具有時滯的非線性二階多智能體系統(tǒng)群組一致性

張麗瓊，李偉勛，劉 佳

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，天津 300222）

多智能體系統(tǒng)（multi-agent system，MAS）是由多個智能體組成，將大而復(fù)雜的系統(tǒng)建設(shè)成小的、彼此互相通信并協(xié)調(diào)的、易于管理的系統(tǒng)。近年來多智能體系統(tǒng)已經(jīng)應(yīng)用于人類生活的方方面面，如無人駕駛機器、分布式機器人通信、機器人編隊、交通運輸、蜂擁現(xiàn)象、復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和電腦通信等，原理都是通過設(shè)計合理的算法和控制協(xié)議，讓各個智能體之間互相通信，從而使多智能體的各個狀態(tài)趨于一致[1-10]。Dong等[1]研究了在切換拓?fù)浜蜁r變的情況下，二階多智能體系統(tǒng)的編隊跟蹤及其在四旋翼編隊飛行中的應(yīng)用。Tang等[2]研究的是脈沖新特征下，網(wǎng)絡(luò)多智能體系統(tǒng)的跟蹤控制及其在機器人系統(tǒng)中的應(yīng)用，為機器人的發(fā)展提供了一個嶄新的前進(jìn)方向。Li等[3]研究了二階多智能體系統(tǒng)量化蜂擁控制。He等[4]對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中基于共識的時間同步做了研究，這是對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究。Wang等[5]分別在固定和切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，研究了具有多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨的編隊控制。Jadbabaie等[6]提出了在多智能體系統(tǒng)的研究中使用最近鄰規(guī)則的移動自治智能體組的協(xié)調(diào)，為研究多智能體系統(tǒng)一致性提供了新思路。研究發(fā)現(xiàn)，時滯對多智能體系統(tǒng)一致性的影響及其廣泛，文獻(xiàn)[7-9]考慮了在具有時變通信時滯下多智能體系統(tǒng)的一致性問題，與實際工程問題相符。此外，一旦涉及實際問題，人們往往希望系統(tǒng)能夠在較短時間內(nèi)完成任務(wù)。Wang等[10]就是在有限時間內(nèi)對多智能體系統(tǒng)的一致性問題進(jìn)行研究，因此多智能體系統(tǒng)能夠快速有效地解決實際工程問題，表明了多智能體系統(tǒng)在社會生活中的重要地位。

多智能體系統(tǒng)的組一致性研究作為一個分支得到了廣泛關(guān)注。組一致性是指在整個多智能體系統(tǒng)中，系統(tǒng)會因為環(huán)境狀況等因素，出現(xiàn)收斂成多個穩(wěn)定狀態(tài)的現(xiàn)象，也是各個智能體達(dá)到各自所在組的一致狀態(tài)。Yu等[11]首次研究具有切換拓?fù)浜屯ㄐ叛舆t的多智能體系統(tǒng)的組一致性的概念。2年后，Yu等[12]對具有向信息交換的多智能體系統(tǒng)的群共識進(jìn)行了研究。Xie等[13]得到了多智能體系統(tǒng)組一致性的充分必要條件。學(xué)者對多智能體系統(tǒng)的組一致性進(jìn)行了諸多研究，Wen等[14]關(guān)于具有輸入飽和的異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的群體共識問題進(jìn)行了研究。Feng等[15]考慮了雙積分器動態(tài)多智能體系統(tǒng)在固定通信拓?fù)湎碌娜航M一致性控制。在理論與實際相結(jié)合時，群組一致性的研究具有重要的意義。本文在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上，研究多智能體系統(tǒng)的三組一致性問題。

1 基礎(chǔ)知識和模型闡述

1.1 代數(shù)圖論

把多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)浣３捎邢驁D。圖的基本概念如下：

令G=（N，T，A）是一個拓?fù)鋱D，其中一個非空的有限集 N={n1，n2，…，nm}叫做 G 的頂點集，N 中的元素稱為頂點；集合T?N×N為G的有向邊，可以用{ej，ei}來表示；A=[aij]m×m是 G 的一個加權(quán)鄰接矩陣。如果{ej，ei}∈T，則 aij≠0 表示第 i個智能體能夠接收到第j個智能體的信息，否則aij=0；另外假設(shè)所有aii=0，用={nj∈N：（nj，ni）∈T}表示節(jié)點i的鄰居節(jié)點的集合。有向圖G的拉普拉斯矩陣L定義為L=（lij）m×m，且計算式為L=D-A，其中，矩陣D為圖的度矩陣，節(jié)點的入度矩陣用in-degree表示，且定義為degin（vi）=節(jié)點的出度矩陣表示為out-degree，定義為

1.2 問題描述

考慮m個智能體，假設(shè)所有智能體是同質(zhì)的，且智能體的狀態(tài)都屬于狀態(tài)空間R，則

智能體i的動力系統(tǒng)模型為

式中：pi∈R和qi∈R分別為表智能體系統(tǒng)的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)；ui∈R為系統(tǒng)的控制輸入；f（qi（t），t）為連續(xù)可微向量函數(shù)。

領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)模型為

式中：pj*∈R和qj*∈R分別為領(lǐng)導(dǎo)者的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)；f（qj*（t），t）為連續(xù)可微向量函數(shù)。

本文是在一維環(huán)境下考慮多智能體系統(tǒng)的組一致性，也可以通過Kronecker積將結(jié)果推廣到高維空間，這將是以后要研究的重點問題。為了讓所有智能體與它所跟隨的領(lǐng)導(dǎo)者達(dá)成一致，設(shè)計如下控制協(xié)議

定義1在任意初始條件下，若多智能體系統(tǒng)滿足以下式子

則稱多智能體系統(tǒng)能夠達(dá)到三組一致性。

引理1文獻(xiàn)[12]在連通的拓?fù)鋱D中，每個節(jié)點與其他各個子組中節(jié)點的權(quán)重之和為0，如下式

假設(shè)1文獻(xiàn)[5]非線性動態(tài)f（qi（t），t），f（qj*（t），t）是連續(xù)可微的向量函數(shù)，則存在一個正常數(shù)ρ使得以下不等式成立

引理2文獻(xiàn)[5]（Schur補引理）矩陣s11，s12為對稱陣且，則下列條件相互等價

（1）S＜ 0

引理3文獻(xiàn)[15]對任意向量a、b和一個正定矩陣Φ，有以下式子成立

2 主要結(jié)論

根據(jù)控制協(xié)議（3）和上述的引理1，則系統(tǒng)（1）可以寫成下面的矩陣形式

式中：F（q（t），t）=（f（q1（t），t），f（q2（t），t），…，f（qm（t），t））T；p（t）=（p1（t），p2（t），…，pm（t））T；q（t）=（q1（t），q2（t），…，qm（t））T；p*（t）=（p1*（t），p2*（t），p3*（t））T；q*（t）=（q1*（t），q2*（t），q3*（t））T。

由上述智能體的動力系統(tǒng)和領(lǐng)導(dǎo)者的動力系統(tǒng)，可以得出誤差系統(tǒng)的動力模型。

令ξi（t）=pi（t）-p1*（t），ηi（t）=qi（t）-q1*（t），（i∈N1）；ξi（t）=pi（t）-p2*（t），ηi（t）=qi（t）-q2*（t），（i∈N2）；ξi（t）=pi（t）-p3*（t），ηi（t）=qi（t）-q3*（t），（i∈N3）；ξ（t）=[ξ1（t），…，ξm（t）]T，η（t）=[η1（t），…，ηm（t）]T，則誤差系統(tǒng)的矩陣形式如下

式中：F（t）=（f1（t），f2（t），…，fm（t））T，且fi（t）=（f（qi（t），t）-f（qj*（t），t）；L+B=M。

基于多智能體系統(tǒng)和上述的誤差系統(tǒng)，定義新的

定理1針對非線性多智能體系統(tǒng)（1）和（2），在控制協(xié)議（3）的作用下，若對于給定的正常數(shù) τM、δ、ρ，存在正定矩陣P、Q、R滿足以下的不等式

則多智能體系統(tǒng)是能夠達(dá)到群組一致性的。

證明針對系統(tǒng)（6），建立一個Lyapunov候選泛函數(shù)為

根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，可得

則系統(tǒng)（6）可表示為

式中：N=C+E。

再對Vi（t）進(jìn)行求導(dǎo)，得

根據(jù)式（10）和假設(shè)并整理，可以得到下式

由引理3可將式（11）整理為

再由假設(shè)1可將式（12）處理為如下不等式

再根據(jù)式（8）可以得到不等式

由Lyapunov穩(wěn)定性理論，可知誤差系統(tǒng)（6）能夠趨于穩(wěn)定，即等價于該系統(tǒng)達(dá)到了群組一致，證畢。

特別地，若時滯為0時，仍然可借助Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式等工具，通過運用Schur補引理等相關(guān)的引理，實現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的群組一致性，基于鄰居的運動狀態(tài)設(shè)計如下算法

推論1針對非線性多智能體系統(tǒng)（1）和（2），根據(jù)控制協(xié)議（15），對于給定的正常數(shù)，要使多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)群組一致性，則需存在正定矩陣，滿足以下線性矩陣不等式

3 數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步展現(xiàn)結(jié)果的有效性，運用數(shù)學(xué)工具對多智能體系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬，該系統(tǒng)的所有智能體共分為3組，每組都有一個領(lǐng)導(dǎo)者，每一區(qū)域表示一組，組與組之間用黑色的有向箭頭連接，有向的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 有向的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

取增益常數(shù)，按照上述的有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖給出非線性動力系統(tǒng)無時滯時的位置誤差軌跡和速度誤差軌跡分別如圖2和圖3所示。在有時滯的條件下，系統(tǒng)的位置誤差軌跡和速度誤差軌跡分別如圖4和圖5所示。

圖2 無時滯時的位置誤差軌跡

圖3 無時滯時的速度誤差軌跡

圖4 有時滯時的位置誤差軌跡

圖5 有時滯時的速度誤差軌跡

從圖2和圖3可以看出，二階非線性多智能體系統(tǒng)在無時滯的情況下，其跟隨者的位置和速度與領(lǐng)導(dǎo)者的位置與速度之間的誤差曲線趨于0，同時也說明了該系統(tǒng)實現(xiàn)了組一致性；從圖3和圖4可以看出，智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間的誤差也趨于0，即多智能體系統(tǒng)在有時滯的影響下也能夠?qū)崿F(xiàn)組一致性。

（1）無時滯非線性多智能體系統(tǒng)的群組一致性

假設(shè)智能體的初始狀態(tài)為：[-1.0，-0.9，-0.5，0.6，0.9，1.0，0.7，0.8，0.2，1.0，0.5，-0.3，0.4，-0.4，0.2，-0.2，0.1，-0.1，0.8，-0.8]。

（2）有時滯非線性多智能體系統(tǒng)的群組一致性

假設(shè)智能體的初始狀態(tài)為：[-10，-9，-11，12，9，1，-1，8，2，10，6，-12，7，-4，11，-4，6，-7，9，-8]。

4 結(jié)語

本文設(shè)計了分布式領(lǐng)導(dǎo)跟隨控制協(xié)議，運用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式分別給出了連續(xù)時間多智能體系統(tǒng)在有通信時滯和通信時滯為0的2種情形下能夠?qū)崿F(xiàn)3組一致性的充分條件。為了能讓理論成果得到進(jìn)一步的論證，采用Matlab數(shù)學(xué)軟件對結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬，通過仿真圖可以看到多智能體系統(tǒng)在控制協(xié)議下誤差的各個狀態(tài)均趨于0，說明多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)了組一致性。