碳納米管增強水泥基復合材料的二維代表單元研究

吳正昊 應黎坪 楊宏明 彭一江

摘 要：為了從細微觀尺度上研究碳納米管-水泥基復合材料的損傷破壞過程和破壞機理，從碳納米管-水泥基復合材料中選取尺寸為100 μm×100 μm的代表單元，建立二維代表單元的細微觀層次的數(shù)值模型。以勢能原理的基面力元法為理論基礎(chǔ)，對代表單元進行數(shù)值模擬，探究在單軸受壓狀態(tài)下碳納米管-水泥基復合材料的力學性能變化，并繪制破壞裂紋的發(fā)展過程圖和最大主應力分布變化過程圖。結(jié)果表明，該代表單元模型能夠較真實地模擬復合材料在單軸壓縮狀態(tài)下的損傷破壞過程，通過數(shù)值模擬不同含量的復合材料代表單元模型，發(fā)現(xiàn)增強體的含量影響著復合材料的強度及韌性，選擇合適的含量范圍有利于提升材料的力學性能。通過數(shù)值模擬的方法分析碳納米管增強水泥基復合材料的作用機理，拓展了基面力元法的應用范圍，節(jié)約了計算資源，其結(jié)果豐富了碳納米管-水泥基復合材料力學性能的研究，可為相關(guān)工程應用及基礎(chǔ)研究提供參考。

關(guān)鍵詞：復合建筑材料;碳納米管;代表單元;基面力元法;數(shù)值模擬

中圖分類號：TU529.0?文獻標識碼：A

doi： 10.7535/hbgykj.2020yx04001

文章編號：1008-1534（2020）04-0211-07

Abstract：In order to study the damage process and failure mechanism of carbon nanotubes reinforced cementitious composites on the micro scale， a representative volume element with the size of 100 μm×100 μm was selected from the composites to?establish?the numerical model of two-dimensional representative volume element at the meso-and micro-scales. According to the theory of the base force element method based on potential energy principle， a representative volume element was simulated to investigate the change of mechanical properties of carbon nanotubes reinforced cementitious composites under the uniaxial compression and draw the charts of the failure processes and the maximum principal stress distributions. The results show that the model can truly simulate the damage and failure processes of composite materials under the uniaxial compression. Through the numerical simulation of the representative volume element models of composites with different carbon nanotubes contents， it is found that the content of enhancement has an effect on the strength and toughness of composites， and choosing the appropriate content range is conducive to improve the mechanical properties of the materials. By means of numerical simulation method， the mechanism of carbon nanotubes reinforced cementitious composites is analyzed， which is beneficial to the expansion of the?application?scope of base force element method and the saving of computing resources. The results enrich the study of mechanical properties of carbon nanotubes reinforced cementitious composites， and provide a reference for relevant engineering application and basic research.

Keywords：composite building materials; carbon nanotubes; representative volume element; base force element method;?numerical?simulation

21世紀以來，水泥基復合材料逐步成為建筑工程領(lǐng)域應用最廣、用量最大的工程材料，用戶對水泥基復合材料的要求越來越高。因此，對高性能水泥基復合材料的研究是材料領(lǐng)域的研究熱點。吳中偉院士[1]為了改良水泥基材料抗拉、抗折性能較弱的力學特性，在材料中混合加入纖維以達到增韌的效果。然而，水泥基材料中的內(nèi)部缺陷多為納米尺度，故添加一些納微級的增強體制成復合材料，可以更好地達到增強、阻裂、增韌等方面的目的。在納微級纖維材料不斷發(fā)展的今天，碳納米管因其高彈模、大長徑比等特點，被越來越多的學者深入研究并應用。對于碳納米管與水泥基復合材料的研究尚處于試驗探索階段，特別是數(shù)值模擬分析及增強、增韌機理研究還處于起步、摸索階段。

目前，在碳納米管增強水泥基復合材料方面的研究成果相對較少，且以試驗為主。MAKER等[2]通過聲波降解、蒸發(fā)研磨，最早測得了碳納米管-水泥基復合材料的彈性模量和強度。TRETTIN等[3]在高強混凝土中加入多壁碳納米管，使其力學性能顯著提升。為了改善水泥砂漿內(nèi)部孔隙，LI等[4]使用質(zhì)量分數(shù)為0.5%的多壁碳納米管作為增強相來密實復合材料，增強后其抗壓、抗折強度分別提升了19%和25%。徐世烺等[5]將質(zhì)量分數(shù)為1.5%的多壁碳納米管作為增強相摻入M140砂漿，以羥基化分散劑和水分散劑作對比，觀察其增強效果。當以水為碳納米管的分散劑時，復合材料的抗壓、抗折強度分別提高了15.9%和20.7%。

在碳納米管-水泥基復合材料的損傷機理方面，TAN等[6]通過微觀試驗發(fā)現(xiàn)因多壁碳納米管在水泥漿體中的納米填充作用，有效地改善了原先水泥基材料的孔隙率。陸富龍[7]使用多站全自動比表面積及孔徑測試系統(tǒng)測定復合材料中孔的數(shù)量及分布，并利用熱重分析和X射線衍射測試水化產(chǎn)物的力學性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)水化產(chǎn)物減少了內(nèi)部的裂縫。牛荻濤等[8]和劉巧玲等[9]分別對碳納米管的影響進行系統(tǒng)性分析，發(fā)現(xiàn)增強體在結(jié)構(gòu)中起到橋聯(lián)作用，通過電子顯微鏡進行細微觀觀察，發(fā)現(xiàn)主要增韌機理為拔出及脫粘作用。

研究表明，利用納米結(jié)構(gòu)與宏觀結(jié)構(gòu)的某些相似性，采用連續(xù)介質(zhì)力學的基本理論進行唯象分析，是非常有效的方法。在材料性能研究領(lǐng)域，由于分子動力學和量子力學所需計算存儲空間較大、占用的計算資源較多，其逐漸被基于連續(xù)介質(zhì)力學的有限單元法所取代。在材料細微觀研究中，WAN等[10]建立基于連續(xù)介質(zhì)的有限元模型，針對加載過程中的應變能的變化，選取長度不同的單壁納米管，研究其增強復合材料的載荷傳遞機理。姚小虎等[11]在分析單壁碳納米管在純彎和軸壓情況下的變形問題時，采用有限元的方式進行建模，并用分子動力學進行了驗證，通過對比證明了在碳納米管細微觀中應用有限元法的正確性。

2003年，GAO[12]提出基面力的概念，并在空間三維體系中以顯式表達式的方式，給出任意多面體單元的剛度、柔度矩陣?；谶B續(xù)介質(zhì)力學理論，彭一江[13]提出新型有限元方法-基于勢能原理的基面力元法。2014年，基面力元法被應用在再生混凝土的細觀研究中[14-15]。PENG等[16]成功將基面力元法應用于再生混凝土三維損傷問題中。隨后，孟德泉等[17]、崔云璇等[18]、楊欣欣等[19]不斷擴大基面力元法的應用范圍，分別在不同應變率下的隨機骨料模型、細觀等效模型中進行模擬，還結(jié)合圖像處理技術(shù)對真實骨料進行細觀分析。

本文基于勢能原理基面力元法，在細微觀尺度上建立碳納米管-水泥基復合材料代表單元（representative volume element， RVE）模擬單軸受拉試驗。在細微觀尺度上，繪制應力-應變?nèi)€，并探求縫紋演變及其延伸規(guī)律，以及碳納米管材料在復合材料中起到的增強增韌作用機理。本研究拓展了基面力元法的應用范圍，節(jié)約了計算資源，為在細微觀尺度上研究碳納米管-水泥基復合材料提供了新的方法。

1?數(shù)值模型

1.1?勢能基面力元法

勢能原理基面力元法較之常規(guī)有限元方法，在求解過程中不需要進行積分，可以減少對能量方程求積分的計算過程，節(jié)約了計算資源。單元剛度矩陣是有限元方法的核心，本文采用三角形基面力單元[20]，如圖1所示。

1.2?損傷本構(gòu)模型

在臨近壓應力峰值時，水泥基材料呈現(xiàn)出較為明顯的非線性特征。因此，基于雙折線損傷本構(gòu)模型，本文中的水泥基材料使用多折線損傷本構(gòu)模型，如圖2所示。

根據(jù)分子動力學模擬[21-22]得到的軸向拉壓與壓縮的應力-應變關(guān)系，通過名義應變-應力與真實應力-應變的轉(zhuǎn)換，可得到碳納米管損傷模型，如圖3所示。

本文采用的各相材料參數(shù)見表1。

1.3?二維代表單元模型

完整的復合材料細觀模型包含大量力學性能差異較大的增強相、基體等，分析材料整體力學性質(zhì)時，完整模型的計算量過大。因此，根據(jù)均勻化的思想，假設(shè)復合材料為一個周期性的均勻材料，引入一個合適的單位微元體，稱之為代表單元體。將真實非均勻的復合材料轉(zhuǎn)化成均質(zhì)化的材料，在此基礎(chǔ)上展開計算分析，大大節(jié)約了計算資源和計算時間，并保證了計算值的精確度。

在建立二維代表單元模型時，首先選擇合適的單元尺寸。當代表單元體的尺寸與夾雜相的尺寸之比達到6及6以上[23]時，其力學性能的計算結(jié)果保持穩(wěn)定。本文選取的碳納米管長度為15 μm，代表單元體尺寸為100 μm×100 μm，這時的代表單元體尺寸與夾雜相尺寸的比值為6.67。碳納米管的位置坐標和角度由蒙特卡羅法產(chǎn)生的隨機數(shù)確定，投放到代表單元中。使用Fortran編譯程序里QuickWin圖形顯示模塊編譯繪圖軟件，投放過后代表單元圖如圖4所示。本文選用三角形單元網(wǎng)格剖分，并使用單元映射的方法進行單元屬性的判定。

2?數(shù)值模擬

2.1?加載模型

在單軸靜態(tài)壓縮條件下，本文所建立的代表單元的加載模型如圖5所示。在數(shù)值模擬時，底部邊緣的節(jié)點全部進行豎向位移約束，底部中心節(jié)點進行水平位移和豎向位移2個方向的約束。二維代表單元模型的尺寸為100 μm×100 μm，加載方式為均布位移逐級加載，加載步長取0.005 μm/加載步。選取的代表單元中碳納米管的含量為0.2%（體積分數(shù)，下同）。

2.2?試驗對比

為了驗證代表單元模型的有效性，本文選取相同摻量的復合材料，與高良麗[24]的壓縮試驗結(jié)果進行對比。根據(jù)短纖維增強的強度理論，則復合材料的平均應力為

式中：σc為復合材料中碳納米材料的平均應力;σm為水泥基材料中的應力;cc為碳納米管材料在復合材料中的體積比;cm為水泥基材料在復合材料中的體積比。在單軸壓縮過程中可視為整個單元模型的平均應變?yōu)棣牛瑒t根據(jù)復合材料力學計算公式[25]，可得：

式中：V為復合材料的體積，在二維模型中可視為面積;σk為第k個單元的軸向應力;εk為第k個單元對應的應變;Vk為第k個單元的面積。對應力-應變曲線進行無量綱化，以σ/σ0為縱坐標軸，以ε/ε0為橫坐標軸，繪制試驗和數(shù)值模擬的無量綱的應力-應變曲線（見圖6）。

從圖6可以看出，在峰值應變前，本文建立的模型與試驗所得的曲線的發(fā)展趨勢一致;當達到峰值應變后迅速發(fā)生破壞，應力極速下降，且對下降趨勢的描述較為一致。比較的結(jié)果驗證了代表單元模型的準確性。

2.3?數(shù)值模擬結(jié)果分析

圖7展現(xiàn)了代表單元破壞過程及破壞裂紋的發(fā)展過程。由圖可知，破壞單元最開始出現(xiàn)在碳納米管與水泥基體交界處。隨著加載的進行，裂紋和破壞單元逐漸發(fā)展增多，并沿著基體交界處發(fā)展。因為代表單元模型受到的是豎向受壓荷載，因此縱向或偏縱向分布的碳納米管周圍單元最先出現(xiàn)破壞，并且破壞發(fā)生的最快;而橫向或偏橫向分布的碳納米管單元因其與加載荷載相互垂直，起到聯(lián)結(jié)作用，其周圍單元不易發(fā)生破壞，并且因碳納米管單元強度高、彈模大，故未發(fā)生破壞，并且?guī)椭車鷨卧謸糠謶?，從而周圍被破壞的單元較少。此過程與圖7所顯示的破壞過程一致。已發(fā)生破壞的單元無法繼續(xù)傳遞應力，故圖中所描述現(xiàn)象切合實際情況，證實了數(shù)值模擬的加載破壞過程的合理性和正確性。

圖8展現(xiàn)了不同加載步時，模型的最大主應力分布。由圖可知，數(shù)值模擬初期，因為碳納米管與水泥基材料材性差別較大，已出現(xiàn)應力分布不均勻的現(xiàn)象。隨著加載的進行，應力分布不均勻的程度加劇，碳納米管與水泥基材料的結(jié)合處為相對薄弱處，發(fā)生應力集中現(xiàn)象，開始出現(xiàn)被破壞的單元。應力伴隨著破壞發(fā)生重分布，破壞單元兩側(cè)的單元可承受應力降低，裂紋破壞加寬加大，裂紋主要方向為斜側(cè)45°。加載繼續(xù)進行，破壞單元區(qū)域相互連接起來，發(fā)生合并貫穿現(xiàn)象，材料逐漸失效，最終導致模型破壞的發(fā)生。通過應力分布圖，可以較為清晰地看出增強相附近區(qū)域的應力較大。在受壓過程中，碳納米管單元承擔的應力較大，起到增強復合材料的作用。因此在制備復合材料時應當充分將增強體均勻分散，以達到最有效的力學性能。

3?碳納米管含量的影響

為了進一步探究碳納米管含量對于復合材料強度的影響，分別選取0.1%，0.2%，0.3%，0.4%，05%的5種不同碳納米管含量的復合材料模型，進行單軸靜態(tài)壓縮模擬?；谏鲜鼋⒌亩S代表單元損傷分析程序進行損傷計算和機理分析。

圖9為單軸靜態(tài)壓縮條件下，5種不同含量的碳納米管的復合材料代表單元的應力-應變曲線。不同的復合材料二維代表單元的計算數(shù)值（包括峰值壓應力、應力提高率的具體數(shù)值）如表2所示。

可以從圖9中較為直觀地看到，當碳納米管含量為0.2%時復合材料的抗壓性能最強。與普通水泥基材料對比，強度提升了27.22%，說明增加碳納米管的含量后，對水泥基材料的抗壓性能有明顯的增強作用。應力峰值隨著碳納米管含量的不同而發(fā)生改變，且碳納米管含量存在最佳值。在本模型中，最佳含量值應處于0.1%～0.3%。當碳納米管含量小于最佳值時，其抗壓強度和抗壓性能隨著含量的增大而增大;當碳納米管含量大于最佳值時，其抗壓強度和抗壓性能隨著含量的增大而減小。

通過上述模擬，發(fā)現(xiàn)碳納米管的增強效果與其含量有關(guān)，但是復合材料的強度并沒有隨著碳納米管含量的增加而一直增加，證明了復合材料在增加增強相含量時，存在最佳取值范圍。在復合材料中，碳納米管表面包裹著羧酸化形成的水化物，因此兩者交界處的作用力主要是化學作用力，起著橋聯(lián)的作用。當出現(xiàn)局部斷裂時，由于拔出作用，分擔了大部分外力，消耗了大量能量。同時，碳納米管的摻入發(fā)生了納米充填作用，大大降低了復合材料中的孔隙率，改善了部分孔結(jié)構(gòu)，使水泥基材料在細微觀下的結(jié)構(gòu)更為致密。

4?結(jié)?語

通過對碳納米管-水泥基復合材料二維代表單元模型進行單軸靜態(tài)壓縮的數(shù)值模擬，得出以下結(jié)論。

1）碳納米管-水泥基復合材料二維代表單元模型，能較準確地反映出代表單元在加載過程中破壞裂紋的發(fā)展過程和最大主應力分布變化過程。在單軸靜態(tài)壓縮條件下，碳納米管與水泥基材料交界處發(fā)生應力集中，破壞單元最先出現(xiàn)，隨著加載的進行，裂紋破壞加寬加大，裂紋主要方向為斜側(cè)45°。

2）碳納米管在復合材料中起橋聯(lián)的作用，并且因為納米充填作用，提升了材料的密實度。當發(fā)生斷裂時，碳納米管的拔出作用可對復合材料起到增韌作用。此外，選擇合適的碳納米管含量有利于提升材料的力學性能。

3）二維模型可以較好地模擬代表單元的應力-應變關(guān)系和損傷破壞過程，但是對于三維空間中碳納米管的真實分布狀態(tài)及其影響尚不知曉。未來可以拓展使用三維基面力元法，模擬研究三維材料單元的損傷破壞過程。

參考文獻/References：

[1]吳中偉. 高強、特高強水泥基材料的研究與應用[J]. 混凝土與水泥制品， 1992（5）： 4-9.

WU Zhongwei. Research and application of high-strength and extra-high-strength cement-based materials[J]. China Concrete and Cement Products， 1992（5）： 4-9.

[2]MAKER J M， MARGESON J C， LUH J. Carbon nanotube/cement composites-early results and potential applications[C]// Proceedings of 3rd International Conference on Construction Materials： Performance， Innovations and Structural Implications. Vancouver： [s.n.]， 2005： 1-10.

[3]TRETTIN?R，KOWALD T. Nanotubes for high-performance concrete[J]. Betinwerk Fertigteil Tech， 2005， 71（2）： 20-21.

[4]LI G Y， WANG P M， ZHAO X H. Mechanical behavior and microstructure of cement composites incorporating surface-treated multi-walled carbon nanotubes[J]. Carbon， 2005， 43（6）： 1239-1245.

[5]徐世烺， 高良麗， 晉衛(wèi)軍. 定向多壁碳納米管-M140砂漿復合材料的力學性能[J]. 中國科學（E輯：技術(shù)科學）， 2009， 39（7）： 1228-1236.

[6]TAN Jingmei， WANG Aiguo， SU Wenjun. Mechanism of the modified carbon nanotubes toughening DSP cement mortar[J]. Applied Mechanics and Materials， 2015， 723： 406-409.

[7]陸富龍. 碳納米管對水泥基材料的作用機理研究[D]. 廣州：廣州大學， 2019.

LU Fulong. Study on the Machanism of Carbon Nanotubes on Cement Based Materials[D]. Guangzhou： Guangzhou University， 2019.

[8]牛荻濤， 何嘉琦， 傅強， 等. 碳納米管對水泥基材料微觀結(jié)構(gòu)及耐久性能的影響[J]. 硅酸鹽學報， 2020， 48（5）：705-717.

NIU Ditao， HE Jiaqi， FU Qiang， et al. Effect of carbon nanotubes on microstructure and durability of cement-based materials[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society， 2020， 48（5）： 705-717.

[9]劉巧玲， 李漢彩， 彭玉嬌， 等. 多壁碳納米管增強水泥基復合材料的納米力學性能[J]. 復合材料學報， 2020， 37（4）：952-961.

LIU Qiaoling， LI Hancai， PENG Yujiao， et al. Nanomechanical properties of multi-wall carbon nanotubes/cementitious composites [J]. Acta Materiae Compositae Sinica， 2020， 37（4）：952-961.

[10]WAN H， DELALE F， SHEN L. Effect of CNT length and CNT-matrix interphase in carbon nanotube （CNT） reinforced composites[J]. Mechanics Research Communications， 2005， 32（5）： 481-489.

[11]姚小虎， 韓強， 辛浩. 單壁碳納米管非線性力學行為的數(shù)值模擬[J]. 物理學報， 2008，57（1）： 335-344.

YAO Xiaohu， HAN Qiang， XIN Hao. Numerical simulation of nonlinear mechanical behaviour of single-walled carbon nanotubes[J]. Acta Physica Sinica， 2008，57（1）： 335-344.

[12]GAO Y C. A new description of the stress state at a point with applications[J]. Archive of Applied Mechanics， 2003， 73（3）： 171-183.

[13]彭一江. 基于基面力概念的新型有限元方法[D]. 北京：北京交通大學， 2006.

PENG Yijiang. The New Finite Element Method on Potential Energy Principle by Base Forces[D]. Beijing： Beijing Jiaotong University， 2006.

[14]浦繼偉. 基面力元法在再生混凝土細觀損傷分析中的應用[D]. 北京：北京工業(yè)大學， 2014.

PU Jiwei. The Application of Base Force Element Method in Recycled Concrete Meso Damage Analysis[D]. Beijing： Beijing University of Technology， 2014.

[15]PENG Yijiang， PU Jiwei. Micromechanical investigation on size effect of tensile strength for recycled aggregate concrete?using?BFEM[J]. International Journal of Mechanics and Materials in Design， 2016， 12（4）： 525-538.

[16]PENG Yijiang， WANG Yao， GUO Qing， et al. Application of base force element method to mesomechanics analysis for concrete[J]. Mathematical Problems in Engineering， 2014（5）： 1-11.

[17]孟德泉， 應黎坪， 楊欣欣. 基于界面等效模型的再生混凝土基面力元分析[J]. 河北工業(yè)科技， 2018， 35（4）： 248-254.

MENG Dequan， YING Liping， YANG Xinxin. Analysis of?recycled?concrete base on interface equivalent model using base force element method[J]. Hebei Journal of Industrial Science and Technology， 2018， 35（4）： 248-254.

[18]崔云璇， 應黎坪， 陳曦昀， 等. 不同應變率下再生混凝土動態(tài)力學性能分析[J]. 廣西大學學報（自然科學版）， 2018， 43（4）： 1547-1553.

CUI Yunxuan， YING Liping， CHEN Xiyun， et al. Analysis of dynamic mechanical properties of recycled concrete under different strain rates[J]. Journal of Guangxi University（Natural Science Edition）， 2018， 43（4）： 1547-1553.

[19]楊欣欣， 應黎坪， 彭一江. 基于數(shù)字圖像處理技術(shù)的再生混凝土數(shù)值模擬[J]. 河北工業(yè)科技， 2018， 35（5）： 329-334.

YANG Xinxin， YING Liping， PENG Yijiang. Numerical simulation of recycled concrete based on digital image processing technology[J]. Hebei Journal of Industrial Science and Technology， 2018， 35（5）： 329-334.

[20]彭一江， 金明. 基于基面力概念的新型勢能原理有限元方法[J]. 北京工業(yè)大學學報， 2007， 33（7）： 687-692.

PENG Yijiang， JIN Ming. The new finite element method on potential energy principle by base forces[J]. Journal of Beijing University of Technology， 2007， 33（7）： 687-692.

[21]NI B， SINNOTT S B， MIKULSKI P T， et al. Compression of carbon nanotubes filled with C60， CH4， or Ne： Predictions from molecular dynamics simulations[J]. Physical Review Letters， 2002， 88（20）： 205505.

[22]付稱心， 陳云飛， 焦繼偉. 單壁碳納米管拉伸試驗的分子動力學模擬[J]. 中國科學（E輯：技術(shù)科學）， 2008， 38（3）： 411-420.

[23]徐波. 基于材料細觀結(jié)構(gòu)的混凝土數(shù)值模擬與性能分析[D]. 杭州：浙江大學， 2008.

XU Bo. Numerical Simulation and Performance Studies of Concrete Based on Matcrial Meso-structures[D]. Hangzhou： Zhejiang University， 2008.

[24]高良麗. 多壁碳納米管增強M140DSP砂漿的力學性能研究[D]. 大連：大連理工大學， 2009.

GAO Liangli. Study on Mechanical Properties of Multi-walled Carbon Nanotubes Reinforcing M140DSP Motar[D]. Dalian： Dalian University of Technology， 2009.

[25]沈觀林， 胡更開. 復合材料力學[M]. 北京：清華大學出版社， 2006.