縱有萬變 殊途尋歸
——一道圓習題的變式教學課例

廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅實驗學校 李志平 歐陽衛(wèi)彪

變式教學在初中數(shù)學教學中有著非常重要的作用，屬于一種教學方式，在教學過程中應用這一方式，就能將數(shù)學中所存在的一些問題、各項條件進行轉(zhuǎn)換，比如問題的形式、內(nèi)容、條件等要素，這樣就能夠讓學生養(yǎng)成多角度思考問題的習慣，最大程度地提高學生思維的靈活性，使其解決問題的能力得到有效的提升。以下以一道課本圓習題為例說明幾何題變式教學的一般過程。

一、 變式教學過程

（一）原題導入

1.原題出處：新人教版《數(shù)學》教材九年級上冊 P123 復習題6：如圖1，大半圓中有n個半徑相等的小半圓，大半圓的弧長為L1，n個小半圓的弧長和為L2，探索L1和L2的關(guān)系并證明你的結(jié)論。

2.背景分析：此題在學生學習了圓的弧長及周長公式的基礎(chǔ)上，考查學生對圓弧長及周長公式的理解與靈活掌握。

（二）原題探析

1.思路分析：大圓的半徑實際上等于小圓的半徑之和，所以都乘π 之后，大圓的弧長等于小圓的弧長之和。

2.解題過程：L1=L2。理由如下：設(shè)n個小圓半徑依次為r1，r2，…，rn，則大圓半徑為r1+r2+…+rn，L2=πr1+πr2+…+πrn=π（r1+r2+…+rn）=L1。

3.考點分析：此題考查了圓的弧長公式及周長公式，運用總量等于各分量之和的數(shù)學思想。

（三）變式拓展

【變式1】如圖2，大半圓中有n個小半圓（每個小半圓半徑不同），大半圓的弧長為L1，n個小半圓的弧長為L2，探索L1和L2的關(guān)系并證明你的結(jié)論。

1.思路分析：雖然每個小半圓的半徑不同，但是依然不改變總量等于各分量之和，也就是說大圓的半徑實際上等于各小圓的半徑之和，從而得到L1=L2。

2.解題過程：L1=L2。理由如下：設(shè)n個小圓半徑依次為r1，r2，…+rn，則大圓半徑為r1+r2+…+rn，L2=πr1+πr2+…+πrn=π（r1+r2+…+rn）=L1。

3.考點分析：此題雖然改變了題目條件，但考點依然和原題保持了一致。

4.設(shè)計意圖：改變小半圓半徑的大小或位置（如圖3、圖4、圖5），形成多元化的圖形，增加學生對類似圖形求周長的理解，考查學生對處理各種類似圖形的處理能力，有利于培養(yǎng)學生的歸納能力和邏輯推理能力等數(shù)學素養(yǎng)。

【變式2】某公園計劃砌一個形狀如圖6 所示的噴水池（圖中長度單位：m），后來有人建議改為如圖7 的形狀，且外圓的半徑不變，請你比較兩種方案，確定哪一種方案砌各圓形水池的周邊需要的材料多。（提示：比較兩種方案中各圓形水池周長的和）

1.思路分析：先分別求出兩種方案中各圓形水池周長的和，再比較大小。

3.考點分析：本題來自人教版初中數(shù)學七年級上冊75 頁第9 題，本題的背景是整式的加減，所以它的考點主要就是含有字母的整式的合并同類項，同時也考查了學生對圓的周長的掌握，考查了總量等于各分量之和的數(shù)學思想，其思路方法與原題如出一轍。

4.設(shè)計意圖：把原題半圓變成整圓，豐富圖形的樣式，考查了學生的識圖能力，有利于培養(yǎng)學生的幾何直觀和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

【變式3】如圖8 所示，大正方形中有n個邊長相等的小正方形，大正方形的周長為L1，內(nèi)部圖形的周長為L2（不包括與大正方形的重合部分），探索L1和L2的關(guān)系并證明你的結(jié)論。

1.思路分析：此題延續(xù)了原題的風格，都是大含小，而且大小圖形都是相似圖形，但是解題方法卻大不同，對圖形（題目）的理解至關(guān)重要。

3.考點分析：本題主要考查了學生對圖形的理解識別能力，在結(jié)合代數(shù)式變形或整體代入思想的基礎(chǔ)上沿用了原題解題的核心思路，是一道由原題改編而來的創(chuàng)新題型。

4.設(shè)計意圖：把圓變成正方形，從求圓的弧長及周長遷移到求正方形的周長，同時也考查了幾何圖形的分析理解能力、等量代換等數(shù)學思想。

【變式4】某樓梯的側(cè)面視圖如圖9 所示，其中AB=4 m，∠BAC=30°，∠C=90°，因為某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為多少米？

1.思路分析：由圖可知，把每個小三角形的兩條直角邊分別平移到大直角三角形的邊AC和BC上可知地毯的長度實際上等于大直角三角形的兩條直角邊之和。

3.考點分析：本題考查了學生通過平移來理解總量等于各分量之和，也考查了對勾股定理的應用以及含有30°角的直角三角形的性質(zhì)。

4.設(shè)計意圖：把圓變成直角三角形，從求圓的弧長及周長遷移到求直角三角形的邊長及周長，但依然考查了總量等于各分量之和的數(shù)學思想，也考查了幾何圖形平移的性質(zhì)。

（四）感悟提升

通過變式教學，使學生靈活掌握圓的周長以及弧長公式，正方形的周長以及幾何圖形的平移性質(zhì)、勾股定理的應用。從幾何過渡到代數(shù)，從部分過渡到整體，學生的思維得到了發(fā)散，課堂教學效率得到了極大的提高，同時，在問題的有序變化中發(fā)現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而增強了舉一反三、觸類旁通的解題能力，很好地培養(yǎng)了學生的符號意識、幾何直觀及邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)。

（五）檢測評價

1.如圖10，大圓中有n個小圓，大圓的周長為L1，n個小圓的周長和為L2，探索L1和L2的關(guān)系并證明你的結(jié)論。

2.如圖11，這是一個花臺的平面圖，正方形的邊長為20 米，小圓的半徑均為5 米，求這個花臺的周長。

3.如圖12，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是0.5 cm。求圖中三個扇形（陰影部分）的面積之和（可拓展到任意多邊形）。

二、小結(jié)

本文以教材一道圓習題的變式教學探究為例，說明了幾何題變式教學的“原題導入—原題探析—變式拓展—感悟提升—檢測評價”五步課堂教學模式，為廣大一線數(shù)學教師提供了參考模式。