用“現(xiàn)象”助“建構(gòu)”

陳群峰

摘要：現(xiàn)象教學(xué)是情境教學(xué)的“再進(jìn)一步”，就是基于真實(shí)的情境（所謂的“現(xiàn)實(shí)世界”）展開自然的探究教學(xué)。運(yùn)用現(xiàn)象教學(xué)思想，嘗試高中數(shù)學(xué)《函數(shù)零點(diǎn)存在性定理》一課的教學(xué)，主要環(huán)節(jié)包括提供真實(shí)的現(xiàn)象、引出自然的探究、指向規(guī)范的表達(dá)、激活充分的思辨。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學(xué) 數(shù)學(xué)現(xiàn)象 數(shù)學(xué)探究 《函數(shù)零點(diǎn)存在性定理》

通常，數(shù)學(xué)知識教學(xué)（相對于解題教學(xué)而言）有多種形式，但是，歸納起來可以分為兩大類：第一類是教師直接講授，幫助學(xué)生理解，通常的模式是“知識—解釋—理解—應(yīng)用”，可稱為“知識教學(xué)”;第二類是教師創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入問題，激發(fā)學(xué)習(xí)動力，引導(dǎo)探究建構(gòu)，通常的模式是“情境—探究—建構(gòu)—應(yīng)用”，可稱為“情境教學(xué)”。從奧蘇伯爾的兩維學(xué)習(xí)分類的角度看，前者屬于接受式學(xué)習(xí)，如果注意意義關(guān)聯(lián)（而不是機(jī)械灌輸），還是能夠促進(jìn)知識理解的，但是，不太利于興趣激發(fā)、思維發(fā)展;后者屬于發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，通常利于知識理解和興趣激發(fā)、思維發(fā)展，但是，如果情境創(chuàng)設(shè)和問題引導(dǎo)不當(dāng)（比如情境過于虛假，問題過于刻意，暗示過于明顯），便容易滑向接受式學(xué)習(xí)，即還是“牽著學(xué)生走”，突出了教師主導(dǎo)，弱化了學(xué)生主體。

考慮到情境教學(xué)的不足，現(xiàn)階段，國際上逐漸興起“現(xiàn)象教學(xué)”?，F(xiàn)象教學(xué)是情境教學(xué)的“再進(jìn)一步”（當(dāng)然，與情境教學(xué)很難有明顯的界線），就是基于真實(shí)的情境（所謂的“現(xiàn)實(shí)世界”）展開自然的探究教學(xué)，其基本的模式為“現(xiàn)象觀察—問題提出—探究建構(gòu)—理解應(yīng)用”。數(shù)學(xué)現(xiàn)象可以來源于生活實(shí)際，也可來源于數(shù)學(xué)本身（都是“現(xiàn)實(shí)世界”里的），關(guān)鍵在于用數(shù)學(xué)的眼光、思維和語言來觀察、思考、表達(dá)它——也就是弗賴登塔爾所說的“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”以及史寧中教授所說的“三會”。與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)情境（問題）相比，數(shù)學(xué)現(xiàn)象是一種“還原”，更真實(shí)、更開放——其條件或結(jié)論是不完全明確的;給了學(xué)生更大的空間，可以引發(fā)問題、激起聯(lián)想、推動思考、強(qiáng)化表達(dá)，使探究更自然、自由，更充分、靈活——沒有明確的目標(biāo)（完成）節(jié)點(diǎn)，可以帶來更大的延續(xù)性和創(chuàng)造性。現(xiàn)象是世界的縮影，通過對現(xiàn)象的思考，學(xué)生不僅能夠獲得知識，而且能夠?qū)W會認(rèn)識世界、改造世界的方式方法。

運(yùn)用現(xiàn)象教學(xué)思想，筆者嘗試了高中數(shù)學(xué)《函數(shù)零點(diǎn)存在性定理》一課的教學(xué)。其主要環(huán)節(jié)如下：

一、提供真實(shí)的現(xiàn)象

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理在內(nèi)容上比較抽象，學(xué)生雖然掌握了一些具體的函數(shù)，但是依然不太容易把握該定理的本質(zhì)。我們嘗試從該定理的數(shù)學(xué)內(nèi)涵出發(fā)，化數(shù)為形，設(shè)計(jì)一個(gè)真實(shí)、開放的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，即給出一個(gè)不完整的函數(shù)圖像，讓學(xué)生自由、充分、靈活地展開探究，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)零點(diǎn)的各種可能（如沒有、一個(gè)、兩個(gè)……乃至無窮多個(gè)），從而不斷豐滿認(rèn)知，建構(gòu)知識。具體的現(xiàn)象設(shè)計(jì)如下：

圖1是定義在區(qū)間[0，12]上的某函數(shù)的部分圖像，請將圖形補(bǔ)充成完整的函數(shù)圖像，并研究函數(shù)的零點(diǎn)情況。

二、引出自然的探究

真實(shí)、開放的數(shù)學(xué)現(xiàn)象引發(fā)了學(xué)生的興趣，激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生展開了自然的探究，得到了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的有關(guān)要素“連續(xù)”和“異號”——

師 （出示上述數(shù)學(xué)現(xiàn)象）圖中的函數(shù)是否一定存在零點(diǎn)？

生 （展示圖像，如圖2）一定存在。

生 不贊同。（展示圖像，如圖3）畫出來的函數(shù)圖像不連在一起時(shí)，零點(diǎn)可能不存在。

（學(xué)生討論形成共識：當(dāng)上述函數(shù)圖像連續(xù)不斷時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)。）

師 如果其他函數(shù)圖像連續(xù)不斷，函數(shù)是否必有零點(diǎn)？

生 從上述函數(shù)圖像可以看出，函數(shù)圖像除了連續(xù)不斷之外，還要對于x軸而言有上有下。

師 很好！不過，“有上有下”不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言，如何將其數(shù)學(xué)化？

生 就是一端正，一端負(fù)，圖中f（0）=-2<0，f（12）=6>0，即兩端點(diǎn)函數(shù)值異號。

師 請各自重新畫一個(gè)函數(shù)圖像，使得函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。

（學(xué)生畫圖，然后互查，推薦3—4位學(xué)生的作品展示交流。）

三、指向規(guī)范的表達(dá)

得到函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的有關(guān)要素，并經(jīng)過初步的從自然語言到數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)化后，只需進(jìn)一步總結(jié)出規(guī)范的數(shù)學(xué)化表達(dá)，即可建立抽象的定理模型——

師 一般地，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上一定存在零點(diǎn)的條件是什么？

f（b）<0，再到f（a）f（b）<0的過程，形成結(jié)論：①函數(shù)圖像在區(qū)間（a，b）上連續(xù)不斷;②滿足f（a）f（b）<0。）

師 誰來完整表述一下函數(shù)零點(diǎn)存在性定理？

生 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)。

師 函數(shù)是連續(xù)的在高等數(shù)學(xué)中有嚴(yán)格的定義，我們現(xiàn)在不深入探討。我們還是像上面一樣，從圖像的角度通俗地表達(dá)其特點(diǎn)。

生 一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)。

四、激活充分的思辨

得到函數(shù)零點(diǎn)存在性定理后，探究沒有到此結(jié)束，因?yàn)?，最初的?shù)學(xué)現(xiàn)象中還有很多內(nèi)涵可以挖掘，還可以研究滿足條件時(shí)零點(diǎn)可能的個(gè)數(shù)等，從而提升學(xué)生的思維——

師 再回到最初的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，還有問題需要研究嗎？

生 要補(bǔ)全圖像，有很多種可能性，可以有多個(gè)零點(diǎn)。

師 大家認(rèn)可嗎？如果你認(rèn)為可以有多個(gè)零點(diǎn)，請畫個(gè)示意圖。

（學(xué)生畫圖探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的可能性。）

師 請畫好的同學(xué)主動展示。

生 （展示圖4、圖5）可以有3個(gè)、5個(gè)零點(diǎn)。以此類推，可以有任意奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)。

師 很好，大家可以按照他畫曲線的規(guī)律，用手勢比畫比畫，7個(gè)、9個(gè)……

（學(xué)生隨著教師的敘述用手勢比畫。）

師 確實(shí)可以有任意奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)嗎？

生 確實(shí)。

師 還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？既然可以有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，那么可以有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)嗎？

（多數(shù)學(xué)生有些遲疑。）

生 （舉手示意）可以。（展示圖6、圖7）以此類推，可以有任意偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)。

師 你是怎么想到這樣構(gòu)造函數(shù)圖像的？

生 我也是先畫了3個(gè)、5個(gè)零點(diǎn)的情況，就想到能不能有2個(gè)、4個(gè)的情況。（展示圖8）我發(fā)現(xiàn)之前畫的曲線是這樣的，可以看成一個(gè)開口向下、一個(gè)開口向上的類似于拋物線的曲線的組合。所以，要減少一個(gè)零點(diǎn)，只要參照一元二次函數(shù)Δ=0的情況，畫類似拋物線的曲線，就可以了。

師 很好！大家同樣可以按照他畫曲線的規(guī)律，用手勢比畫6個(gè)、8個(gè)……

（學(xué)生隨著教師的敘述用手勢比畫。）

師 到此，我們能夠給出：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上可以有任意有限個(gè)零點(diǎn)。那再進(jìn)一步，能否有無限個(gè)零點(diǎn)？

生 （展示圖9）可以有。

師 你是怎么想到這樣構(gòu)造圖像的呢？

生 由最簡單的有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)f（x）=0想到的。

這里，最初畫圖時(shí)，不排除有學(xué)生有良好的數(shù)學(xué)直覺，直接畫出有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)和無數(shù)個(gè)零點(diǎn)的圖像。但是，我們更應(yīng)該展示通過具體函數(shù)類比得到圖像的思維過程。這是一種重要的思想方法，能夠有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力。總結(jié)了滿足條件的各種情況后，學(xué)生又進(jìn)一步反過來研究不滿足條件時(shí)零點(diǎn)是否存在以及可能的個(gè)數(shù)——

師 至此，由最初的數(shù)學(xué)現(xiàn)象引出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，我們差不多可以做一個(gè)完美的總結(jié)了。

生 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)，可以有任意有限個(gè)零點(diǎn)，也可以有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)。

師 同學(xué)們，對于這個(gè)結(jié)論，我們還能怎么想？

生 反過來想。

師 很好！那結(jié)論對不對呢？

生 不對。也就是，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且函數(shù)在（a，b）上存在零點(diǎn)，不一定要滿足f（a）·f（b）<0。

師 你們認(rèn)可這一說法嗎？

（學(xué)生交流討論后，認(rèn)可上述說法。）

師 如此說來，我們可以得到什么結(jié)論呢？

生 圖像是一條不間斷曲線的函數(shù)y=f（x），如果滿足f（a）f（b）<0，則在（a，b）上一定存在零點(diǎn);如果滿足f（a）f（b）>0，不一定沒有零點(diǎn)。

師 不一定沒有就是可以有，可以有多少個(gè)？

（學(xué)生交流討論，得出可以有1個(gè)、2個(gè)……任意多個(gè)，然后進(jìn)入鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)。）

本節(jié)課的教學(xué)，在學(xué)生沒有“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”意識的基礎(chǔ)上（現(xiàn)象教學(xué)反對預(yù)習(xí)），讓學(xué)生基于對一個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察與思考，自然生成“零點(diǎn)是否存在？”“如果存在，有多少種可能性？”等疑問，激發(fā)聯(lián)想。而只要有了疑問，關(guān)于“零點(diǎn)存在性及個(gè)數(shù)”的答案，學(xué)生非常容易獲得。學(xué)生在此過程中展現(xiàn)了強(qiáng)大的想象力和論證力，得到了許多“奇思妙想”（比如圖9），而教材上的“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”只是其中一個(gè)小小的結(jié)論而已。由此，學(xué)生的眼光和思維產(chǎn)生了諸多變化。

康托爾說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由?！爆F(xiàn)象教學(xué)就是給人以自由的教學(xué)：在知識面前人是受奴役的，在現(xiàn)象面前人是自由的。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“用數(shù)學(xué)現(xiàn)象啟發(fā)問題意識的教學(xué)實(shí)踐研究”（編號：Bb/2016/02/78）的階段性研究成果。

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