讓思維可見　促思維成長

摘要：聚焦學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的發(fā)生、發(fā)展與表達(dá)過程，結(jié)合具體的教學(xué)實踐，闡述了在數(shù)學(xué)課堂中讓學(xué)生思維可見的著眼點以及教學(xué)路徑和方法，并有效利用學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程中的生成性資源，探尋學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展點，促進(jìn)學(xué)生的思維向更高層次生長。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;思維起點;思維過程;思維成長

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）12A-0069-04

所謂“讓思維可見”，是指教師通過一定的教學(xué)路徑和方法，參與到學(xué)生思維的發(fā)生、發(fā)展與表達(dá)過程中來，讓學(xué)生的內(nèi)隱性思維外顯。借助可以“看得見”的數(shù)學(xué)思維，教師可以深入了解學(xué)生的思維脈絡(luò)，能夠循著學(xué)生的思維軌跡開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、明晰讓思維可見的著眼點

1.思維的起點可見

思維的起點，簡單地說，就是指學(xué)習(xí)和認(rèn)知新的知識時已有的相關(guān)知識與能力[1]，即本來的、最初的、原始的思維狀態(tài)。學(xué)生是帶著各自獨(dú)立的前認(rèn)知背景投入新知學(xué)習(xí)的，正如教育心理學(xué)家奧蘇泊爾所說，“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！倍磐凇段覀?nèi)绾嗡季S》一書中指出：“思維的緣由是遇到了某種困惑或懷疑（總是要有某樣具體事物來引發(fā)和激起思維）?！盵2]郅庭瑾的《為思維而教》中談道，“思維始于問題”[3]。面對新的問題情境，學(xué)生的原始思維是怎樣的呢？讓學(xué)生思維的起點可見，這樣教師才能順應(yīng)學(xué)生的思維漸進(jìn)引導(dǎo)，讓學(xué)生在原有思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生新的、更準(zhǔn)確的思維路徑。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“用數(shù)對確定位置”一課，學(xué)生學(xué)習(xí)本課之前，在日常生活中或多或少積累了一些描述物體所在位置的經(jīng)驗。為了調(diào)動學(xué)生的原有經(jīng)驗，教師創(chuàng)設(shè)了“找找我的好朋友”游戲情境，并提出數(shù)學(xué)問題：你能用自己想到的方式把最好的一個朋友在這間教室的位置寫下來嗎？學(xué)生用多種多樣的表述方法寫出了好朋友在教室中的位置，教師將學(xué)生的幾種典型原始思維一一呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在猜謎的過程中發(fā)現(xiàn)：光憑一個方位詞不能準(zhǔn)確判斷出好朋友的位置;沒有說清數(shù)的方向，就會有不同的可能;觀察的角度不同也會帶來爭議。那么確定位置到底蘊(yùn)藏著怎樣的學(xué)問？為了統(tǒng)一表達(dá)方式，避免爭議，又有哪些人為的規(guī)定呢？這一困惑立刻激起學(xué)生新的思維，引發(fā)學(xué)生用一致的標(biāo)準(zhǔn)表示位置的需要，于是學(xué)習(xí)新知識的興趣和動力自然發(fā)生。

2.思維的過程可見

思維包括分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷和推理等基本的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生應(yīng)該學(xué)到什么，還要重視他們是怎樣學(xué)到的[4]，即要展現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程，培養(yǎng)一種關(guān)注事物發(fā)展和變化過程的思維習(xí)慣。成尚榮先生在《教學(xué)律令》一書中指出，“教師不僅要看得見學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)方式，而且要看得見學(xué)生的思維方式、思維過程”[5]，而“‘看得見，就是要讓兒童的學(xué)習(xí)過程，包括思維過程暴露出來”[6]。

仍以“用數(shù)對確定位置”一課為例。數(shù)對其實是一種約定俗成的數(shù)學(xué)符號，我們當(dāng)然可以采取簡單告訴或讓學(xué)生用自學(xué)的方式了解“教室中小軍的位置是‘第4列第3行，用數(shù)對表示是（4，3）”，但這樣的話，學(xué)生就很難體會到數(shù)學(xué)符號發(fā)展的過程。對于數(shù)學(xué)規(guī)定，我們不應(yīng)只看到它的歷史規(guī)定性，更應(yīng)看到其源頭閃爍著人類的自由思維[7]。那么第4列第3行更簡潔的寫法是怎樣的呢？學(xué)生經(jīng)過自主思考、小組交流，陸續(xù)得出以下8種簡潔的寫法：①4列3行 ②4—3③4，3 ④4 ：3 ⑤4L3H ⑥4↑3→ ⑦4 ;3 ⑧列4 行3。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生參與創(chuàng)造符號的過程，呈現(xiàn)了寶貴的過程性思維。在經(jīng)歷了個性化地用符號表示到篩選統(tǒng)一的思維過程，學(xué)生等于走了一遍數(shù)學(xué)家研究的道路，他們的認(rèn)知會得到升華，形成良好的學(xué)科感受。

3.思維的成長可見

關(guān)注學(xué)生思維的起點和思維的過程，最終目的是看得見學(xué)生思維的成長。筆者認(rèn)為思維的成長就是在解決問題及形成和掌握概念的過程中，學(xué)生思維的變化和提升。正如哈佛大學(xué)教授愛莉諾·達(dá)克沃斯的觀點：“教學(xué)，不是教知識，而是讓學(xué)生建構(gòu)觀念，誕生精彩的觀念”[8]?？梢哉f，精彩觀念誕生的過程就是思維成長的過程。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“怎樣圍長方形面積最大”一課，第一個問題情境是農(nóng)民伯伯王大叔面臨的困惑：用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？理解題意后，教師先請學(xué)生獨(dú)立思考，將自己的想法寫在學(xué)習(xí)單上。教師留心觀察學(xué)生的完成情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生呈現(xiàn)出了多個層次、不同水平、異常豐富的思維過程：有用畫木條的方式來思考的簡單直觀型思維;有直接將22拆分成兩個數(shù)相乘的概念不清型思維;有只想到一兩種圍法的片面型思維;也有能一一列舉、有序思考，甚至直指規(guī)律的高水平思維。如小孫同學(xué)一開始列了幾組算式，后來又列表進(jìn)行了梳理，學(xué)習(xí)單上有明顯的修改痕跡。她說道：“我先用22除以2，算出一條長和一條寬的和是11，然后我想了一下，5加6等于11，4加7也等于11，而5乘6得30平方米的面積更大一些。但是我感覺這樣算有點混亂，于是我想到用列表的方法，先按照順序把所有的可能性都列出來，接著通過比較就能發(fā)現(xiàn)當(dāng)長是6米、寬是5米時面積最大，這樣就更加清晰了?！毙O剛說完，同學(xué)們紛紛鼓起掌來。瞧，學(xué)生依靠自己在經(jīng)驗中的摸索、體悟和積累，思維在成長，而通過生生、師生間進(jìn)一步的對話交流，那些起初思維不夠清晰的學(xué)生能夠體會到什么方法對解決這一題是有效的，有序思考、一一列舉的策略有怎樣的價值，從而逐漸掌握應(yīng)該怎樣，優(yōu)化自己的思維方式。

二、讓思維可見的有效策略

要透過大腦這一“黑匣子”，讓學(xué)生的思維可見，我們就需要充分激活學(xué)生的多重感官，參與思維的發(fā)生、發(fā)展與表達(dá)的過程中來，讓思維物化地留下痕跡。

1.說出來，借助語言讓思維可見

語言是思維的外殼，是思維最本質(zhì)的工具。以問題引領(lǐng)學(xué)生獨(dú)立思考，當(dāng)其在對話的過程中引導(dǎo)學(xué)生將自己的想法說出來，這樣既給了學(xué)生展現(xiàn)思維的機(jī)會，也給了教師了解學(xué)生思維水平、方向和動態(tài)的機(jī)會。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“釘子板上的多邊形”，這節(jié)課要引領(lǐng)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家皮克的探究足跡，感悟“有史以來最重要的100個數(shù)學(xué)定理之一”——皮克定理（即釘子板上多邊形的面積和釘子數(shù)之間的關(guān)系）。課前學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)單已經(jīng)進(jìn)行了初步的研究，因為學(xué)習(xí)單上提供的四個多邊形內(nèi)部釘子數(shù)只有1個，所以學(xué)生主要關(guān)注的是多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。經(jīng)過小組交流、全班匯報，上課不到十分鐘，學(xué)生就概括出了規(guī)律：多邊形的面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半。教師適時拋出了問題：“看來咱們已經(jīng)得出規(guī)律了，皮克定理挺簡單的嘛！你有什么想法？”短暫的靜默后，學(xué)生陸續(xù)舉起手來，一位學(xué)生說：“僅憑這四個釘子板上的平面圖形就能夠證明所有釘子板上的平面圖形都符合這個規(guī)律嗎？”還有學(xué)生提出：如果這么容易得出來的話，那皮克定理怎么能稱得上是“有史以來最重要的100個數(shù)學(xué)定理之一”呢？于是，這些精彩的發(fā)言引發(fā)了新一輪的驗證、探究活動，也將大家的思維進(jìn)一步引向深入。

2.畫出來，借助表象讓思維可見

表象是感知到思維過渡的重要環(huán)節(jié)和橋梁。借助畫圖表征抽象的思維，讓內(nèi)隱的思維活動外顯，不僅是簡單易行的方法，也為教師更好地“觀察”學(xué)生的思維提供了有力支撐。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”時，由于學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了不少關(guān)于小數(shù)的感性經(jīng)驗，所以教師直接引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖表示出對一位小數(shù)0.1意義的理解，并提出畫圖要求：“現(xiàn)在規(guī)定一張正方形紙用數(shù)‘1表示，那么0.1有多大呢？請在這張正方形紙上畫出來?！睂W(xué)生們呈現(xiàn)出了不同的表征方式：有的學(xué)生憑感覺在正方形紙上分出了大概的一小塊;有的學(xué)生將正方形平均分成了4份，涂色表示出了其中的1份（顯然，這一塊太大了）;更多的學(xué)生將正方形紙平均分成10份（分法略不同），其中1份的大小就是0.1。透過小小的示意圖，教師可以“看到”學(xué)生對0.1的初步理解。畫出來，使頭腦中的表象得以視覺化，不僅折射出學(xué)生不同的思維水平，而且為教師了解學(xué)生的思維現(xiàn)狀，進(jìn)而做出有針對性的引導(dǎo)提供了有力的支撐。

3.做出來，借助操作讓思維可見

現(xiàn)代教學(xué)論主張：要讓學(xué)生動手做數(shù)學(xué)。動手操作與實踐，可以幫助學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，展現(xiàn)其內(nèi)部的思維過程，使教師有機(jī)會探尋學(xué)生的思維軌跡，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展路徑。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“多邊形的內(nèi)角和”一課重在讓學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。依托學(xué)生的認(rèn)知起點“三角形的內(nèi)角和”，他們首先體會到探索多邊形內(nèi)角和的規(guī)律應(yīng)從四邊形入手比較好。那么怎樣求四邊形的內(nèi)角和呢？教師引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作進(jìn)行研究。多數(shù)學(xué)生能借鑒三角形求內(nèi)角和的經(jīng)驗，用測量法（量出每個角的度數(shù)，再相加）和撕拼法（撕下四個角，拼在一起形成一個周角）求出四邊形的內(nèi)角和是360度。還有的學(xué)生能從特殊聯(lián)想到一般，即由長方形和正方形的內(nèi)角和是360度推想到所有四邊形的內(nèi)角和都是360度。更有學(xué)生找到四邊形和三角形內(nèi)角和之間的聯(lián)系，把四邊形沿對角線分成兩個三角形，就把四邊形的內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化成求兩個三角形內(nèi)角和的問題了。這種方法不僅有所創(chuàng)新，更是抓住了探索多邊形內(nèi)角和規(guī)律的主旨。不同的做法，折射出的恰是學(xué)生不同的思維路徑和水平，教師可以組織學(xué)生將幾種做法進(jìn)行對比，在交流、比較中尋求較好的方法，在相互借鑒、分享、學(xué)習(xí)的過程中，提升自己的認(rèn)知和思維水平。

三、有效應(yīng)對學(xué)生思維過程中的問題

在思維可見的數(shù)學(xué)課堂中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生呈現(xiàn)的思維有時是獨(dú)特的、令人印象深刻的、閃閃發(fā)光的;有時卻是不成熟的、充滿困惑的，甚至錯誤的。而且越是在充分尊重學(xué)生思維的課堂上，思維過程中的問題越是頻繁出現(xiàn)，常常令教師措手不及、勉強(qiáng)應(yīng)對。其實這些思維中的偏差往往蘊(yùn)藏著閃光點，是非常寶貴的課堂生成性資源。我們應(yīng)當(dāng)有效利用這些有價值的生成性資源，把學(xué)生思維過程中的問題轉(zhuǎn)化成新的教學(xué)契機(jī)，使之成為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的生長點。

1.在思維模糊處，耐心傾聽

思維模糊是指思維主體在思維的過程中，對基本的概念、規(guī)律或知識的本質(zhì)沒有準(zhǔn)確掌握，造成思維不清晰，思考不透徹。例如：在計算-3×4=（ ）時，班里幾乎所有學(xué)生的答案都是-12，唯獨(dú)一個學(xué)生的得數(shù)是9，引起全班同學(xué)的哄堂大笑。在教師的鼓勵下，這個學(xué)生大膽地闡述了自己的想法，他是根據(jù)數(shù)軸思考的（如圖1）：-3×4就是4個-3，-3“翻四個跟頭”不就到9了嗎？

案例中的學(xué)生能夠想到用數(shù)軸來理解算理，展現(xiàn)了優(yōu)越的直觀性思維。教師首先應(yīng)肯定他借助數(shù)軸理解算理的方法是可取的，然后繼續(xù)追問：“現(xiàn)在我們就用數(shù)軸來思考，大家覺得這位同學(xué)的想法對嗎？”從而引導(dǎo)學(xué)生明晰負(fù)數(shù)的本質(zhì)：負(fù)數(shù)是比0小的數(shù)，在數(shù)軸上，負(fù)數(shù)應(yīng)該在0的左邊。-3×4就是4個-3，-3的確要“翻四個跟頭”，但不能從-3起往右翻，而應(yīng)該從0起往左翻，計算的結(jié)果自然是-12了。這樣，學(xué)生的思維就能從模糊逐步走向清晰。

當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維模糊的時候，教師不要著急，更不要武斷地把結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是應(yīng)該耐心傾聽學(xué)生的思路，讓學(xué)生的思維可見，而后循著學(xué)生的思路進(jìn)行分析、討論、交流，讓學(xué)生自己找到問題所在。

2.在思維沖突處，巧用爭論

思維沖突是指雙方對同一事物有不同看法、不同理解和不同態(tài)度，在認(rèn)知上出現(xiàn)了矛盾，甚至出現(xiàn)了對立。這種沖突主要體現(xiàn)在課堂的交流互動中，教師要善于利用學(xué)生的思維沖突，把它用作調(diào)動學(xué)生積極思維的催化劑。

例如，“認(rèn)識平行四邊形”一課，怎樣證明平行四邊形的對角相等，引發(fā)了兩個學(xué)生的爭議。女孩認(rèn)為只要把平行四邊形的兩個對角剪下來拼在一起，兩角重合就能說明平行四邊形的對角相等。男孩則認(rèn)為女孩必須保證剪下來的部分形狀完全相同，如果剪下來的一邊大一邊小，怎么可能相等呢？雙方各執(zhí)己見，爭持不下。此時，教師沒有做任何評判，而是把兩個人爭論的問題拋給更多的學(xué)生：“大家覺得比較平行四邊形的兩個對角，我們究竟要比哪里呢？”學(xué)生深入地研究和思考，明確了角的大小與兩邊張開的大小有關(guān)，與邊的長短無關(guān)，所以剪下來的部分形狀可以不相同。這樣，借助思維認(rèn)知的沖突點就可以幫助學(xué)生對角的概念有更清晰的認(rèn)識。

3.在思維定式處，對比辨析

思維定式又稱“習(xí)慣性思維”，是指學(xué)生按習(xí)慣的、比較固定的方式去認(rèn)知事物或作出行為反應(yīng)。消極的思維定式把學(xué)生的思維禁錮在原有的知識范圍內(nèi)，不能深入認(rèn)識事物的本質(zhì)，阻礙了思維的發(fā)展。

例如，教學(xué)四年級下冊運(yùn)算律和簡便計算的內(nèi)容，練習(xí)中有這樣兩道題：25+75×3和360÷9×4。很多學(xué)生不約而同地寫出了如下的計算過程：

25+75×3360÷9×4

=（25+75）×3 =360÷（9×4）

=100×3 =360÷36

=300? =10

可以說，學(xué)習(xí)這一單元后，學(xué)生頭腦中“簡便運(yùn)算”的意識特別強(qiáng)，不少學(xué)生只注重簡便運(yùn)算的表面形式，或者只關(guān)注到其中兩個數(shù)能湊整，而忽視了題目本身是否具備使用運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡便運(yùn)算的特征。教師可以將學(xué)生正確的和錯誤的做法放在一起，并提問：“你贊同哪一種計算方法？請說明理由?！币龑?dǎo)學(xué)生在對比、辨析中明確：在進(jìn)行計算時，首先要觀察這道題的特點和運(yùn)算的順序，不能盲目簡算，從而突破消極的思維定式，促進(jìn)思維向更高層次生長。

郅庭瑾在《為思維而教》一書中說道：“思維本身就是一個不斷提問、不斷解答、不斷追問、不斷明朗的過程。”[9]教師如果能及時捕捉并充分利用學(xué)生思維過程中的生成性資源，將問題重新拋給學(xué)生，搭建對話的平臺，來引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的思考和辨析，就能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，令思維之渠暢清。

參考文獻(xiàn)：

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[3][9]郅庭瑾.為思維而教[M].北京：教育科學(xué)出版社， 2007（2）：145，145.

[4][7]王林.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011：251，115.

[5][6][8]成尚榮.教學(xué)律令[M].上海：華東師范大學(xué)出版社， 2018：105，11，前言.

責(zé)任編輯：李韋

Make Thinking Visible and Promote Thinking Growth

Kang Qian

（Damalu Primary School， Xuzhou 221000， China）

Abstract： Focusing on the occurrence， development and expression process of students' thinking in mathematics learning， combined with specific teaching practice， this paper expounds the focus， teaching paths and methods of making students' thinking visible in mathematics classrooms， and effectively utilizes students' generative resource to explore the development points of students' mathematical thinking and promote the growth of students' thinking to a higher level.

Key words： mathematical thinking; starting point of thinking; thinking process; thinking growth

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題“構(gòu)建‘自主開放，思維可見的數(shù)學(xué)課堂研究”（D/2018/02/166）階段性成果。

收稿日期：2020-10-15

作者簡介：康倩，徐州市大馬路小學(xué)（江蘇徐州，221000），高級教師。