高中教師資格考試高等代數(shù)試題分析與教學思考

程曉亮，付 澤，鄭 晨

目前，除內(nèi)蒙古、新疆、西藏等少數(shù)幾個省市的師范生外，其他省市的師范生和非師范生均需通過全國統(tǒng)一的教師資格考試這一必要條件，才能獲得教師資格證書，從事教師職業(yè).全國教師資格統(tǒng)考由筆試和面試兩部分組成，普通高中數(shù)學教師筆試考三個科目，即綜合素質(zhì)、教育知識與能力和數(shù)學學科知識與教學能力，三科均合格才可以參加面試.就筆者所在單位參加考試和所了解的情況看，三個科目中數(shù)學學科知識與教學能力通過率相對較低.這一科目筆試包含數(shù)學學科知識、課程知識與教學知識等方面，而數(shù)學學科知識不僅涉及數(shù)學專業(yè)基礎課中的數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等內(nèi)容，也涉及其他課程的基礎內(nèi)容與思想方法.現(xiàn)對2014 年—2019 年全國教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力科目中出現(xiàn)的高等代數(shù)題目加以統(tǒng)計分析，以期在課程建設與教學改革方面得到一些啟示.

1 高等代數(shù)題目的統(tǒng)計分析

1.1 數(shù)學學科知識與教學能力試卷整體情況

全國教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力科目的考試時間為120 分鐘，滿分150分，考試形式為閉卷.試卷由選擇題、簡答題、解答題、論述題、案例分析題、教學設計題六種題型組成，其題目數(shù)與分值情況大致如下：選擇題8 道，每小題5 分，共40 分；簡答題5道，每小題 7 分，共 35 分；解答題 1 道，共 10分；論述題 1 道，共 15 分；案例分析題 1 道，共20 分；教學設計題 1 道，共 30 分 .整張試卷中，論述題、案例分析題、教學設計題考查課程知識與教學知識，選擇題和簡答題中也有部分內(nèi)容涉及課程知識與教學知識；考查數(shù)學學科知識的題型主要是選擇題、簡答題和解答題，題目分數(shù)占比約為40%.

1.2 試卷中高等代數(shù)內(nèi)容統(tǒng)計分析

2014 年—2019 年全國教師資格考試數(shù)學學科知識與教學能力科目，共計11 套試卷，其中有28 道題目考查了高等代數(shù)內(nèi)容.高等代數(shù)課程的知識點總體可以分為：多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等［1-3］.在 11 套試卷中，矩陣考查次數(shù)最多，共考查7 次；其次是對線性方程組的考查，共考查6 次；對線性變換共考查5 次；對多項式、線性空間、二次型、歐幾里得空間以及行列式的考查為1～3 次.除此以外，通過對11 套試卷的統(tǒng)計可知，在教師資格考試中高等代數(shù)考查的試題類型為以下三種：單項選擇題、簡答題和解答題.具體如圖1 所示.

圖1 11 套試卷中題型與題目數(shù)統(tǒng)計

從圖1 可以看出，多項式僅以選擇題的形式考查2 次；行列式僅以選擇題的形式考查1次；線性方程組考查形式分別為選擇題和簡答題，各考查3 次；矩陣以選擇題的形式考查3 次，以簡答題的形式考查4 次；二次型僅以選擇題的形式考查2 次；線性變換以選擇題的形式考查5 次；線性空間的考查形式為選擇題、簡答題和解答題，各考查1 次，而且這是11 套試卷中唯一一道以解答題形式考查的知識點；最后是歐幾里得空間分別以選擇題和簡答題的形式各考查1 次.由此可見選擇題和簡答題是歷年的必考題型，其中選擇題考查學生的基礎知識和運算能力；簡答題考查學生的分析問題和解決問題的能力；雖然在11套試卷中，解答題僅考查一次，但考查的是學生綜合運用的能力.

11 套試卷中所考查的各知識點的分值情況統(tǒng)計如圖2 所示.

圖2 各知識點與分值情況統(tǒng)計

從圖2 可以看出，矩陣考查的分值最高；其次是線性方程組；排在第三位的是線性變換.

高等代數(shù)內(nèi)容總體知識點又可以分為各個具體知識點，其知識點類型分為定義、公式與法則、定理及其應用.11 套試卷考查定義12次、考查公式與法則6 次、考查定理及其應用7 次.可見教師資格考試不僅考查學生對基礎定義和重要概念的理解、考查學生對高等代數(shù)中重要的公式法則和定理的掌握、更重要的是考查學生對數(shù)學思想方法的掌握和綜合運用的能力.

2 試卷中高等代數(shù)典型問題解題分析

2.1 概念性問題解題分析

2018 年上半年高中數(shù)學教師資格考試，數(shù)學知識與教學能力科目中簡答題第9 題為高等代數(shù)問題，考查在什么條件下，一個二階矩陣存在逆矩陣，并求出其逆矩陣.

該題目考查的是矩陣可逆的定義以及求矩陣的逆矩陣的方法，即求逆矩陣的公式.解題的關鍵首先是掌握逆矩陣的定義及其等價條件.方陣可逆等價于其行列式不為零，等價于其行向量（列向量）組線性相關，等價于其特征值均不為零，等等.由此可見，這里蘊含著高等代數(shù)中的諸多關鍵性概念.另外，當一個矩陣可逆時，求其逆矩陣的方法也不唯一，這里由逆矩陣與伴隨矩陣之間的關系，很容易求出逆矩陣.只從能夠解題的角度來看，該問題就是考查了矩陣可逆的定義、二階行列式的定義、伴隨矩陣的定義及利用其求逆矩陣的公式，屬于著重考查概念的問題.具體解答程序：利用行列式不為零得出矩陣存在逆的條件，再利用伴隨矩陣的定義求出伴隨矩陣，最后由逆矩陣與伴隨矩陣之間的關系求出逆矩陣.

2.2 定理性問題解題分析

2016 年下半年高中數(shù)學教師資格考試，數(shù)學學科知識與教學能力科目中簡答題第10題：敘述一般的非齊次線性方程組有解的充要條件；并求一個含有四個未知元，三個方程的非齊次線性方程組的通解.

一般的線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相同，當然，據(jù)此齊次線性方程組必然有解，并且有無窮多組解.為了求出一般非齊次線性方程組的通解，只需要找出該線性方程組的一個特殊解以及導出組的全部解，進而需要求出對應的齊次線性方程組的基礎解系，以此表示出其所有解.這里考查的是線性方程組有解的判定定理、非齊次線性方程組與其導出組的解之間的關系定理以及解線性方程組的方法.屬于考查基本定理以及求解公式范疇.具體解題程序：首先對非齊次線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換，得出與其同解的簡化方程，求出一個特解；再求出對應的齊次方程組的基礎解系；最后表示出原方程組的通解.

基于對國家教師資格考試中高等代數(shù)內(nèi)容的統(tǒng)計與分析，為切實提高課程的教學質(zhì)量，對高等代數(shù)課程的教學需要進行一些反思.

3 高等代數(shù)課程的教學思考

高等代數(shù)是所有數(shù)學教育專業(yè)都需要開設的一門基礎課，一般在大學的第一、第二兩個學期開課，每周 4 學時左右［4-5］.作為第一學期開設的課程，學生一般需要轉(zhuǎn)換學習的方式方法，來適應課程的學習.根據(jù)國家教師資格考試中針對高等代數(shù)課程的內(nèi)容及特點，在教學中需要關注以下兩個問題.

3.1 聯(lián)系初等數(shù)學深化基礎知識的教學

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 版）》中明確指出，數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的［6］.高等代數(shù)所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析.核心素養(yǎng)這一概念對數(shù)學教育提出了更高的要求，課程改革需要不斷地應對時代的挑戰(zhàn).高等代數(shù)是初等數(shù)學中代數(shù)知識的推廣和一般化，是在具體的代數(shù)結構的基礎上得出的公理化的論述，也就是從個性中提煉出來的共性.在課程教學改革實踐中，不僅要挖掘初高等代數(shù)知識體系方面的聯(lián)系，更要挖掘數(shù)學思想方法、數(shù)學觀念方面的聯(lián)系［7］.繪制知識結構框圖與思維導圖，展示初高等代數(shù)知識和思想方法的整體結構、體現(xiàn)新舊知識之間的聯(lián)系、凸顯數(shù)學學科核心素養(yǎng).在此基礎上，使學生更加深刻的理解新知識的本質(zhì)和規(guī)律.

高等代數(shù)是中學數(shù)學的深入和提升，它不僅解釋了許多中學數(shù)學中沒能解釋清楚的問題.例如，線性方程組理論、多項式的根及因式分解理論等，而且還以中學數(shù)學中所涉及的平面向量、實數(shù)為例，引入了向量空間、數(shù)環(huán)、數(shù)域，進而引入了歐氏空間等代數(shù)系統(tǒng).因此，教學中可以充分考慮中學數(shù)學所學，循序漸進的引導學生認識知識與思想方法的一般化過程，進而再利用高等代數(shù)的觀點和方法來指導學生的中學數(shù)學的學習.中學代數(shù)講過簡單線性方程組的解法，高等代數(shù)中討論一般線性方程組有解的判斷及其解法，可以利用初等代數(shù)的具體例子詳細演示一般化過程，降低新知識學習的難度.同時，在學習了一般有限維歐氏空間等高等代數(shù)知識后，再去考慮中學數(shù)學中二維平面和三維空間的向量及其各種運算、坐標系與坐標軸、長度以及各種角度問題時，便非常清晰明了.引導學生將大學知識與中學知識串聯(lián)起來，站在更高的層次去看待中學的知識，順利實現(xiàn)思維方式和學習方法的過渡與轉(zhuǎn)變.利用高等代數(shù)的理論、方法和觀點去剖析中學數(shù)學的方法和問題，深刻理解中學數(shù)學有關知識內(nèi)容的來龍去脈.

3.2 結合知識體系的構建加強解題訓練

數(shù)學學科具有高度的抽象性，嚴密的邏輯性.數(shù)學學科知識與教學能力科目中的高等代數(shù)試題在充分體現(xiàn)學科特點的前提下，將高等代數(shù)知識進行整合，結合教材選取有代表性的母題進行演變，全面考查高等代數(shù)基本的定義、性質(zhì)、定理及應用，強調(diào)各知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分的檢測學生的計算能力、邏輯推理能力、綜合分析能力等數(shù)學能力，而不是孤立的考查某一種能力［8］.同時還涉及到對高等代數(shù)的思想方法的考查，高等代數(shù)的數(shù)學思想包括：抽象性思想、公理化思想、一般化思想、初等變換的思想、辯證思維的思想、關系映射反演思想等.教學中不僅要注重讓學生理解概念的背景，定理的推理過程及應用，更應該使其掌握高等代數(shù)的思想方法以及某些現(xiàn)實來源；不僅要重計算，更要重理論；不僅要重解題，更要重應用.在遵循數(shù)學學科特性的基礎上，通過不斷地分析、綜合、運算、判斷、推理，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)與高等代數(shù)的教學有機融合，指引著教育模式和學習方式的根本性轉(zhuǎn)變［9］.只有綜合而全面地學習和理解才能真正的培養(yǎng)學生的抽象思維，提高邏輯推理能力，養(yǎng)成應用意識，提升數(shù)學素養(yǎng).

通過前面的分析可以知道，矩陣、線性方程組和線性變換這三個知識點無論是在題目數(shù)量、題型還是分值統(tǒng)計等方面考查的居多，如果對高等代數(shù)的知識體系比較了解，就可以理解這些題目出現(xiàn)的必然性.因此在加強解題實踐的過程中，應該側(cè)重引導學生構建高等代數(shù)知識體系，深化對高等代數(shù)課程的認識，從而進一步提升解決問題的能力，形成良性循環(huán).

4 結語

數(shù)學學科知識與教學能力科目中數(shù)學學科知識這部分，往往通過考查學生應用知識的能力，來考查學生的學科知識素養(yǎng).其中，高等代數(shù)的內(nèi)容相對抽象，與其他科目特別是解析幾何交叉融合.通過國家教師資格統(tǒng)一考試是從事教師職業(yè)的“敲門磚”，同時，考試的通過率也反觀了高等師范院校的教育教學質(zhì)量.高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)一門重要的基礎課程，任課教師應該關注國家教師資格考試中高等代數(shù)所考查的內(nèi)容，以此作為一個切入點，思考如何進行教學改革，才能提高教學效果，促進學生長遠發(fā)展.