高中教師資格考試高等代數(shù)試題分析與教學(xué)思考

程曉亮，付 澤，鄭 晨

目前，除內(nèi)蒙古、新疆、西藏等少數(shù)幾個(gè)省市的師范生外，其他省市的師范生和非師范生均需通過(guò)全國(guó)統(tǒng)一的教師資格考試這一必要條件，才能獲得教師資格證書(shū)，從事教師職業(yè).全國(guó)教師資格統(tǒng)考由筆試和面試兩部分組成，普通高中數(shù)學(xué)教師筆試考三個(gè)科目，即綜合素質(zhì)、教育知識(shí)與能力和數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力，三科均合格才可以參加面試.就筆者所在單位參加考試和所了解的情況看，三個(gè)科目中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力通過(guò)率相對(duì)較低.這一科目筆試包含數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、課程知識(shí)與教學(xué)知識(shí)等方面，而數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)不僅涉及數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課中的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，也涉及其他課程的基礎(chǔ)內(nèi)容與思想方法.現(xiàn)對(duì)2014 年—2019 年全國(guó)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力科目中出現(xiàn)的高等代數(shù)題目加以統(tǒng)計(jì)分析，以期在課程建設(shè)與教學(xué)改革方面得到一些啟示.

1 高等代數(shù)題目的統(tǒng)計(jì)分析

1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力試卷整體情況

全國(guó)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力科目的考試時(shí)間為120 分鐘，滿分150分，考試形式為閉卷.試卷由選擇題、簡(jiǎn)答題、解答題、論述題、案例分析題、教學(xué)設(shè)計(jì)題六種題型組成，其題目數(shù)與分值情況大致如下：選擇題8 道，每小題5 分，共40 分；簡(jiǎn)答題5道，每小題 7 分，共 35 分；解答題 1 道，共 10分；論述題 1 道，共 15 分；案例分析題 1 道，共20 分；教學(xué)設(shè)計(jì)題 1 道，共 30 分 .整張?jiān)嚲碇校撌鲱}、案例分析題、教學(xué)設(shè)計(jì)題考查課程知識(shí)與教學(xué)知識(shí)，選擇題和簡(jiǎn)答題中也有部分內(nèi)容涉及課程知識(shí)與教學(xué)知識(shí)；考查數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的題型主要是選擇題、簡(jiǎn)答題和解答題，題目分?jǐn)?shù)占比約為40%.

1.2 試卷中高等代數(shù)內(nèi)容統(tǒng)計(jì)分析

2014 年—2019 年全國(guó)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力科目，共計(jì)11 套試卷，其中有28 道題目考查了高等代數(shù)內(nèi)容.高等代數(shù)課程的知識(shí)點(diǎn)總體可以分為：多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等［1-3］.在 11 套試卷中，矩陣考查次數(shù)最多，共考查7 次；其次是對(duì)線性方程組的考查，共考查6 次；對(duì)線性變換共考查5 次；對(duì)多項(xiàng)式、線性空間、二次型、歐幾里得空間以及行列式的考查為1～3 次.除此以外，通過(guò)對(duì)11 套試卷的統(tǒng)計(jì)可知，在教師資格考試中高等代數(shù)考查的試題類型為以下三種：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題和解答題.具體如圖1 所示.

圖1 11 套試卷中題型與題目數(shù)統(tǒng)計(jì)

從圖1 可以看出，多項(xiàng)式僅以選擇題的形式考查2 次；行列式僅以選擇題的形式考查1次；線性方程組考查形式分別為選擇題和簡(jiǎn)答題，各考查3 次；矩陣以選擇題的形式考查3 次，以簡(jiǎn)答題的形式考查4 次；二次型僅以選擇題的形式考查2 次；線性變換以選擇題的形式考查5 次；線性空間的考查形式為選擇題、簡(jiǎn)答題和解答題，各考查1 次，而且這是11 套試卷中唯一一道以解答題形式考查的知識(shí)點(diǎn)；最后是歐幾里得空間分別以選擇題和簡(jiǎn)答題的形式各考查1 次.由此可見(jiàn)選擇題和簡(jiǎn)答題是歷年的必考題型，其中選擇題考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力；簡(jiǎn)答題考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；雖然在11套試卷中，解答題僅考查一次，但考查的是學(xué)生綜合運(yùn)用的能力.

11 套試卷中所考查的各知識(shí)點(diǎn)的分值情況統(tǒng)計(jì)如圖2 所示.

圖2 各知識(shí)點(diǎn)與分值情況統(tǒng)計(jì)

從圖2 可以看出，矩陣考查的分值最高；其次是線性方程組；排在第三位的是線性變換.

高等代數(shù)內(nèi)容總體知識(shí)點(diǎn)又可以分為各個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)，其知識(shí)點(diǎn)類型分為定義、公式與法則、定理及其應(yīng)用.11 套試卷考查定義12次、考查公式與法則6 次、考查定理及其應(yīng)用7 次.可見(jiàn)教師資格考試不僅考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)定義和重要概念的理解、考查學(xué)生對(duì)高等代數(shù)中重要的公式法則和定理的掌握、更重要的是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握和綜合運(yùn)用的能力.

2 試卷中高等代數(shù)典型問(wèn)題解題分析

2.1 概念性問(wèn)題解題分析

2018 年上半年高中數(shù)學(xué)教師資格考試，數(shù)學(xué)知識(shí)與教學(xué)能力科目中簡(jiǎn)答題第9 題為高等代數(shù)問(wèn)題，考查在什么條件下，一個(gè)二階矩陣存在逆矩陣，并求出其逆矩陣.

該題目考查的是矩陣可逆的定義以及求矩陣的逆矩陣的方法，即求逆矩陣的公式.解題的關(guān)鍵首先是掌握逆矩陣的定義及其等價(jià)條件.方陣可逆等價(jià)于其行列式不為零，等價(jià)于其行向量（列向量）組線性相關(guān)，等價(jià)于其特征值均不為零，等等.由此可見(jiàn)，這里蘊(yùn)含著高等代數(shù)中的諸多關(guān)鍵性概念.另外，當(dāng)一個(gè)矩陣可逆時(shí)，求其逆矩陣的方法也不唯一，這里由逆矩陣與伴隨矩陣之間的關(guān)系，很容易求出逆矩陣.只從能夠解題的角度來(lái)看，該問(wèn)題就是考查了矩陣可逆的定義、二階行列式的定義、伴隨矩陣的定義及利用其求逆矩陣的公式，屬于著重考查概念的問(wèn)題.具體解答程序：利用行列式不為零得出矩陣存在逆的條件，再利用伴隨矩陣的定義求出伴隨矩陣，最后由逆矩陣與伴隨矩陣之間的關(guān)系求出逆矩陣.

2.2 定理性問(wèn)題解題分析

2016 年下半年高中數(shù)學(xué)教師資格考試，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力科目中簡(jiǎn)答題第10題：敘述一般的非齊次線性方程組有解的充要條件；并求一個(gè)含有四個(gè)未知元，三個(gè)方程的非齊次線性方程組的通解.

一般的線性方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相同，當(dāng)然，據(jù)此齊次線性方程組必然有解，并且有無(wú)窮多組解.為了求出一般非齊次線性方程組的通解，只需要找出該線性方程組的一個(gè)特殊解以及導(dǎo)出組的全部解，進(jìn)而需要求出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，以此表示出其所有解.這里考查的是線性方程組有解的判定定理、非齊次線性方程組與其導(dǎo)出組的解之間的關(guān)系定理以及解線性方程組的方法.屬于考查基本定理以及求解公式范疇.具體解題程序：首先對(duì)非齊次線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，得出與其同解的簡(jiǎn)化方程，求出一個(gè)特解；再求出對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系；最后表示出原方程組的通解.

基于對(duì)國(guó)家教師資格考試中高等代數(shù)內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)與分析，為切實(shí)提高課程的教學(xué)質(zhì)量，對(duì)高等代數(shù)課程的教學(xué)需要進(jìn)行一些反思.

3 高等代數(shù)課程的教學(xué)思考

高等代數(shù)是所有數(shù)學(xué)教育專業(yè)都需要開(kāi)設(shè)的一門(mén)基礎(chǔ)課，一般在大學(xué)的第一、第二兩個(gè)學(xué)期開(kāi)課，每周 4 學(xué)時(shí)左右［4-5］.作為第一學(xué)期開(kāi)設(shè)的課程，學(xué)生一般需要轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)的方式方法，來(lái)適應(yīng)課程的學(xué)習(xí).根據(jù)國(guó)家教師資格考試中針對(duì)高等代數(shù)課程的內(nèi)容及特點(diǎn)，在教學(xué)中需要關(guān)注以下兩個(gè)問(wèn)題.

3.1 聯(lián)系初等數(shù)學(xué)深化基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》中明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的［6］.高等代數(shù)所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.核心素養(yǎng)這一概念對(duì)數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求，課程改革需要不斷地應(yīng)對(duì)時(shí)代的挑戰(zhàn).高等代數(shù)是初等數(shù)學(xué)中代數(shù)知識(shí)的推廣和一般化，是在具體的代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上得出的公理化的論述，也就是從個(gè)性中提煉出來(lái)的共性.在課程教學(xué)改革實(shí)踐中，不僅要挖掘初高等代數(shù)知識(shí)體系方面的聯(lián)系，更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念方面的聯(lián)系［7］.繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖與思維導(dǎo)圖，展示初高等代數(shù)知識(shí)和思想方法的整體結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系、凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在此基礎(chǔ)上，使學(xué)生更加深刻的理解新知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律.

高等代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的深入和提升，它不僅解釋了許多中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)能解釋清楚的問(wèn)題.例如，線性方程組理論、多項(xiàng)式的根及因式分解理論等，而且還以中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的平面向量、實(shí)數(shù)為例，引入了向量空間、數(shù)環(huán)、數(shù)域，進(jìn)而引入了歐氏空間等代數(shù)系統(tǒng).因此，教學(xué)中可以充分考慮中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)，循序漸進(jìn)的引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)與思想方法的一般化過(guò)程，進(jìn)而再利用高等代數(shù)的觀點(diǎn)和方法來(lái)指導(dǎo)學(xué)生的中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).中學(xué)代數(shù)講過(guò)簡(jiǎn)單線性方程組的解法，高等代數(shù)中討論一般線性方程組有解的判斷及其解法，可以利用初等代數(shù)的具體例子詳細(xì)演示一般化過(guò)程，降低新知識(shí)學(xué)習(xí)的難度.同時(shí)，在學(xué)習(xí)了一般有限維歐氏空間等高等代數(shù)知識(shí)后，再去考慮中學(xué)數(shù)學(xué)中二維平面和三維空間的向量及其各種運(yùn)算、坐標(biāo)系與坐標(biāo)軸、長(zhǎng)度以及各種角度問(wèn)題時(shí)，便非常清晰明了.引導(dǎo)學(xué)生將大學(xué)知識(shí)與中學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，站在更高的層次去看待中學(xué)的知識(shí)，順利實(shí)現(xiàn)思維方式和學(xué)習(xí)方法的過(guò)渡與轉(zhuǎn)變.利用高等代數(shù)的理論、方法和觀點(diǎn)去剖析中學(xué)數(shù)學(xué)的方法和問(wèn)題，深刻理解中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)知識(shí)內(nèi)容的來(lái)龍去脈.

3.2 結(jié)合知識(shí)體系的構(gòu)建加強(qiáng)解題訓(xùn)練

數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性，嚴(yán)密的邏輯性.數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力科目中的高等代數(shù)試題在充分體現(xiàn)學(xué)科特點(diǎn)的前提下，將高等代數(shù)知識(shí)進(jìn)行整合，結(jié)合教材選取有代表性的母題進(jìn)行演變，全面考查高等代數(shù)基本的定義、性質(zhì)、定理及應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)各知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分的檢測(cè)學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理能力、綜合分析能力等數(shù)學(xué)能力，而不是孤立的考查某一種能力［8］.同時(shí)還涉及到對(duì)高等代數(shù)的思想方法的考查，高等代數(shù)的數(shù)學(xué)思想包括：抽象性思想、公理化思想、一般化思想、初等變換的思想、辯證思維的思想、關(guān)系映射反演思想等.教學(xué)中不僅要注重讓學(xué)生理解概念的背景，定理的推理過(guò)程及應(yīng)用，更應(yīng)該使其掌握高等代數(shù)的思想方法以及某些現(xiàn)實(shí)來(lái)源；不僅要重計(jì)算，更要重理論；不僅要重解題，更要重應(yīng)用.在遵循數(shù)學(xué)學(xué)科特性的基礎(chǔ)上，通過(guò)不斷地分析、綜合、運(yùn)算、判斷、推理，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與高等代數(shù)的教學(xué)有機(jī)融合，指引著教育模式和學(xué)習(xí)方式的根本性轉(zhuǎn)變［9］.只有綜合而全面地學(xué)習(xí)和理解才能真正的培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，提高邏輯推理能力，養(yǎng)成應(yīng)用意識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

通過(guò)前面的分析可以知道，矩陣、線性方程組和線性變換這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是在題目數(shù)量、題型還是分值統(tǒng)計(jì)等方面考查的居多，如果對(duì)高等代數(shù)的知識(shí)體系比較了解，就可以理解這些題目出現(xiàn)的必然性.因此在加強(qiáng)解題實(shí)踐的過(guò)程中，應(yīng)該側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建高等代數(shù)知識(shí)體系，深化對(duì)高等代數(shù)課程的認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提升解決問(wèn)題的能力，形成良性循環(huán).

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力科目中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)這部分，往往通過(guò)考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，來(lái)考查學(xué)生的學(xué)科知識(shí)素養(yǎng).其中，高等代數(shù)的內(nèi)容相對(duì)抽象，與其他科目特別是解析幾何交叉融合.通過(guò)國(guó)家教師資格統(tǒng)一考試是從事教師職業(yè)的“敲門(mén)磚”，同時(shí)，考試的通過(guò)率也反觀了高等師范院校的教育教學(xué)質(zhì)量.高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，任課教師應(yīng)該關(guān)注國(guó)家教師資格考試中高等代數(shù)所考查的內(nèi)容，以此作為一個(gè)切入點(diǎn)，思考如何進(jìn)行教學(xué)改革，才能提高教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.