彈性邊界下靜電驅(qū)動微梁結(jié)構(gòu)主共振分析

韓建鑫 ，靳 剛 ，李佰洲 ，常云霞

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222；3.天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300350）

靜電驅(qū)動微梁元件具有結(jié)構(gòu)簡單、易集成、能耗低、響應(yīng)頻率高等優(yōu)點，目前已成為微傳感器、微制動器、微濾波器、微開關(guān)等微機電器件的關(guān)鍵組成部分[1]。值得注意的是，靜電力本質(zhì)上是一種非線性驅(qū)動力，可導(dǎo)致微梁產(chǎn)生不穩(wěn)定的靜動態(tài)吸合行為[2]。一方面，利用該行為可設(shè)計微開關(guān)類器件；另一方面，在作動、傳感、濾波等微器件設(shè)計過程中，這一行為被認為是不穩(wěn)定的，需要盡量避免。因此，研究靜電驅(qū)動微梁元件的靜動力學(xué)行為是微器件力學(xué)設(shè)計的必要和關(guān)鍵環(huán)節(jié)[3-6]。微器件設(shè)計過程中，梁結(jié)構(gòu)的兩端一般或與錨點連接或自由懸置，由于實際加工制造中難免出現(xiàn)誤差甚至缺陷，梁與錨點的連接處易產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)角和位移，即呈現(xiàn)彈性邊界特性[7-8]。Alkharabsheh等[7]通過數(shù)值及實驗研究了彈性邊界對于靜電驅(qū)動兩端固支淺拱梁動力學(xué)特性的影響，指出彈性邊界可導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)頻率漂移、動態(tài)吸合以及振動跳躍等復(fù)雜現(xiàn)象。仲作陽[8]理論研究了彈性邊界對兩端固支微梁和懸臂梁的振型、頻率和主共振頻率響應(yīng)的影響。此外，Pallay等[9]通過機構(gòu)創(chuàng)新與設(shè)計，將微懸臂梁的固定端約束弱化為彈性邊界，設(shè)計了一類基于非線性參激振動的諧振式傳感器，該類傳感器充分利用柔性支撐模擬梁結(jié)構(gòu)的彈性邊界特性，通過一系列靜動力學(xué)分析與設(shè)計，最終通過增大梁的振幅值，有效提升了感測信號的輸出強度。因此，考慮將理想邊界弱化，引入彈性邊界約束，分析彈性邊界對于系統(tǒng)靜動動力學(xué)行為的影響，已逐漸成為微機電系統(tǒng)靜、動力學(xué)研究的熱點問題[10-12]。

彈性邊界對于微梁的靜動、力學(xué)特性具有顯著的影響，在微機電器件設(shè)計和參數(shù)優(yōu)化時，首先應(yīng)對其影響機理進行研究。本文以一類微機電系統(tǒng)中常見的單極板靜電驅(qū)動兩端固支微梁結(jié)構(gòu)作為研究對象，綜合考慮橫向及扭轉(zhuǎn)彈性邊界、梁的中性面變形和非線性靜電力特點，應(yīng)用Galerkin方法和多尺度方法研究系統(tǒng)的靜動力學(xué)行為。理論分析中，將靜電力Taylor展開保留至7階動態(tài)項，有效提高了動力學(xué)求解精度。本文基于理論結(jié)果研究彈性邊界彈性剛度對于靜態(tài)吸合、主共振線性頻率以及主共振頻率響應(yīng)及其軟硬轉(zhuǎn)換行為的影響。

1 動力學(xué)模型

靜電驅(qū)動微梁結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 靜電驅(qū)動微梁結(jié)構(gòu)

理想邊界條件下靜電驅(qū)動兩端固支微梁結(jié)構(gòu)如圖 1（a）所示，其中梁的長寬高分別為 l0、b0、h0，彈性模量為，密度為ρ，梁與極板間的初始距離為g0。考慮制造缺陷或創(chuàng)新設(shè)計，將理想固支邊界退化為彈性邊界，如圖1（b）所示，以等效剛度系數(shù)為KR的扭轉(zhuǎn)彈簧和等效剛度系數(shù)為KT的橫向彈簧模擬彈性邊界條件[7]?？紤]梁的中性面變形及靜電力作用，可建立靜電激勵作用下微梁的橫向振動方程[13]為

上述方程對應(yīng)的邊界條件為

為了便于分析，引入如下無量綱量

與方程相對應(yīng)的無量綱邊界條件為

其中，方程（4）和（5）中的無量綱參數(shù)為

微梁的變形包括2部分，直流電壓導(dǎo)致的靜態(tài)變形和交流電壓導(dǎo)致的動態(tài)變形，即無量綱橫向變形w（x，t）可表示為

式中：ws（x）為無量綱靜態(tài)變形；wd（x，t）為無量綱動態(tài)變形。

若不考慮交流電壓激勵的影響，則結(jié)合方程（4）和（7）可直接推導(dǎo)得到微梁的靜態(tài)方程

該靜態(tài)方程可通過Galerkin方法進行計算與分析。

結(jié)合Galerkin方法，系統(tǒng)的動態(tài)變形部分可近似表示為

式中：φj（x）為微梁的j階振型函數(shù)[12]；δj（t）為j階振動的廣義坐標，即j階振動函數(shù)；M為最高振動階次。

研究梁的主共振動態(tài)響應(yīng)時，可近似認為M=1。將方程（7）代入到方程（4），將靜電力部分泰勒展開至wd（x，t）的7次方，并根據(jù)直流電壓幅值遠大于交流電壓幅值這一特性，忽略交流電壓的平方項[14]，簡記u（t）=δ1（t），φ（x）=φ1（x）。應(yīng)用Galerkin方法，可得到微梁的主共振動力學(xué)方程

式中：ωn為系統(tǒng)的無量綱一階線性頻率。

相關(guān)參數(shù)表達式為

2 主共振近似解

應(yīng)用多尺度方法[15]對方程（10）進行主共振分析。引入代表對應(yīng)項為小量的無量綱標志ε，可得動力學(xué)方程如下

假設(shè)系統(tǒng)的解可表示為如下形式

式中：Tn= εnt，n=0，1，…，6。

式中：γ=σT6-β；a為振動幅值；β為振動相位。

相關(guān)參數(shù)表達式為

將方程的穩(wěn)態(tài)解代入方程即可得動態(tài)響應(yīng)。

3 動力學(xué)分析

3.1 收斂性分析

為驗證本文程序及理論解的正確性，采用文獻[16]的物理參數(shù)，計算理想邊界情況下系統(tǒng)的靜動態(tài)特性。靜態(tài)位移解通過五階Galerkin離散計算而得到，其中靜電力部分直接利用牛頓辛普森積分公式計算，可避免靜態(tài)位移不收斂情況[17]，靜態(tài)最大位移由ws,max=max（ws）計算，響應(yīng)最大位移由 wmax=max[ws+u（t）φ（x）]計算。具體仿真參數(shù)為[16]：E～=166 GPa，ρ=2 332 kg/m3，l0=510 μm，b0=100 μm，h0=1.5 μm，g0=1.18 μm，ε0=8.854 × 10-12，N=8.7，μ =0.239，最終推導(dǎo)所得理論模型的收斂性分析如圖2所示，其中解的穩(wěn)定性根據(jù)非線性振動理論中Jacobi矩陣的特征值進行判斷。通過與文獻[16]的數(shù)值計算結(jié)果對比可知，本文程序正確且理論解具有較高的計算精度。

圖2 推導(dǎo)所得理論模型的收斂性分析

3.2 位移與頻率分析

文獻[7]中的扭轉(zhuǎn)剛度和橫向剛度系數(shù)，令KT=40 N/m，KR=10-7N·m/rad，最終得到系統(tǒng)的最大靜態(tài)位移與一階線性頻率ωn隨直流電壓的變化情況如圖3所示。從圖3中可以看出，彈性邊界條件下，系統(tǒng)直流偏置電壓行程降低，吸合電壓減?。晃锨跋嗤绷麟妷鹤饔孟?，彈性邊界會導(dǎo)致微梁的最大靜態(tài)位移偏大，一階線性頻率偏小。若設(shè)計人員需要對微梁的諧振頻率進行設(shè)計，則彈性邊界會導(dǎo)致最終設(shè)計結(jié)果比理論計算結(jié)果小。實際上，彈性邊界對靜電微開關(guān)設(shè)計具有積極的促進作用，可有效減小吸合電壓進而降低器件開關(guān)過程中的能耗。而對于動態(tài)結(jié)構(gòu)來講，彈性邊界使得器件靜態(tài)變形增大，共振頻率向小方向漂移，最終導(dǎo)致設(shè)計響應(yīng)與實際響應(yīng)出現(xiàn)偏差。因此，無論從哪方面考慮，研究彈性邊界作用下系統(tǒng)的靜動力學(xué)都是必要的。

圖3 系統(tǒng)的最大靜態(tài)位移與一階線性頻率隨直流電壓的變化情況

3.3 主共振響應(yīng)分析

理想邊界和彈性邊界情況下系統(tǒng)的主共振頻響曲線如圖4所示，其中相關(guān)參數(shù)取值為[16]：VD=2V，VA=0.01 V。從圖4中可以看出，彈性邊界的存在可有效增大系統(tǒng)的最大振動響應(yīng)幅值，同時減小系統(tǒng)的一階共振頻率，此外可導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)軟硬轉(zhuǎn)換行為。進一步研究探討了彈性邊界剛度系數(shù)對于系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響，結(jié)果如圖5所示。從圖5（a）中可以看出，橫向剛度KT的增大使得頻響曲線向右偏移，且曲線的硬彈簧特性更加明顯；最大振動位移略有減小，軟硬轉(zhuǎn)換現(xiàn)象減弱。從圖5（b）中可以看出，扭轉(zhuǎn)剛度KR的增大同樣會使得頻響曲線向右偏移，但曲線的硬彈簧特性及最大振動位移不會發(fā)生明顯改變。

圖4 理想邊界和彈性邊界情況下系統(tǒng)的主共振頻響曲線

圖5 彈性邊界對系統(tǒng)主共振頻響曲線的影響

4 結(jié)語

本文研究了彈性邊界對于系統(tǒng)的主共振行為的影響。通過應(yīng)用Galerkin方法和多尺度方法，推導(dǎo)獲得了考慮7次非線性動態(tài)響應(yīng)的微梁結(jié)構(gòu)主共振近似理論解。該理論解具有較高計算精度，能夠用于研究不同邊界條件及物理參數(shù)對于系統(tǒng)靜動力學(xué)行為的影響。從靜態(tài)位移、一階線性頻率和主共振頻率響應(yīng)3個方面探討了彈性邊界的影響作用，發(fā)現(xiàn)彈性邊界會導(dǎo)致靜態(tài)吸合電壓減小，靜態(tài)變形增大，一階線性頻率整體降低，頻響曲線最大振幅增大，復(fù)雜度增大，易誘發(fā)頻響曲線軟硬轉(zhuǎn)換行為。因此，本文研究對于考慮彈性邊界的靜電驅(qū)動微梁結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計具有一定的理論指導(dǎo)作用。