對(duì)稱α穩(wěn)態(tài)過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程數(shù)值分析

胡軍浩，高帥斌，劉暐

(1中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074；2 上海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200234)

1 相關(guān)知識(shí)

本文研究了一類對(duì)稱α穩(wěn)態(tài)過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的數(shù)值解問題，方程形式為：

dx(t)=f(x(t))dt+g(x(t))dB(t)+dL(t),

0≤t≤T,

(1)

初值為x(0)=x0,f:Rn→Rn,g:Rn→Rn×m都是可測(cè)函數(shù)，L(t)是對(duì)稱α穩(wěn)態(tài)過程,α∈[1,2).

當(dāng)方程(1)的系數(shù)滿足全局Lipschitz條件時(shí)，文獻(xiàn)[1]討論了Euler-Maruyama算法. 當(dāng)α穩(wěn)態(tài)過程L(t)是截?cái)嗟那移祈?xiàng)系數(shù)H?lder連續(xù)時(shí)，文獻(xiàn)[2]研究了Euler-Maruyama算法. 文獻(xiàn)[3]將方程(1)推廣至隨機(jī)泛函方程. 現(xiàn)有文獻(xiàn)考慮方程(1)時(shí)，漂移項(xiàng)都不是超線性增長(zhǎng)的. 但是，隨機(jī)模型中系數(shù)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)超線性，為了填補(bǔ)該空白，本文主要研究這類隨機(jī)微分方程的數(shù)值逼近問題.

文獻(xiàn)[4]指出，當(dāng)隨機(jī)微分方程系數(shù)是超線性時(shí)，Euler-Maruyama算法無法收斂. 因此，本文采用半隱式Euler-Maruyama算法. 當(dāng)L(t)不存在時(shí)，方程(1)的半隱式Euler-Maruyama算法已經(jīng)被廣泛研究[5]. 本文的主要不同點(diǎn)和困難是由驅(qū)動(dòng)過程L(t)引起的，它是B(t)的推廣，其矩依賴于α. 更準(zhǔn)確地說，對(duì)于任意的ξ∈[1,α)，

(2)

見文獻(xiàn)[6]性質(zhì)1.2.17.

2 基本引理

設(shè)(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個(gè)完備的概率空間，其濾波{Ft}t≥0滿足通常條件(即它是單調(diào)遞增和右連續(xù)的，并且F0包含所有空集). 設(shè)B(t)=(B1(t),…,Bm(t))T是概率空間上的m維Brown運(yùn)動(dòng).

采用如下定義描述α穩(wěn)態(tài)過程[6]. 若隨機(jī)過程L={L(t)}0≤t≤T滿足：

(a)L(0)=0，a. s.；

(b) 對(duì)于任何n∈N和0≤t1

(c) 對(duì)于任何0≤s

關(guān)于方程(1)的系數(shù)給出下列假設(shè):

(A1) 存在常數(shù)K1>0，使得：

?x∈Rn,q≥2.

(3)

(A2) 存在常數(shù)K2>0和γ>0，使得：

|f(x)-f(y)|2≤K2(1+|x|γ+|y|γ)|x-y|2.

(4)

|g(x)-g(y)|2≤K2|x-y|2,?x,y∈Rn.

(5)

(A3) 存在常數(shù)K3>0，使得：

(x-y)T(f(x)-f(y))≤K3|x-y|2,?x,y∈Rn.

(6)

對(duì)于給定的步長(zhǎng)Δ∈(0,1)和時(shí)間T，定義N=T/Δ. 方程(1)的半隱式Euler-Maruyama算法定義如下：

yi+1=yi+f(yi+1)Δ+g(yi)ΔBi+ΔLi,

i=0,1,2,…,N,

(7)

初值為y(0)=x0，其中ΔBi=B(ti+1)-B(ti)，ΔLi=L(ti+1)-L(ti). 由此,yi是x(iΔ)的近似值.

其分段連續(xù)數(shù)值解為：

y(t)=yi,t∈[iΔ,(i+1)Δ),i=0,1,2,…,N.

(8)

下面兩個(gè)引理起著關(guān)鍵的作用.

引理1假設(shè)(A1)成立，則對(duì)于任意的t∈[0,T]，方程(1)的解滿足：

E|x(t)|q≤C.

(9)

證明由It公式和(3)式可知，對(duì)于任意的t∈[0,T]，有：

E|x(t)|q≤

然后應(yīng)用Gronwall不等式可得(9)式.

引理2假設(shè)(A2)成立，則對(duì)于任意的1

(10)

證明對(duì)于任意的0≤s

由H?lder不等式，BDG不等式和(2)式可得：

3 主要結(jié)論

(11)

證明由(1)式和(8)式可得：

因此:

在等式兩邊取平方可得：

|x(ti+1)-yi+1|2=A1+A2.

其中:

A2=(x(ti+1)-yi+1)T((x(ti)-yi)+

為了估計(jì)A1，把A1拆分成兩部分：

(x(ti+1)-yi+1)T(f(x(s))-f(yi+1))=

(x(ti+1)-yi+1)T(f(x(ti+1))-f(yi+1))+

(x(ti+1)-yi+1)T(f(x(s))-f(x(ti+1)))=:A11+A12.

由(6)式可得：

A11≤K3|x(ti+1)-yi+1|2.

由(4)式可得：

因此:

|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)|x(s)-x(ti+1)|2]ds.

(12)

對(duì)于任意的ε>0，有：

(1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)|x(s)-x(ti+1)|2-α+ε≤

C(1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)(|x(s)|2-α+ε+

|x(ti+1)|2-α+ε)≤C(1+|x(s)|2+γ+

|x(ti+1)|2+γ).

E((1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)|x(s)-x(ti+1)|2)=

E[((1+|x(s)|γ+|x(ti+1)|γ)·

|x(s)-x(ti+1)|2-α+ε)|x(s)-x(ti+1)|α-ε]≤

CE[(1+|x(s)|2+γ+|x(ti+1)|2+γ)·

|x(s)-x(ti+1)|α-ε]≤

故由(12)式可知：

(13)

下面估計(jì)A2，

令:

由(5)式可得：

|g(x(s))-g(yi)|2≤2|g(x(s))-

g(x(ti))|2+2|g(x(ti))-g(yi)|2≤

2K2(|x(s)-x(ti)|2+|x(ti)-yi|2).

E|x(s)-x(ti)|2=

E(|x(s)-x(ti)|2-α+ε|x(s)-x(ti)|α-ε)≤

(14)

因此:

(15)

由(13)式和(15)式可得：

E|x(ti+1)-yi+1|2≤E(A1)+E(A2)≤

移項(xiàng)可得：

E|x(ti+1)-yi+1|2≤

因此：

利用iΔ=ti≤eCti可得：

E|x(ti)-yi|2≤

根據(jù)離散型Gronwall不等式可得：

(16)

因此，對(duì)于t∈[iΔ,(i+1)Δ)，i=0,1,2,…,由(8)式、(14)式和(16)式可得：

E|x(t)-y(t)|2≤

證畢.

4 實(shí)例

考慮下列隨機(jī)微分方程：

dx(t)=(x(t)-x3(t))dt+2x(t)dB(t)+dL(t),

(17)

初值為x(0)=x0∈R1.

顯然對(duì)于任意的q≥2，(A1)成立，即：

另外，由不等式|x|2|y|2≤|x|4+|y|4,?x,y∈Rn可得：

|(x-x3)-(y-y3)|2≤8|x-y|2(1+|x|4+|y|4)和|2x-xy|2≤8|x-y|2,

即(A2)成立.

最后，由(x-y)((x-x3)-(y-y3))≤|x-y|2可知(A3)也成立.