一種含有磁控憶阻器的四階混沌電路的特征分析

耿運(yùn)博 鄒劍飛

摘 ?要：該文提出了一種簡(jiǎn)單的磁控憶阻器模型，并利用它設(shè)計(jì)了一個(gè)混沌電路。通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算得到了一個(gè)三維帶狀混沌吸引子，且此時(shí)憶阻器的伏安特性曲線不是傳統(tǒng)的“8”字形。通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的相圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜，發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)電容參數(shù)或憶阻器初始狀態(tài)可以實(shí)現(xiàn)電路系統(tǒng)在混沌態(tài)和各周期態(tài)之間的轉(zhuǎn)變，發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)磁通能使系統(tǒng)出現(xiàn)二周期到四周期再回到二周期的奇特分岔現(xiàn)象。該研究工作對(duì)利用憶阻器設(shè)計(jì)混沌電路并應(yīng)用于密碼通信具有積極的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：憶阻器 ?混沌電路 ?Lyapunov指數(shù)

中圖分類號(hào)：TN701 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）06（b）-0027-04

電阻器、電容器和電感器是電路中最基本的兩端無(wú)源電子元件。1971年，美籍華裔科學(xué)家Leon Chua（蔡少棠）教授根據(jù)電路理論的完備性在理論上預(yù)言了第四種無(wú)源電子元件——憶阻器[1]。憶阻器的特征物理量憶阻定義為穿過(guò)元件的磁通與電荷量之比。這里的磁通不一定需要是外加磁場(chǎng)產(chǎn)生的，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，它可以是元件兩端電壓對(duì)時(shí)間的積分。而流經(jīng)憶阻器的電荷量是電流對(duì)時(shí)間的積分。因此，憶阻一般來(lái)說(shuō)是時(shí)間的函數(shù)，它的量綱與電阻相同。因此可以說(shuō)，憶阻器是具有記憶功能的電阻器。根據(jù)這一特點(diǎn)，人們期望發(fā)明具有實(shí)用價(jià)值的憶阻器，用于存儲(chǔ)信息。這樣它可以在電路斷電的情況下，記住當(dāng)前信息。因此憶阻器具有誘人的應(yīng)用前景。

然而直到2008年，惠普（HP）實(shí)驗(yàn)室的Strukov及其合作者才在實(shí)驗(yàn)上第一次用TiO2納米結(jié)構(gòu)制備出了真實(shí)的憶阻器元器件[2]。在此之后憶阻器的實(shí)驗(yàn)和理論研究得到了蓬勃的發(fā)展。實(shí)驗(yàn)上陸續(xù)報(bào)道了更多種類憶阻器的物理實(shí)現(xiàn)[3，4]。Ventra和Biolek等研究人員把憶阻器的理論拓展到了其他記憶元件，如憶容器和憶感器[5，6]。此外，國(guó)內(nèi)外涌現(xiàn)出大量各種基于憶阻器而設(shè)計(jì)的混沌電路的研究工作[7-12]。由于憶阻器的非線性特性，若把它用在電路中就很容易產(chǎn)生各種復(fù)雜而有趣的混沌信號(hào)。Itoh和Chua利用憶阻器代替蔡氏二極管設(shè)計(jì)了多種非線性振蕩器[7]。許碧榮用一個(gè)憶阻器、一個(gè)電感和一個(gè)電容構(gòu)建了一種特別簡(jiǎn)單的并聯(lián)混沌電路[8]。袁方等人用HP憶阻器模型設(shè)計(jì)了一個(gè)四階的混沌電路，并用等效電路實(shí)現(xiàn)了理論的計(jì)算結(jié)果[9]。王偉等人用3個(gè)憶阻器構(gòu)造了一個(gè)六階混沌電路，得到了復(fù)雜的雙混沌吸引子[10]。利用憶阻器設(shè)計(jì)的混沌電路在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算、保密通信方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

該文設(shè)計(jì)了一種含有磁控憶阻器的四階非線性電路。通過(guò)對(duì)電路滿足的微分方程的分析和數(shù)值計(jì)算，得到了豐富的相圖、分岔圖和其他混沌的動(dòng)力學(xué)特征，發(fā)現(xiàn)了非傳統(tǒng)的伏安特性曲線和奇特分岔現(xiàn)象。我們的研究對(duì)于利用憶阻器設(shè)計(jì)、產(chǎn)生和控制混沌電路系統(tǒng)具有積極的參考價(jià)值。

1 ?憶阻器模型和混沌電路

憶阻器可以分為磁控型和荷控型兩種。該文設(shè)計(jì)的憶阻器模型為磁控型，它的憶阻定義為：M=dφ/dq，其中φ和q分別表示通過(guò)憶阻器的磁通和電荷量。憶阻的倒數(shù)定義為憶導(dǎo)G=1/M。我們?cè)O(shè)計(jì)的憶阻器的憶導(dǎo)為：

其中，參數(shù)k1和k2為大于零的參數(shù)，它們依賴于憶阻器材料本身?？梢钥吹綉泴?dǎo)隨磁通大小是單調(diào)遞減的關(guān)系。磁通為零時(shí)，憶導(dǎo)最大（Gmax=k1+k2），憶阻最小。磁通很大時(shí)，憶導(dǎo)趨于最小值（Gmin=k1），憶阻達(dá)到最大值。不同于前人設(shè)計(jì)的憶導(dǎo)與磁通的n次方或開(kāi)方關(guān)系[8，9]，該文中的憶導(dǎo)、憶阻和磁通的這種非線性關(guān)系簡(jiǎn)單，沒(méi)有奇點(diǎn)，不發(fā)散，實(shí)驗(yàn)上易于實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)歐姆定律，憶阻器的電流-電壓關(guān)系可以表示為im=Gmv。再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可得電壓和磁通的關(guān)系：v=dφ/dq。若在憶阻器兩端施加交流電壓v=vmsin（2πft），取參數(shù)vm=5V，k1=0.1kΩ-1，k1=9.9kΩ-1，畫出伏安特性曲線（如圖1（a））。從中可以看到明顯的“8”字形回滯曲線，這正是實(shí)現(xiàn)混沌電路所需要的特征性質(zhì)。

我們?cè)O(shè)計(jì)的含有憶阻器的電路（如圖1（b））。根據(jù)基爾霍夫定律和電磁感應(yīng)定律，可以寫出非線性電路滿足的微分方程組如下：

其中，v1和v2分別為電容器1和2上的電壓;i為電感線圈上的電流，它們的正方向如圖1（b）中所示。φ為憶阻器上的磁通。參數(shù)C1，C2，L，R1和R2分別為對(duì)應(yīng)元件的電容、電感和電阻值。四分量變量X=（v1，v2，i，φ）構(gòu)建了一個(gè)四階的非線性電路。要讓電路產(chǎn)生周期或混沌信號(hào)，需要有源元件。我們假設(shè)電阻R1或R2是負(fù)的，根據(jù)蔡氏電路理論，負(fù)電阻可以利用等效電路來(lái)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。

令α=1/C1，β=1/C2，γ=1/L，C2=1/R2，方程組（2）（3）（4）（5）可簡(jiǎn)化為更簡(jiǎn)潔的形式。以后的計(jì)算中，我們?nèi)o(wú)量綱的參數(shù)，這為理論分析和數(shù)值計(jì)算提供方便。取α=3，β=1，C2=-1，k1=0.1，k2=9.9，初始狀態(tài)X0=（v10，v20，i0，φ0）=（1，0，0，0），采用四階Runge-Kutta方法對(duì)方程組（2）（3）（4）（5）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可以得到一個(gè)混沌吸引子。圖2展示了它在相空間的形態(tài)，演化時(shí)間區(qū)間是[500，800]。圖2（a）和（b）是混沌的二維投影圖，圖2（c）是三維空間的立體圖，它呈卷曲的帶狀，可以看到這個(gè)混沌有上下界，不會(huì)趨向穩(wěn)定點(diǎn)，也不發(fā)散，它是一個(gè)穩(wěn)定的混沌吸引子。圖2（d）做出了憶阻器在混沌電路中的伏安特性曲線，這個(gè)回滯曲線的軌跡在特定空間處劇烈變化，它不是簡(jiǎn)單光滑的“8”字形，這與前人所得結(jié)果顯著不同。

若作電壓或電流的時(shí)域波形圖，可以看到電流和電壓貌似周期的振蕩行為，這是一種偽隨機(jī)信號(hào)，進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。根據(jù)Jacobi方法，計(jì)算得到系統(tǒng)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)LE=（0.0732，0.0023，-0.0050，-9.8793）?？梢钥吹阶畲驦E指數(shù)為正值，中間兩個(gè)指數(shù)近乎為零，第4個(gè)LE指數(shù)是絕對(duì)值較大的負(fù)值，且4個(gè)指數(shù)之和小于零，這證明了系統(tǒng)是混沌吸引子。

2 ?混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析

令dX/dt=0，由方程組（2）（3）（4）（5）可得到系統(tǒng)的平衡態(tài)解Xs=（0，0，0，φc），其中磁通φc是任意常數(shù)。所以系統(tǒng)的平衡態(tài)在四維空間不是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，而是一條直線。把方程組（2）在平衡態(tài)附近線性化，得到Jacobi矩陣。

在取之前的參數(shù)值和初始狀態(tài)下，式（7）中系數(shù)α1=43.2，α2=-17.58，α3=29.18，△2=-556.184系統(tǒng)同時(shí)滿足不穩(wěn)定性和耗散條件。計(jì)算Jacobi矩陣對(duì)應(yīng)的四個(gè)特征值分別為λ=0.3191±1.606i，0，-29.8182其中有一對(duì)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)根，根據(jù)微分動(dòng)力系統(tǒng)理論，該平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

調(diào)節(jié)電容器1的電容，即改變參數(shù)α可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在混沌態(tài)和周期態(tài)之間的轉(zhuǎn)變。設(shè)其他參數(shù)和初始狀態(tài)與前文一樣。圖3展示了α取不同值的時(shí)候，電流i和電壓v1構(gòu)成的相圖，通過(guò)數(shù)閉合的極限環(huán)繞零點(diǎn)的圈數(shù)，可得系統(tǒng)分別出現(xiàn)單周期態(tài)、雙周期態(tài)和四周期態(tài)。計(jì)算可得這3個(gè)周期態(tài)的最大Lyapunov指數(shù)都為零。圖3（d）中i-v1相軌跡沒(méi)有形成閉合曲線，計(jì)算得它的最大Lyapunov指數(shù)為0.0815，但總的指數(shù)和小于零，因此這是混沌態(tài)。調(diào)節(jié)其他電容器、電感或電阻等參數(shù)，電路系統(tǒng)也能實(shí)現(xiàn)周期態(tài)和混沌態(tài)的轉(zhuǎn)變。

系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)的變化關(guān)系可以很直觀地表現(xiàn)在分岔圖上。設(shè)其他參數(shù)和初始條件不變，圖4（a）是變化參數(shù)α得到的分岔圖，其中縱軸是電壓v1的局部最大值。數(shù)據(jù)采集的時(shí)間區(qū)間是[800，900]。當(dāng)電容較小，即參數(shù)α較大（α>4.19）時(shí)，v1大于零的局域最大值v1max有2個(gè)，系統(tǒng)處在單周期態(tài)。隨著電容變大，參數(shù)α變小，系統(tǒng)通過(guò)分岔方式依次進(jìn)入雙周期態(tài)（4.19<α<3.92）、四周期態(tài)（3.92<α<

3.853）、八周期態(tài)等，最終進(jìn)入混沌態(tài)。而且在混沌態(tài)之間還存在大小不一的周期窗口，例如區(qū)間1.805<α<2.188和3.178<α<3.245為單周期窗口。整個(gè)分岔圖顯示了混沌的普遍的分形特點(diǎn)，但單周期態(tài)有多個(gè)局域最大值則是本文中混沌的新型特征。

圖4（b）是變化參數(shù)α得到的相應(yīng)Lyapunov指數(shù)譜。圖中按大小順序只畫出了3個(gè)指數(shù)LE1、LE2和LE3，第四個(gè)負(fù)的指數(shù)LE4由于太小沒(méi)有在圖中顯示?？梢钥吹?，指數(shù)譜隨參數(shù)α變化的特征與分岔圖是一致對(duì)應(yīng)的。最大指數(shù)LE1大于零時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處在混沌態(tài)，最大指數(shù)LE1等于零時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處在周期態(tài)，無(wú)Lyapunov指數(shù)譜（α<0.86）時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處在發(fā)散態(tài)。

憶阻器構(gòu)成的混沌電路的另一個(gè)重要特點(diǎn)是系統(tǒng)的狀態(tài)敏感地依賴于憶阻器的初始狀態(tài)。圖5展示了其他參數(shù)同圖2中的取值，初始磁通φ變化時(shí)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜。圖5（a）顯示當(dāng)0.926<φ<0.993時(shí)系統(tǒng)總體是處在混沌區(qū)間的，當(dāng)然其中也有很小的區(qū)間是周期窗口。當(dāng)φ增大，系統(tǒng)進(jìn)入周期態(tài)，φ=0.996和φ=1.006分別對(duì)應(yīng)四周期態(tài)和二周期態(tài)。當(dāng)φ繼續(xù)增大到大約[1，0.1，1.03]在區(qū)間內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)并沒(méi)有直接進(jìn)入單周期態(tài)，反而重新分岔為四周期態(tài)。這與傳統(tǒng)的分岔過(guò)程不同，這是該文的一個(gè)新穎結(jié)果。隨著磁通φ的繼續(xù)增加，系統(tǒng)再回到雙周期態(tài)、單周期態(tài)，最終進(jìn)入平庸的穩(wěn)定狀態(tài)。圖5（b）中的Lyapunov指數(shù)譜中指數(shù)大小和變化行為也印證了分岔圖的結(jié)果。

3 ?結(jié)語(yǔ)

該文設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的憶阻器模型并基于它構(gòu)造了一個(gè)混沌電路，通過(guò)選取合適的參數(shù)和初始條件，得到了帶狀混沌吸引子和多極值的周期態(tài)相圖。根據(jù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜進(jìn)一步分析了混沌電路的動(dòng)力學(xué)行為特征，發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)電容參數(shù)或憶阻器的初始狀態(tài)等可以使系統(tǒng)處在不同的狀態(tài)，并且調(diào)節(jié)磁通使系統(tǒng)的分岔出現(xiàn)了二周期到四周期再回到二周期的奇特現(xiàn)象。我們的研究對(duì)于利用憶阻器設(shè)計(jì)混沌電路并應(yīng)用于密碼通訊具有積極的參考價(jià)值。

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