線性代數(shù)教學(xué)方法探索與實(shí)踐

李燕娟

摘 要

線性代數(shù)是理工科院校必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，抽象難懂。本文根據(jù)課程內(nèi)容特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行初步探索和實(shí)踐，課堂效果良好。

關(guān)鍵詞

線性代數(shù);教學(xué)方法;矩陣

中圖分類號(hào)： G642;O151.2-4 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 22

線性代數(shù)是理工科專業(yè)和經(jīng)管類專業(yè)必修的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，不僅提高學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力，而且為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使專業(yè)課的學(xué)習(xí)更加得心應(yīng)手。然而，由于線性代數(shù)課程抽象性的特點(diǎn)，學(xué)時(shí)又少，傳統(tǒng)的教學(xué)方法多數(shù)以老師為中心的填鴨式、灌輸式等教學(xué)模式，很少采用啟發(fā)式、案例式等教學(xué)方法，教師與學(xué)生之間的互動(dòng)較少，學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，課堂教學(xué)效果不好，且不能充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，不利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的思維能力及探索精神。

如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，使學(xué)生主觀的參與教學(xué)，那么教學(xué)方法的選取尤為重要。教學(xué)方法的發(fā)展是批判繼承繼而改進(jìn)創(chuàng)新的過程，在線性代數(shù)課程的教法設(shè)計(jì)中，應(yīng)該注重總結(jié)傳統(tǒng)教學(xué)方法的實(shí)施效果，進(jìn)而形成與線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容相匹配的“靈活性”教法體系[1]。因此，教學(xué)方法的選取應(yīng)該根據(jù)學(xué)生專業(yè)的特點(diǎn)，各個(gè)章節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，靈活的選取不同的教學(xué)方法，改進(jìn)教學(xué)現(xiàn)狀，提高課堂教學(xué)效果。

1 案例式教學(xué)法

案例式教學(xué)法即為在教學(xué)過程中引入適當(dāng)?shù)陌咐?，使所講知識(shí)更易簡單明了，知識(shí)運(yùn)用更易通俗易懂。教師可根據(jù)學(xué)生的專業(yè)選取相關(guān)的案例，鼓勵(lì)學(xué)生參與到學(xué)習(xí)的討論中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生在輕松的環(huán)境中體會(huì)所學(xué)知識(shí)在專業(yè)課中的應(yīng)用，從而提高學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性。比如經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣知識(shí)時(shí)，引入案例：某學(xué)校準(zhǔn)備組建一個(gè)機(jī)房，需要指定型號(hào)的計(jì)算機(jī)60臺(tái)，打印機(jī)10臺(tái)，電腦桌椅60套，甲、乙、丙三家公司提供的報(bào)價(jià)為。

問題：若在一家購買，應(yīng)選哪家？在講授時(shí)，首先分析表格里面的元素不能隨意交換位置，像此類數(shù)表就稱為矩陣，引出矩陣的概念，指出是3×3矩陣。在解決問題時(shí)，引入可否運(yùn)用矩陣相乘求得結(jié)果呢？設(shè)矩陣A=6000 3500 4005500 3900 4505800 3600 480，B=601060，求解AB=419000396000412800，根據(jù)結(jié)果，易判斷在乙家公司選購，此時(shí)，由于計(jì)算量較大，可以簡單介紹Matlab中計(jì)算矩陣相乘的程序，借助軟件簡化計(jì)算量。通過此案例的選取，首先介紹矩陣概念，進(jìn)而對(duì)矩陣相乘的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用，最后介紹Matlab中關(guān)于矩陣的求解，使得學(xué)生較易理解概念，學(xué)以致用，從而提高學(xué)習(xí)興趣。

2 啟發(fā)式教學(xué)法

講數(shù)學(xué)課不易做到語言生動(dòng)、引人入勝，但可以思路清晰、語言簡練、不斷提出問題，不斷解決問題從而吸引學(xué)生注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考[2]。啟發(fā)式教學(xué)法能循序漸進(jìn)，層層深入地講解，使學(xué)生帶著問題去聽課，提高注意力。比如在講逆矩陣時(shí)，先引入數(shù)的運(yùn)算，當(dāng)a≠0時(shí)，aa-1=a-1a=1，a-1=為a的倒數(shù)（或稱a的逆）。提出問題，矩陣是否存在這樣的A-1，使得AA-1=A-1A=E？若存在，可否稱A-1為矩陣A的逆呢？aa-1=a-1a=1成立的充要條件是a≠0，那么方陣A的逆存在的充要條件是否是|A|≠0？在講向量組的線性相關(guān)性時(shí)，有一個(gè)定理是若a1，…，ar線性相關(guān)，則a1，…，ar，ar+1，…，am（m>r）線性相關(guān)[3]，簡稱為部分相關(guān)，則整體相關(guān)。提出問題，整體相關(guān)，則部分相關(guān)嗎？若不一定相關(guān)，能否找到一個(gè)極大線性無關(guān)組呢？進(jìn)而引出向量組秩的概念。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生從簡單到復(fù)雜，由淺入深的學(xué)習(xí)過程，比較容易接受新知識(shí)，且學(xué)習(xí)興趣也比較高。

3 對(duì)比分析法

對(duì)比分析法，就是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象間的某些方面，推出它們?cè)谄渌矫嬉灿邢嗨苹蛳嗤膶傩訹4]，比如第一章行列式和第二章矩陣，兩者的概念完全不同，運(yùn)用對(duì)比分析法，分析兩者之間的不同與相似之處，不同之處在于，行列式符號(hào)||，矩陣符號(hào)[];行列式是一個(gè)數(shù)值，矩陣是一個(gè)數(shù)表;行列式的行數(shù)等于列數(shù)，矩陣的行數(shù)與列數(shù)不一定相等。相似之處在于，行列式的性質(zhì)和矩陣的初等變換有相似之處。通過運(yùn)用對(duì)比分析法，使學(xué)生較易接受新概念、新知識(shí)，并且分清不同之處，在日后的運(yùn)用時(shí)不易混淆。

在講矩陣的初等變換時(shí)，引入例題，解一個(gè)非齊次三元線性方程組，先用消元法求解，接著用克拉默法則求解線性方程組，最后用增廣矩陣的初等行變換來解，通過對(duì)比分析求解過程，發(fā)現(xiàn)用矩陣的初等行變換求解線性方程組更簡單，直觀，學(xué)生們也比較容易接受新思想，新方法。

4 總結(jié)歸納法

數(shù)學(xué)教學(xué)主要是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維方式，在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中，通過知識(shí)點(diǎn)之間的并串聯(lián)關(guān)系，及時(shí)地對(duì)其進(jìn)行總結(jié)歸納，只有掌握知識(shí)點(diǎn)之間的各種關(guān)聯(lián)，才能真正理解知識(shí)點(diǎn)的概念實(shí)質(zhì)，才能更好地解決問題[5]。如學(xué)完第一章行列式，回顧所講內(nèi)容，先介紹二階、三階行列式，再推廣到n階行列式，再介紹了行列式的性質(zhì)與運(yùn)算，在計(jì)算方法上介紹了克拉默法則，也可借助知識(shí)框架圖，更清晰明了。再比如，第二章講完矩陣之后，要及時(shí)歸納矩陣可逆的充要條件。第三章線性方程組講完之后，又可以和第二章緊密聯(lián)系起來，以下七個(gè)命題等價(jià)：（1）方陣A可逆;（2）|A|≠0;（3）A與單位矩陣E等價(jià);（4）A滿秩;（5）A為非奇異矩陣;（6）齊次線性方程組只有零解;（7）向量組線性無關(guān)。

向量組線性表示可以與非齊次線性方程組聯(lián)系，向量組線性相關(guān)性可以與齊次線性方程組聯(lián)系。通過歸納總結(jié)所學(xué)知識(shí)，把看似獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)緊密地聯(lián)系起來，使學(xué)生心中形成一個(gè)知識(shí)鏈，有利于日后走向工作崗位養(yǎng)成總結(jié)的習(xí)慣。

5 抽象具體化法

當(dāng)講授內(nèi)容的定義、定理較多時(shí)，學(xué)生往往覺得知識(shí)很抽象，晦澀難懂，這時(shí)需要將抽象內(nèi)容形象化、具體化，可借助舉例說明，在例題中體現(xiàn)定義、定理的思想，使學(xué)生能夠找到知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)。比如講授行階梯形矩陣，行最簡型矩陣，標(biāo)準(zhǔn)型矩陣時(shí)，雖然學(xué)生們知道這三類矩陣各自的特點(diǎn)，但問題是怎樣將一個(gè)矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型，而有些教材并未涉及相關(guān)例題，此時(shí)需要舉一些簡單的例子，將先通過初等行變換化為行階梯形矩陣和行最簡型矩陣，再通過初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，在化簡過程中要掌握特點(diǎn)。

在介紹完極大線性無關(guān)組的定義后，可以舉例α1=10，α2=10，α3=10，求向量組{α1，α2，α3}的一個(gè)極大線性無關(guān)組。根據(jù)定義易得出以下結(jié)論：向量組{α1，α2，α3}的極大線性無關(guān)組是α1，α2，或者α1，α3，或者α2，α3。通過這個(gè)例題的講解，說明兩點(diǎn)內(nèi)容，一是極大線性無關(guān)組是不唯一的，二是極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是唯一的，極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)又稱為向量組的秩，使學(xué)生能夠明白用定義法怎么確定極大無關(guān)組及向量組的秩。

線性代數(shù)教學(xué)過程是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，需根據(jù)學(xué)生專業(yè)、知識(shí)水平等情況靈活的選擇教學(xué)方法，因材施教。同時(shí)，這些教學(xué)方法要不斷實(shí)踐，在實(shí)踐中不斷改進(jìn)、創(chuàng)新，不但提高自身教學(xué)水平，而且有助于提高課堂教學(xué)效果，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的適應(yīng)力。

參考文獻(xiàn)

[1]梁靜靜.線性代數(shù)“靈活性”教學(xué)方法設(shè)計(jì)探究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2018（27）：219-220.

[2]王翠香.線性代數(shù)課程的特點(diǎn)與教學(xué)方法探究[J].大學(xué)教育，2019（11）：91-93.

[3]唐曉文，王昆侖，陳翠.線性代數(shù)第二版[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2012.

[4]姜麗穎，張國林.類比方法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高教學(xué)刊，2018（24）：73-75.

[5]孫怡川.淺談獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)課程教學(xué)方法的幾點(diǎn)體會(huì)[J].科教文匯，2018（12）：51-52.