(jī)身固定板，如圖5(a)所示，另3條腿固定于上機(jī)身固定板，如圖5(b)所示。上、下機(jī)身固定板用轉(zhuǎn)動副連接，使機(jī)器人具有轉(zhuǎn)彎的功能，完整的6足仿真機(jī)器人如圖5(c)所示。

圖5 6足仿真機(jī)器人

當(dāng)一組3條腿為擺動相時，上、下機(jī)身固定板之間的轉(zhuǎn)動副相對轉(zhuǎn)動，使擺動相3條腿的固定板向左或向右轉(zhuǎn)過一定的角度；當(dāng)擺動相3條腿變?yōu)橹蜗鄷r，轉(zhuǎn)動副再相對轉(zhuǎn)動，從而實現(xiàn)6足機(jī)器人轉(zhuǎn)彎功能。

A腿和B腿七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)曲柄相位角相差180°，由圖6可知，一組腿完成一個單步步長約400 mm，另一組腿完成一個單步步長約400 mm，與優(yōu)化設(shè)計的單步步長非常吻合，說明6足仿真機(jī)器人運(yùn)動仿真結(jié)果可靠。

數(shù)字0，400，800表示地板位置尺寸，單位：mm

4 結(jié)論

推導(dǎo)了二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析計算公式，并建立了二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型；以橢圓曲線作為相對理想軌跡曲線，對具體的二自由度七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。優(yōu)化的七連桿機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)足端相對實際軌跡曲線幾乎與相對理想軌跡曲線完全重合，優(yōu)化結(jié)果十分理想，能較準(zhǔn)確地實現(xiàn)機(jī)器人預(yù)定的步長和跨高。試驗機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計追求的是使足端相對實際軌跡與相對理想軌跡盡量重合，而足端實際軌跡與實際理想軌跡盡量重合有待進(jìn)一步研究。此外，調(diào)整兩組腿部機(jī)構(gòu)的曲柄不是相差180°，而是使整個機(jī)器人的足端支撐相和擺動相曲柄各轉(zhuǎn)180°，從而消除用足端相對實際軌跡與相對理想軌跡盡量接近作為目標(biāo)函數(shù)所引起的誤差。