實測地質(zhì)剖面中地層真厚度計算公式的修正

王兆國，魯如魁，夏立元

（1. 西北大學(xué)大陸動力學(xué)國家重點實驗室，陜西西安710069；2. 西北大學(xué)地質(zhì)學(xué)系，陜西西安710069；3. 安徽省地質(zhì)調(diào)查院，安徽合肥230001）

區(qū)域地質(zhì)調(diào)查工作是獲取野外第一手資料的主要手段，也是綜合分析沉積相和古地理環(huán)境、厘定構(gòu)造格架、重塑區(qū)域構(gòu)造演化史等后續(xù)研究工作的重要基礎(chǔ)，主要包括地質(zhì)踏勘、實測剖面和地質(zhì)填圖等三階段工作。實測地質(zhì)剖面是厘定地層結(jié)構(gòu)構(gòu)造特征與地層接觸關(guān)系、確定地質(zhì)填圖單元及其識別標(biāo)志的核心工作，涉及剖面實測和編制綜合地層柱狀圖兩部分內(nèi)容。近年來很多學(xué)者針對實測地質(zhì)剖面的繪制問題進(jìn)行了很多研究［1-3］，發(fā)展了新的地質(zhì)剖面繪制方法［4-5］，并進(jìn)行了數(shù)字化成圖［6-9］、自動成圖［10-11］和數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)建設(shè)［12-17］等研究工作。綜合地層柱狀圖的編制涉及真厚度的計算問題，Mertie［18］和Price［19］分別提出了地層厚度計算公式，與20世紀(jì)50 年代引入我國的列氏厚度計算公式相同［20］，Ickes［21］給出了用積分和方向余弦表示的地層厚度公式，Price［22］指出用斜距（縱橫距）、真傾角、坡角和地層傾向與測繩經(jīng)過的坡向的夾角表示的地層厚度公式對于地質(zhì)學(xué)家更適用，Mandelbaum等［23］指出公式存在負(fù)值問題，建議采用絕對值對負(fù)值進(jìn)行處理，Addie［24］提出了用視傾角表示的地層厚度公式，對于負(fù)值依然采用取絕對值進(jìn)行處理。列式公式引入我國后，為便于計算，前人對列氏公式進(jìn)行了多次討論和改進(jìn)［25-28］，葉東虎［29］編著了巖層厚度計算手冊，劉元生［30］設(shè)計繪制了地層厚度計算表盤，許邊遠(yuǎn)［31］在對列氏公式進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出了正負(fù)厚度的概念，朱正勇等［32］根據(jù)計算結(jié)果針對不同的測量情況對列氏公式采用了取絕對值和負(fù)值的方式進(jìn)行了改正。在上述文獻(xiàn)中，特別是實際工作中發(fā)現(xiàn)有“0值”、“負(fù)值”現(xiàn)象，其產(chǎn)生的根源、“負(fù)值”和“負(fù)厚度”概念統(tǒng)一性問題、列氏公式適用性等問題懸而未決，亟待研究。

本文從實際工作過程中不同野外露頭情況出發(fā)，推導(dǎo)了地層厚度的計算公式，對列氏公式進(jìn)行了修正，分析了新公式的取值范圍和角度誤差影響，明確了“0值”和“負(fù)值”產(chǎn)生原因，理清了“負(fù)值”和“負(fù)厚度”概念的差異，并以實例驗證了地層厚度計算公式。

1 地層真厚度計算公式

1.1 計算公式推導(dǎo)

列昂托夫斯基［20］提出的地層厚度計算公式一直為我國廣大地質(zhì)工作者所接受和使用［25-32］，要明確“0值”和“負(fù)值”現(xiàn)象，確定“負(fù)值”和“負(fù)厚值”概念，首先需理清地層厚度計算公式的準(zhǔn)確性、正確性和適用性。野外實測剖面時地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向存在三種情況（圖1）：①地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向；②地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同，坡度角大于地層傾角；③地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同，坡度角小于地層傾角。

圖1 實測地層剖面測線坡度角與地層產(chǎn)狀關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of the relationship between the slope angle and the stratum dip angle in the field measured profile

圖2 中兩不同灰度的面Sabcd和Sefgh是兩個平行的層面，Sbcgf是水平面，SADE是垂直于Sabcd和Sefgh的平面。從Sabcd和SADE的交線上的點E向面Sefgh做垂線EF，EF位于面SADE上，F(xiàn)為垂足，因此EF為兩個平行層面的垂線段長度，即為地層真厚度。Sbcgf與Sabcd、Sbcgf與Sefgh的夾角即為真傾角，圖中用α表示。線段AB為導(dǎo)線經(jīng)過地面斜坡的導(dǎo)線斜距，過A點做面Sefgh的垂線，垂足為C，∠ABC為坡角，用β表示?！夕脼榈貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向的銳夾角。

由圖2a知，

圖2 地層真厚度計算模型Fig.2 The calculation model of the stratum true thickness

由公式（1）可得，

由圖2b知，

由公式（3）可得，

由圖2c知，

由公式（5）可得，

由式（2）、（4）、（6）可得地層總厚度計算公式為

設(shè)φ表示導(dǎo)線與地層走向之間的銳夾角，則φ與γ互余，由公式（7）得

可知當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向時，式（7）、（8）取“+”、“+”；當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角小于傾角時，式（7）和式（8）取“+”、“-”；當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角大于傾角時，式（7）和式（8）取“-”、“+”。

1.2 地層真厚度計算公式對特殊地層的適用性

為檢測公式對特殊地層的適用性，進(jìn)行了水平地層和垂直地層的驗證。如圖3 所示，兩灰色面是平行的層面，AB是導(dǎo)線斜距，兩個層面的垂線段是地層厚度，β是坡角。由圖3a知水平地層厚度AC=ABsinβ；水平地層的真傾角α=0，代入公式（7）得：AC=ABsinβ，兩者結(jié)果一致。由圖3b知垂直地層厚度CD=ABcosβsinφ；垂直地層真傾角α=90°，代入公式（7）得：CD=ABcosβsinφ，兩者結(jié)果一致。因此水平或垂直地層計算公式均為地層厚度計算公式（7）的特例。

圖3 特殊地層厚度計算模型Fig.3 The calculation model of the stratum thickness in particular situation

2 地層厚度數(shù)值特征和誤差分析

2.1 地層厚度數(shù)值取值特征

由公式（8）可知，因為測繩斜距恒為正，因此地層厚度值取決于地層傾角、坡角、導(dǎo)線與地層走向銳夾角的三角函數(shù)計算項的結(jié)果，即取決于公式（9）。

圖2a 為地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向的情況，公式（9）取“+”、“+”，α為0～90°，β為0～90°，φ為60～90°，F(xiàn)值如圖4所示。由圖4a可知，地層厚度F值關(guān)于α=β和α+β=90°直線是近乎對稱的，說明地層傾角和地層坡角對F值計算具有相同的影響；當(dāng)φ值變小時，關(guān)于α=β的對稱性變差，說明測繩與地層走向間的銳夾角影響了對稱性；當(dāng)α+β=90°時F值取得最大值，說明地層傾向與坡向垂直時F取得最大值；當(dāng)α=β=0°或α=β=90°時F值取得最小值0，說明實測剖面是水平層面或垂直層面且測繩均為平移導(dǎo)線時，F(xiàn)取得最小值0。由圖4b可知，F(xiàn)值隨著φ值增大而增大，對F值影響范圍為0～0.10，且F值越大變化范圍越大。

圖2b 為地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角小于傾角的情況，式（9）取“+”、“-”，α為0～90°，β＜α，φ值為60°～90°，F(xiàn)值如圖5所示。由圖5a可知，地層厚度F取值關(guān)于α+β=90°是對稱的，隨著地層傾角α的增大而增大，隨著β的增大而減??；α=β時，F(xiàn)取得最小值，說明地層傾向與坡向近平行時F取得最小值；在α=90°、β=0°時取得最大值，說明地層傾向與坡向應(yīng)近垂直時F取得最大值；φ值越小越影響F極大值。由圖5b 可知，隨著φ值增大F值增大，φ對F值影響范圍為0.10～0.15。

圖2c為地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角大于傾角的情況，式（9）取“-”、“+”，α為0°～90°，β＞α，φ值為60°～90°，，F(xiàn)值如圖6所示。由圖6a可知，地層厚度F取值關(guān)于α+β=90°是近乎對稱的，隨著α的增大而減小，隨著β增大而增大；α=β時F取得最小值，說明地層傾向與坡向近平行時F取得最小值；α=0°、β=90°時取得最大值，說明地層傾向與坡向近垂直的取得最大值。由圖6b可知，隨著φ值增大，F(xiàn)值減小，φ對F值影響范圍為0～0.05。

圖4 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向時地層厚度取值Fig.4 F-data variation map when the stratum dip direction is opposite to the slope direction of ground where the measure line passes

2.2 地層厚度誤差分析

為了進(jìn)一步分析地層厚度F值誤差對地層真厚度計算的影響，掌握其誤差變化特征，需對公式（9）計算F誤差值。在α為0～90°，β為0～90°，φ為60～90°范圍內(nèi)，分別計算了三種情況下α、β、φ角分別誤差1°時F的誤差值。

當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向時，誤差分析結(jié)果如圖 7 所示。圖 7a 為α誤差 1°時F的誤差圖，F(xiàn) 的誤差值范圍為-0.02～0.02，φ影響F誤差極大值，φ值越小，F(xiàn)誤差極大值越?。浑S著α增大，F(xiàn)誤差由大變小，F(xiàn)誤差絕對值先小后變大；隨著β增大，F(xiàn)誤差由大變小，F(xiàn)誤差絕對值先變小后變大。圖7b為β誤差1°時F的誤差圖，F(xiàn)的誤差值范圍為-0.02～0.02，φ值影響F誤差極小值，φ越小，F(xiàn)誤差極小值越大、但絕對值越?。浑S著α的增大，F(xiàn)誤差由大變小，其絕對值先變小后變大；隨著β增大，F(xiàn)誤差由大變小，誤差絕對值先變小后變大。圖7a和圖7b表明在α、β極小或極大時，F(xiàn)誤差絕對值最大，由圖4a可知，此時F值較小，表明地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近平行時α、β誤差對地層厚度計算產(chǎn)生最大影響。圖 7c 為φ誤差 1°時F的誤差圖，F(xiàn)的誤差范圍為0～0.01，只有在大α值、小β、φ時，F(xiàn)誤差較大，表明地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近垂直時φ誤差影響最大，且φ越小誤差影響越大。

圖5 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且β＜α?xí)r地層厚度取值圖Fig.5 F-data variation map when the stratum dip direction is same as the slope direction of the ground where the measure line passes and the slope angle is smaller than the stratum angle (β＜α)

圖6 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且α＜β時地層厚度取值圖Fig.6 F-data variation map when the stratum dip direction is same as the slope direction of the ground where the measure line passes and the slope angle is bigger than the stratum angle (α＜β)

圖7 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向時地層厚度F取值誤差分析圖Fig.7 Error analysis chart of F-data when the stratum dip direction is opposite to the slope direction of the ground where the measure line passes

當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且β＜α?xí)r，F(xiàn)誤差結(jié)果如圖8所示。圖8a為α誤差1°時F的誤差圖，F(xiàn)的誤差范圍為0～0.02，隨著α增大、β減小，F(xiàn)誤差減小；φ越小，對小α、小β情況影響越大。圖8b為β角誤差1°時F的誤差圖，F(xiàn)的誤差范圍為-0.02～0，隨著α增大、β減小，F(xiàn)的誤差增大，但絕對值減小；φ值越小，對大α、大β情況影響越大。圖8a和圖 8b 均表明在β=α附近，F(xiàn)誤差絕對值最大，由圖5a可知，此時F值較小，說明地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近乎平行時α、β誤差對地層真厚度的計算影響最大。圖 8c 為φ誤差 1°時F的誤差圖，F(xiàn)的誤差范圍為0～0.01，只有在大α，小β、φ時，F(xiàn)誤差較大，說明地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近垂直時φ誤差影響最大，且φ越小，F(xiàn)誤差影響越大。

當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且β＞α?xí)r，誤差結(jié)果如圖9所示。圖9a為α誤差1°時F的誤差圖，F(xiàn)的誤差范圍為-0.02～0，隨著α增大、β減小，F(xiàn)誤差減小但其絕對值增大；φ越小，對小α、小β情況影響越大。圖9b為β誤差1°時F的誤差圖，F(xiàn)誤差范圍為0～0.02，隨著α增大、β減小，F(xiàn)誤差增大；φ越小，對大α、大β情況影響越大。圖 9a 和圖 9b 表明，在β=α附近，F(xiàn)誤差絕對值最大，由圖6a可知此時F較小，說明地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近平行時，α、β誤差對地層真厚度的計算影響最大。圖9c 為在φ誤差 1°時F的誤差圖，F(xiàn)誤差范圍為-0.006～0，只有小φ且α與β取值相近時，F(xiàn)誤差較大，說明地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近平行時φ誤差影響最大，φ值越小誤差影響越大。

3 “0值”和“負(fù)值”討論

當(dāng)式（9）F為0 時，地層厚度為0，包括以下幾種情況：①由圖4a可知，在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向情況下，α=β=0°或α=β=90°時，F(xiàn)為0，說明地層水平或垂直且在層面拉測線時，地層厚度為0。②由圖5a可知，在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且α＞β情況下，φ≠90°，α=β=0°或α=β=90°時，F(xiàn)為0；當(dāng)φ=90°，α=β時，F(xiàn)為0，均說明在地層傾向方向沿層面拉測繩時，地層厚度為0。③由圖6a 可知，在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且α＜β情況下，φ≠90°，α=β=0°或α=β=90°時，F(xiàn)為0；當(dāng)φ=90°，α=β時，F(xiàn)為0，均說明在地層傾向方向沿層面拉測繩時，地層厚度為0。

圖8 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同時且β＜α?xí)r地層厚度F取值誤差分析圖Fig.8 Error analysis chart of F-data when the stratum dip direction is same as the slope direction of the ground where the measure line passes and the slope angle is smaller than the stratum angle (β＜α)

當(dāng)式（9）F為負(fù)時，計算的地層厚度才為負(fù)。F為負(fù)時，可能包括以下幾種情況：

（1）地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角小于傾角時，欲使F為負(fù)，坡角須位于最小β線上方（圖10）。

在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角小于傾角的情況下，S1 和S2 是平行層面，受三維空間角度關(guān)系影響（圖11），易知，

由圖11 可知，θ＜α，由γ與φ互余知，γ為0°～30°，因此可得，

令tanη=tan αcosγ，則β＜η

計算結(jié)果如圖10所示，β取值位于最大值η線下方，最大η線均位于最小β線下，說明在α、β、φ定義域內(nèi)受三維空間角度關(guān)系制約，F(xiàn)不為負(fù)。

（2）地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角大于傾角時，按列氏地層厚度公式計算，傾向與坡向相同，因此式（8）取“+”、“-”，可得

因此α＜β，式（12）必小于0。

若考慮坡角與傾角關(guān)系，α＜β時，式（8）取“-”、“+”，此時有

圖9 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同時且β＞α?xí)r地層厚度F取值誤差分析圖Fig.9 Error analysis chart of F-data when the stratum dip direction is same as the slope direction of the ground where the measure line passes and the slope angle is bigger than the stratum angle (β＞α)

圖10 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且α＞β的情況下F值為負(fù)值時的坡角分析圖Fig.10 The analysis map of the slope angle when the F-data is negative under the situation that the stratum dip direction is same as the slope direction of the ground where the measure line passes and the slope angle is smaller than the stratum angle (α＞β)

從文獻(xiàn)［1］可以看出，列氏公式只強(qiáng)調(diào)地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向之間的關(guān)系，分為相同與相向兩類，沒有考慮傾角與坡角關(guān)系，當(dāng)傾角小于坡角時，根據(jù)列氏公式必然為負(fù)（公式12）；而由圖2c 可知，導(dǎo)線無論由上層面到下層面還是從下層面到上層面，地層厚度真實客觀存在，計算結(jié)果與實際地層空間關(guān)系不符。而式（13）計算結(jié)果與實際地層空間關(guān)系相符，說明改進(jìn)公式的正確性，同時也說明列氏公式不全面，缺失了野外實際情況，且列氏公式計算的負(fù)值不具有地質(zhì)意義，后續(xù)實例分析也可證明，前人往往采用取絕對值進(jìn)行處理［25］。

地層真厚度公式在沉積盆地分析、構(gòu)造巖相分析與古地理恢復(fù)等研究中具有重要的價值。眾所周知，沉積盆地分析、構(gòu)造巖相分析與古地理恢復(fù)的基本研究手段是巖石地層剖面的測制，根據(jù)剖面所揭示的地層發(fā)育、巖性、巖相、厚度、接觸關(guān)系及它們的時、空變化特點，恢復(fù)各地質(zhì)時期的古地理（包括海陸分布、海侵方向、海水深度等）、古氣候、古地貌（隆起-剝蝕區(qū)與坳陷-沉積區(qū)）、地殼沉降幅度（即沉積物厚度的相對大?。┡c速度（快速或逐漸堆積）、古構(gòu)造狀況以及演化歷史等。顯而易見，地層真實厚度的客觀準(zhǔn)確反映是正確分析古地理、古地貌、古構(gòu)造運(yùn)動的重要前提和必由途徑，地層厚度計算公式的補(bǔ)充完善在科學(xué)研究與生產(chǎn)實踐中均具有潛在的應(yīng)用價值。

4 實例分析

文中選用了包含圖1中所有情況的安徽省明光市杏山新近紀(jì)中新世下草灣組（N1x）—上新世桂五組（N2g）實測剖面，驗證本文所完善的地層厚度計算公式。為了突出反映問題，選取了部分導(dǎo)線數(shù)據(jù)（表1），對比了列氏公式、矢量厚度公式［31］和本文的厚度計算公式的計算結(jié)果（表1）。

從表1中可以看出，列式公式計算的負(fù)值是表1中3―4 導(dǎo)的4、5、6 分層，地層均是在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且傾角小于坡角的情況，說明列氏公式本身缺失一種實測情況，使實際地層厚度出現(xiàn)負(fù)值，列式公式計算的厚度負(fù)值不能看作“負(fù)厚度”。矢量厚度計算公式的特點是不需要進(jìn)行公式正負(fù)符號選擇，矢量厚度公式計算的負(fù)厚度是表示由上層面到下層面測量、正厚度表示由下層面到上層面測量，計算總厚度時可以直接把負(fù)厚度舍去，只累加正值［31］。

圖11 地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且α＞β 的情況下三維空間角度關(guān)系Fig.11 Three dimensional spatial angle diagram under the situation that the stratum dip direction is same as the slope direction of the ground where the measure line passes and the slope angle is smaller than the stratum angle(α＞β)

但從表1中可以看出，6―7導(dǎo)的12、13分層，8―9 導(dǎo)的14、15 分層都是由上地層到下地層的測量方法，而計算結(jié)果為正值；9―10導(dǎo)的17分層是由下地層到上地層的測量方法，而計算結(jié)果為負(fù)值，可以看出矢量厚度公式由下―上地層的測量方法并非全為正，由上―下地層的測量方法也并不全為負(fù)，上述不符合矢量厚度計算公式表述的地層都是地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角小于地層傾角的情況，這是由矢量厚度公式直接去除負(fù)號的處理方式造成的。矢量厚度公式結(jié)果由上―下不全為負(fù)和由下―上不全為正（表1），因此總厚度計算時不能簡單正值相加，對于構(gòu)造復(fù)雜地區(qū)的地層總厚度，更應(yīng)該計算出所有層的厚度，結(jié)合構(gòu)造分析把有效地層進(jìn)行相加。本文改進(jìn)的厚度計算公式對所有野外測量情況計算結(jié)果全為正（表1），結(jié)合構(gòu)造特征，更能有效計算地層總厚度。

表1 安徽省明光市杏山新近紀(jì)中新世下草灣組（N1x）—上新世桂五組（N2g）實測地質(zhì)丈量表及計算結(jié)果對比Tab.1 Comparison table of geological survey and calculation results of Xiacaowan Formation of Neogene Miocene (N1x) to Guiwu Formation of Neogene Pliocene (N2g) at Xingshan of Mingguang city, Anhui province

5 結(jié)論

通過對實際測量情況下的地層厚度公式的推導(dǎo)、地層厚度取值范圍和誤差分析、“0值”“負(fù)值”的討論及實例驗證，主要得到了以下幾個認(rèn)識：

（1）列氏地層厚度計算公式不全面，不包括所有的野外實測情況，對其進(jìn)行了修正，新的地層厚度計算公式為EF=AB(±sinαcosβsinφ± sinβcosα)，其中α是真傾角，β是坡角，φ是測線與地層走向之間的銳夾角，當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相向時，取“+”、“+”；當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角小于傾角時，取“+”、“-”；當(dāng)?shù)貙觾A向與測繩經(jīng)過的地面坡向相同且坡角大于傾角時，取“-”“+”。

（2）三種情況下F值隨著α、β、φ具有各自不同的變化規(guī)律，但均在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近垂直時取得最大值；均在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近平行時取得最小值。

（3）三種情下F誤差隨著α、β、φ具有不同的變化規(guī)律，但α、β角度誤差均在地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向近平行時對地層厚度計算影響最大，φ角度誤差均在測繩與地層傾向偏離最大時對地層厚度計算影響最大。

（4）地層傾向與測繩經(jīng)過的地面坡向無論是相同還是相向，只有在沿層面拉測繩時（測繩不穿層），地層厚度才為0；運(yùn)用列氏公式計算的“負(fù)值”，是由公式缺失一種野外情況造成的，不具有地質(zhì)意義；“負(fù)厚度”概念，只在矢量厚度計算公式中具有意義，表明由上界面到下界面穿過地層；本文實例表明矢量厚度計算公式也缺失了野外實測情況，使正厚度并不能完全表示由下―上穿過層面，負(fù)厚度并不能完全表示由上―下穿過層面，總厚度也不能用正值相加獲??；修正的厚度計算公式，計算值全為正，符合客觀實際情況，結(jié)合構(gòu)造分析，能夠計算地層總厚度。