喚醒數(shù)學靈魂，突出數(shù)學本質
——以《弧度制》教學為例

江蘇省海門市四甲中學 夏 華

蘇教版普通高中教科書必修4 中明確指出本小節(jié)的重點：一方面，讓學生理解弧度的意義，并能正確地進行弧度與角度之間的換算，其中弧度的概念是本節(jié)課的教學難點；另一方面，弄清1 弧度的角的含義是我們建立弧度概念的關鍵所在。根據(jù)筆者多年的教學經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)，學生對于“為什么要引入弧度制”以及“如何定義1 弧度的角”始終覺得很突兀，感覺教材中對1 弧度角的“規(guī)定”就像是天上掉下來的一樣。下面結合筆者在一次市級比賽中對《弧度制》一課的設計與執(zhí)教，談談如何在概念教學中運用數(shù)學史料，喚醒學生對數(shù)學概念產(chǎn)生的過程及背景的探究，感悟概念產(chǎn)生的必要性，突出數(shù)學本質。

一、情境創(chuàng)設，提出問題——引入弧度制的必要性

著名數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“新的數(shù)學方法和概念，常常比解決數(shù)學問題本身更重要。”本節(jié)課我們就從這句話開始體會其中的內(nèi)涵。

師：上節(jié)課我們學習了“任意角”的概念，初中時我們度量角的單位是什么？

生：度。

師：1°角有多大？它是如何定義的？

師：1°角還可以細分，1°=60′，1′=60″。

師：將1°角作為角的度量單位，去度量其他角，像這種用度作單位去度量角的單位制叫作角度制。

【設計意圖】現(xiàn)已無法考證古人為什么要將圓周分為360 等份，據(jù)說是在公元前4000 年，古希臘人發(fā)現(xiàn)隨著四季更替，天上的星座呈現(xiàn)出周期性的變化，并且近似觀察出每360 天循環(huán)一次，也就是一年。古時候人們認為天圓地方，因此天（圓）就被等分成了360 份， 1 份即為1 度。雖然后來人們發(fā)現(xiàn)了一年大約是365 天，但是因為360 度已經(jīng)使用多年，成為習慣，并且它在度量一些特殊角（平角、直角和一些正多邊形的內(nèi)角）數(shù)據(jù)都是整數(shù)，非常好計算，所以就被保留了下來。

師：比如30°角是1°角的30 倍，那30°與sin 30°這兩個量能相加嗎？

生：30°是一個角度，sin 30°是一個實數(shù)，它們度量單位不統(tǒng)一，所以不能相加。

【設計意圖】在最初的時候，三角學屬于天文學的一部分，隨著時代的發(fā)展，它逐漸脫離天文學，成為數(shù)學的一個分支，特別是隨著近代數(shù)學的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)用度作為角的單位度量角的大小，已不能滿足科學研究的需要。人們發(fā)現(xiàn)：如果能統(tǒng)一“角”與“實數(shù)”的度量單位，就能解決更多的實際問題。但是“角度運算是60 進制的”，而“實數(shù)運算是10進制的”，它更符合我們的日常習慣，于是人們就想：“角的大小能否也用一個實數(shù)來度量，這樣實數(shù)與實數(shù)就能相加?！蹦敲础坝檬裁礃拥膶崝?shù)來度量角的大小”就成為我們迫切需要解決的問題。因此，人們就試圖定義一種新的度量角的單位制，經(jīng)過幾代人數(shù)百年的努力，最終確立了另一種度量角的單位制——“弧度制”。

二、探究新知，揭示概念——弧度制的概念及公式表示

問題1：如圖1，在半徑為r的圓中，隨著弧長l的改變，圓心角α會發(fā)生怎樣的變化？它們之間有怎樣的關系？

生：弧長越長，角越大；或弧長越短，角越小。

師：反之，是否成立？

生：成立，即角越大，弧長也越長。

師：為什么角隨著弧長的改變而改變呢？大家在已有知識中能否找到依據(jù)？——基于代數(shù)的證明。

【設計意圖】弧度制不是瞬間確立的，而是經(jīng)過古人長期的探索與反復實踐，慢慢摸索出來的，在此過程中，人們在思考一個問題：影響角的大小變化的因素有哪些？

師：基于上面的發(fā)現(xiàn)，請大家完成以下活動。

學生活動：如圖2，請各小組設計方案，比較∠AOB與∠COD的大小。

生：方案一：量角（量角器）；方案二：量弧長。

【設計意圖】數(shù)學探究活動就是讓學生自己動手去操作，進行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析，然后歸納、概括獲得概念，并理解和解決問題的一種教學實施過程。在這個過程中，通過讓學生自己設計方案比較兩個角的大小，進一步體會弧長與角的大小變化的關系。

師：那么是否可以用弧長度量一個角的大小呢？請同學們思考下面一個問題。

問題2：如圖3，在半徑不同的圓中，長度相等的弧所對的圓心角的大小變化有何規(guī)律？

【設計意圖】雖然弧長是影響角的大小的一個因素，但不是唯一因素，半徑也是影響角的大小的因素，即在沒有其他限制條件下，弧長與角之間不是一一對應關系。

師：我們能否用一個實數(shù)的大小來度量圓心角的大小呢？

師：我們將這種度量角的方式叫作弧度制。

師：類比角度制，首先要定義“1 個單位的角”（即：度量單位）。

師：你能用自然語言給“1 弧度的角”下個定義嗎？

（學生思考并概括歸納）

1 弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1 弧度(radian)的角，記作1 rad（如圖4 所示）。這種用弧度作為角的單位來度量角的單位制叫弧度制(radian measure)。

師：根據(jù)角的旋轉方向不同，角有正角、負角、零角之分，相應地，我們也規(guī)定：正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)為0。

概念深化：

若圓的半徑為r，則長度為πr的弧所對的圓心角的大小為_rad。（生：π）

若圓的半徑為r，則長度為2πr的弧所對的圓心角的大小為_rad。（生：2π）

生：因為l與r都是長度，所以它們的比值是一個沒有單位的實數(shù)。

師：非常棒，也就是說弧度制其實就是用一個沒有單位的實數(shù)來度量角的大小。我們給它取了個單位“rad”，只是提醒我們這個數(shù)在此表示角。因此，在用弧度表示角的大小時，在不引起誤解的情況下，弧度單位“rad”可以省略不寫。比如：1 rad，2 rad，π rad，可分別簡寫成1，2，π。

三、深入探究，有機融合——弧度制與角度制的相互轉化

師：現(xiàn)在有了兩種度量角的單位制，它們有關系嗎？與角度制相比，1 rad 大約有多大？

教師引導學生通過幾何直觀，初步感受到1 rad 大約比60°略小一點（如圖5）；進一步，2 rad 大約比120°略小一點，是一個鈍角；3 rad 大約比180°略小一點，還是一個鈍角。

師：那么1 rad 到底有多大？弧度制與角度制“如何精確換算”呢？由前面的分析可知，平角的弧度數(shù)為π（如圖6），從而有：

例1：填寫下列各角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應表。

度54° 300°2.5弧度

師：根據(jù)以上研究我們發(fā)現(xiàn)，在弧度制下，每一個角都能用一個實數(shù)來度量，反之，每一個實數(shù)也都能度量一個角。

這樣，角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R 之間就建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)（這個角的弧度數(shù)）與之對應；反之，每一個實數(shù)也有唯一的一個角（弧度數(shù)等于該實數(shù)的角）與之對應（如圖7）。

四、問題解決，遙相呼應——推導弧度制下的弧長及扇形面積公式

例2：如圖8，設長度為r的線段OA繞端點O旋轉形成角α（α為任意角，單位為弧度），若將此旋轉過程中點A所經(jīng)過的路徑看成是圓心角α所對的弧，設弧長為l。

（1）求弧長l的值（用α與r表示）；

（2）若|α|≤2π，求扇形OAB的面積。

注：弧度制與角度制下的弧長公式與扇形面積公式比較。

弧度制 角度制弧長公式 l=|α|r|α|r2=lr S==lr 扇形面積公式 S=

師：可以發(fā)現(xiàn)，無論從結構還是數(shù)值上，弧度制下的公式都大為簡化。在今后的學習中，我們還將進一步看到弧度制帶來的便利。

師：回到本節(jié)課開始提出的問題，同學們，30°與sin 30°能相加嗎？

五、設計與思考

教科書首先通過類比及章頭圖引出弧度制，給出1 弧度的定義，然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對值公式，并得出弧度與角度的換算方法。在此基礎上，通過具體例子，鞏固所學概念和公式，進一步認識引入弧度制的必要性。這樣可以盡量自然地引入弧度制，并讓學生在探究和解決問題的過程中更好地形成弧度概念，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應關系，為學習任意角的三角函數(shù)奠定基礎。弧度制的引入，一方面統(tǒng)一了角與實數(shù)的度量單位，讓一些運算成為可能，提高了解決問題的效率；另一方面，在弧度制下，很多數(shù)學公式能大為簡化（如弧長公式、扇形的面積公式）?？傊?，弧度制的引入為后續(xù)三角函數(shù)的學習以及未來大學高等數(shù)學的學習奠定基礎。

本節(jié)課從高中學生學習數(shù)學的動機、需要、興趣出發(fā)，立足課堂實踐，運用數(shù)學史實施有效的“喚醒”，即從“屏蔽”模式化、經(jīng)驗式的教學開始，建立基于學情、優(yōu)化生態(tài)、尊重差異的新型課堂結構與價值訴求。

【備注：本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2018 年度課題《高中數(shù)學教學中“喚醒”藝術的美學建構研究》（編號D/2018/02/26）的階段性成果之一】