高考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)文化研究

李懷軍 楊新光 朱亞麗

[摘要]數(shù)學(xué)文化融入高考試題是提升和評價學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要抓手，拓寬高考試題中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容領(lǐng)域、類型。提升數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平是試題命制與教學(xué)改革的突破口。統(tǒng)計分析2019年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷中的數(shù)學(xué)文化試題發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)文化各類型試題的數(shù)量極少，且內(nèi)容領(lǐng)域分布不均衡。以概率與統(tǒng)計領(lǐng)域最多;數(shù)學(xué)文化類型分布不均衡，偏重于數(shù)學(xué)與生活;數(shù)學(xué)史的運(yùn)用居于中、低水平，其它數(shù)學(xué)文化類型以中、高水平為主。增加數(shù)學(xué)文化試題數(shù)量與兼顧內(nèi)容領(lǐng)域分布的均衡性。深挖概率與統(tǒng)計的文化價值，呈現(xiàn)更多樣化的文化類型。采用內(nèi)在而自然的運(yùn)用水平應(yīng)為未來數(shù)學(xué)文化命題與教學(xué)改革所關(guān)注。

[關(guān)鍵詞]新課標(biāo)全國卷;數(shù)學(xué)文化;運(yùn)用水平;類型;概率統(tǒng)計

基于數(shù)學(xué)文化的視角研究高考數(shù)學(xué)試題，是改進(jìn)高中數(shù)學(xué)命題與教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要抓手?！皵?shù)學(xué)除了知識技能及應(yīng)用以外。更重要的是它本身就是一種文化。從文化的高度來建設(shè)數(shù)學(xué)課程，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。數(shù)學(xué)文化所具有的提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價值，已引發(fā)研究者對高考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)文化產(chǎn)生了廣泛的關(guān)注。突出表現(xiàn)在命題特征及對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示研究，成為高考數(shù)學(xué)文化試題研究的兩條主線，這必然會在新課程改革實施與新教材使用的元年——2019年的高考數(shù)學(xué)試題中有所體現(xiàn)。為此，圍繞高考數(shù)學(xué)“在什么地方滲透數(shù)學(xué)文化”“滲透了哪些數(shù)學(xué)文化”“又是如何滲透的”等問題，對作為改革風(fēng)向標(biāo)的高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷進(jìn)行深入剖析，以期為我國數(shù)學(xué)課程改革，尤其是數(shù)學(xué)試題命制和教學(xué)資源的開發(fā)與利用提供借鑒。

1 分析框架

首先，以教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）和《2019年全國卷高考數(shù)學(xué)考試大綱》（以下簡稱《考綱》）為指導(dǎo)，將高考數(shù)學(xué)內(nèi)容分為“集合與常用邏輯用語”“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”“幾何與代數(shù)”“算法與框圖”“概率與統(tǒng)計”五個內(nèi)容領(lǐng)域。其中，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域包含函數(shù)的概念與性質(zhì)、基本初等函數(shù)、函數(shù)應(yīng)用、數(shù)列、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：“幾何與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域包含平面解析幾何、立體幾何、平面向量及其應(yīng)用、空間向量與復(fù)數(shù)：“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領(lǐng)域包含計數(shù)原理、概率、統(tǒng)計。

其次，基于已有研究，借鑒王建磐、唐恒鈞、史嘉等建立的研究框架。從數(shù)學(xué)文化的顯性角度對高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)文化的類型與運(yùn)用水平進(jìn)行統(tǒng)計分析。對于前者，將數(shù)學(xué)文化的類型分為如下六個子類：數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文社會、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育。對于后者，將數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平由低到高劃分為點綴式、復(fù)制式、順應(yīng)式、內(nèi)隱式和重構(gòu)式五個層級，又將數(shù)學(xué)史之外其它類型數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平確定為外在型、可分離型和不可分離型三個水平。

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

2019年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷（簡稱全國卷）包含I、Ⅱ、Ⅲ卷，每卷又分文、理兩科，因而共包含6套試題，剔除每一套試題中未涉及數(shù)學(xué)文化的選考題型，只對前20題共計120道必考題進(jìn)行統(tǒng)計。高考數(shù)學(xué)全國卷是教育部考試中心組織命制的適用于全國大部分省區(qū)的高考試卷，具有三個鮮明的命題特征：考查內(nèi)容彰顯新課程理念;根據(jù)新課程的特征，分必考題與選考題：命題以考綱為依據(jù)，以課本教材為依托?？疾鞂W(xué)生綜合能力。

2.2 數(shù)據(jù)收集與整理

數(shù)據(jù)的收集與整理按照如下操作標(biāo)準(zhǔn)實施：一道試題只對應(yīng)一種數(shù)學(xué)文化類型。若試題中出現(xiàn)多種類型的數(shù)學(xué)文化時，只計該題所側(cè)重的類型。比如，全國I卷文、理科第4題不僅以古希臘的黃金分割為數(shù)學(xué)史料，還因論及“人體器官之間的比例”而關(guān)涉數(shù)學(xué)與生活。不過，該題由于側(cè)重于黃金分割，因而被視作“數(shù)學(xué)史”類試題。

2.3 一致性檢驗

兩名研究者分別按照數(shù)學(xué)史以及其它類型數(shù)學(xué)文化的運(yùn)用水平及其說明，對全國卷文、理兩科共120道數(shù)學(xué)試題進(jìn)行獨立評分由此得到兩組分?jǐn)?shù)值的Pearson積差相關(guān)系數(shù)r=0.902（P<0.05）。對于不一致的地方，兩名研究者共同討論，最終達(dá)成一致認(rèn)識。

3 研究結(jié)果與討論

根據(jù)所用分析框架，對2019年高考數(shù)學(xué)全國卷120道試題進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到試題中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容領(lǐng)域分布與運(yùn)用水平狀況，如表1所示。由于試題不含“數(shù)學(xué)游戲”類文化，因此之后的結(jié)果不再呈現(xiàn)。

3.1數(shù)學(xué)文化的領(lǐng)域分布

由表l可知。2019年高考數(shù)學(xué)全國卷中的數(shù)學(xué)文化試題總數(shù)極少，僅有24道題，占全部120道試題的0.2%。其中，數(shù)量分布最多的是“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領(lǐng)域，為17道試題，占比0.1417%，平均每套試題包含近3道：其次是“幾何與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域。但試題總數(shù)僅為5道，占比0.0417%：再次是“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”和“集合與常用邏輯用語”內(nèi)容領(lǐng)域，均為1道試題，占比0.0083%：不含數(shù)學(xué)文化試題的是“算法與框圖”內(nèi)容領(lǐng)域。進(jìn)一步分析各類數(shù)學(xué)文化在“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領(lǐng)域的數(shù)量分布如圖1所示。

可知，“數(shù)學(xué)與生活”類文化試題數(shù)量最多。為6道;其次是“數(shù)學(xué)與科技”類文化試題，數(shù)量為5道;再次是“數(shù)學(xué)與人文社會”和“數(shù)學(xué)與藝術(shù)體育”類文化試題，數(shù)量均為2道：最后是“數(shù)學(xué)史”類文化試題，僅有1道。

由此可知，2019年高考數(shù)學(xué)全國卷中的數(shù)學(xué)文化試題總量極少與“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容領(lǐng)域包含的數(shù)學(xué)文化試題數(shù)量相對較多之間存在明顯的不一致，甚至是截然相反。究其原因，一方面是數(shù)學(xué)文化融入高考試題的呼聲甚高。但理論和實踐的研究并沒有同步跟進(jìn)。另一方面，由于概率為人們從不確定性的角度認(rèn)識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法，統(tǒng)計又可幫助學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集、整理和表示的方法，感悟在實際生活中進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性。體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異。所以，“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容知識與數(shù)學(xué)文化，尤其是與“數(shù)學(xué)與生活”、“數(shù)學(xué)與科技”等文化類型之間存在的天生聯(lián)系，為數(shù)學(xué)文化融入高考試題提供了相對容易的切入點，加上其蘊(yùn)含的統(tǒng)計思維與歸納推斷能力是21世紀(jì)公民必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因而成為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革深化的一個重要領(lǐng)域。這自然會體現(xiàn)在以考查內(nèi)容彰顯新課程理念為典型特征的全國卷試題命制改革中。