圓錐（臺）形人造山體地基豎向附加應(yīng)力及沉降

高彥斌，姚天驕

（同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092）

現(xiàn)代化城市建設(shè)中，園林綠化、生活垃圾和工業(yè)廢料堆填等人造山體工程逐漸增多，且山體高度逐漸增大。為了區(qū)別于自然界中的山體，這里將之統(tǒng)稱為人造山體。人造山體大多數(shù)可近似看作圓錐形或圓臺形，屬于軸對稱形態(tài)，其產(chǎn)生的荷載與建筑工程中常見的矩形或條形荷載差別較大。在山體地基沉降計算分析中，豎向附加應(yīng)力分析是最為關(guān)鍵的內(nèi)容。自1885 年首次提出后，布辛涅斯克彈性解（簡稱布氏解）被廣泛應(yīng)用于求解各種類型荷載下的地基豎向附加應(yīng)力以及地表沉降，具體包括條形均布荷載［1］、三角形條形荷載［1-2］、堤壩形或梯形條形荷載［2-3］、矩形荷載［4-7］。相關(guān)研究有的給出計算公式，有的則僅給出計算圖表。這些研究成果至今應(yīng)用于荷載類型較為簡單的基礎(chǔ)、路基、壩基工程的地基豎向附加應(yīng)力以及沉降計算中。然而，當(dāng)荷載形式和邊界條件較為復(fù)雜時，往往難以得到豎向附加應(yīng)力解析解，這種情況下通常需要借助數(shù)值分析方法。近年來，采用布氏解以及彈性有限元法，針對拋物線路堤荷載［8］、飛機荷載［9-10］、輸油管道荷載［11］、高填方渠道［12］等具有復(fù)雜荷載和邊界條件的地基附加應(yīng)力和地基沉降的研究取得了較多成果。對于軸對稱荷載（山體荷載），只有少數(shù)學(xué)者基于布氏解對其地基豎向附加應(yīng)力進行了研究。Harr等［13］最早給出了幾種軸對稱荷載下（拋物線形荷載、圓形均布荷載、圓錐形荷載）地基中心豎向附加應(yīng)力的解析解，但并未對比分析其具體特征。對于軸對稱荷載下任意位置的豎向附加應(yīng)力以及地表沉降，角點法不再適用；由于求解的復(fù)雜性，目前仍未獲得解答。因此，在分析這類荷載下任意位置的地表沉降以及相鄰荷載之間的相互影響方面，至今仍然存在較大的困難，缺乏系統(tǒng)的研究成果。目前工程界（包括行業(yè)規(guī)范）普遍忽略這類荷載的特殊性，仍采用條形荷載來分析軸對稱山體地基的附加應(yīng)力與沉降。

本文采用布氏解析法以及數(shù)值分析方法，給出軸對稱山體荷載下地基的中心點豎向附加應(yīng)力以及任意位置處豎向附加應(yīng)力求解方法；在此基礎(chǔ)上，討論軸對稱荷載下的附加應(yīng)力分布特征和地基沉降特征，并與條形荷載的結(jié)果進行對比，解決該類荷載下地基沉降計算中的一些問題。

1 布辛涅斯克解的應(yīng)用及問題

1.1 求解豎向附加應(yīng)力

1885 年，布辛涅斯克給出了豎向集中力作用于均勻各向同性彈性半無限空間表面情況下，彈性體內(nèi)某一點M（x，y，z）的豎向附加應(yīng)力解［14］，即

式中：σz為深度為z處的豎向附加應(yīng)力；F為集中荷載的大?。籖為計算點與荷載作用點連線的長度。

從式（1）可以看出，附加應(yīng)力解與彈性介質(zhì)的參數(shù)無關(guān)。對于圖1所示的半無限空間表面作用分布荷載p（ζ，η）的情況（ζ和η為荷載作用點坐標），為計算某點M（x，y，z）的豎向附加應(yīng)力σz，可以取一微單元，其面積 dA=dζdη，微單元荷載為 dF=p（ζ，η）·dζdη，這樣彈性體中M點的豎向附加應(yīng)力σz可用以下積分式求得：

這樣，各種類型荷載作用下地基豎向附加應(yīng)力公式可根據(jù)荷載形式由式（2）積分求得，差異僅在于等效集中力dF。

1.2 求解地表沉降

如圖1所示，集中力F作用下彈性體中任意一點M（x，y，z）的豎向位移w為

圖1 集中和分布荷載作用下土中應(yīng)力計算Fig.1 Calculation of stress in soil under concentrated and distributed loads

式中：E、μ分別為彈性體的彈性模量和泊松比。對于圖1所示的半無限空間表面作用分布荷載p（ζ，η）的情況，采用式（3）可得到微單元荷載dF作用下半無限空間表面（z=0）的地表沉降ds的表達式為

對荷載作用面積上進行積分就可得到分布荷載p（ζ，η）作用下的地表沉降為

需要說明的是，對于有限面積內(nèi)的分布荷載（如矩形、圓形荷載），采用式（5）可以得到一個確定的沉降；但對于無限面積的分布荷載（如條形荷載）采用式（5）得到的沉降隨著計算深度的增大而無限增大。

1.3 求解中的問題

由于涉及到積分運算，在利用布氏解求解不同類型的荷載下的附加應(yīng)力時，能否直接給出解析解取決于荷載的表達式，即式（2）和式（5）中的p（ζ，η）。在不能直接給出解析解的情況下，則需要采用數(shù)值積分方法給出其解答，或者采用有限元等數(shù)值分析方法計算得到附加應(yīng)力。相比來講，有限元等數(shù)值分析方法具有更廣泛的適用性，可以給出任意荷載形態(tài)下的附加應(yīng)力，但一般以圖表的形式給出，而不能給出附加應(yīng)力的數(shù)學(xué)表達式。

應(yīng)用式（5）進行地表沉降計算時會出現(xiàn)兩種情況。對于局部荷載，附加應(yīng)力隨深度的增加收斂，壓縮層厚度有限，表現(xiàn)為式（5）有解；對于無限長條荷載，其附加應(yīng)力隨深度增加不收斂，因此式（5）無解，其沉降彈性解常以相對沉降（即計算點沉降與中心點沉降之差）表示。例如Gibson［15］提出的長條均布荷載在均勻半無限體上引起的相對沉降公式。

2 圓錐（臺）荷載下豎向附加應(yīng)力

2.1 中心點豎向附加應(yīng)力系數(shù)

為便于分析研究，本文將常見的軸對稱山體荷載及部分典型荷載示意圖匯總?cè)鐖D2所示。

地基豎向附加應(yīng)力系數(shù)定義為αz=σz/p0（p0的定義見圖2）。下面采用式（2）推導(dǎo)圓錐（臺）形人造山體荷載作用下中心點（圖2中O點）豎向附加應(yīng)力系數(shù)αz0。

對于圖2b 所示的半徑為r0、中心點荷載為p0的圓錐形荷載，距離中心點r處微單元作用力可以采用寬度為dr、半徑為r的微圓環(huán)荷載來表示，即dF=p0（1-r/r0）2πrdr，根據(jù)式（2）可得

這樣得到圓錐形荷載下中心點豎向附加應(yīng)力系數(shù)αz0的表達式為

式（7）與Harr等［13］給出的結(jié)果是一致的。

對于圖2a 所示圓臺形荷載，可采用應(yīng)力疊加法，由半徑為r2、中心點荷載為p2的大圓錐荷載產(chǎn)生的附加應(yīng)力減去半徑為r1、中心點荷載為p1的小圓錐荷載產(chǎn)生的附加應(yīng)力，得到圓臺形荷載作用下中心點豎向附加應(yīng)力為

這樣得到圓臺形荷載下中心點豎向附加應(yīng)力系數(shù)αz0的表達式為

圖2 幾種典型荷載示意圖Fig.2 Schematic diagram of several typical loads

表1 匯總了采用布氏解得到的圖2 所示的5 種荷載類型中心點地基豎向附加應(yīng)力系數(shù)，以便對比分析軸對稱荷載作用下的地基中心豎向應(yīng)力隨深度的分布特征。將表1 所列公式繪制成圖3 所示的αz0與深度比z/r0或z/b的關(guān)系曲線，其中圓臺形荷載取r2/r1=2.0，梯形條形荷載取a/b=0.5。

表1 不同類型荷載中心點豎向附加應(yīng)力系數(shù)Tab.1 Vertical additional stress coefficients at center of different loads

可以看出，表1所示5種荷載中心點豎向附加應(yīng)力均隨深度的增大而減小，但減小的速率不同。3種軸對稱荷載（圓形、圓錐形、圓臺形）中心點豎向附加應(yīng)力衰減速度整體上大于兩種無限長條分布荷載（三角條形、梯形條形）的衰減速度，其中圓錐形荷載衰減最快，梯形條形荷載衰減最慢。對于圓臺形荷載，雖然僅給出了r2/r1=2.0 情況下的計算結(jié)果，但是可以結(jié)合圖中給出的圓錐形的和圓形均布的結(jié)果來預(yù)估圓臺形荷載作用下中心點豎向附加應(yīng)力系數(shù)所處的范圍，也就是圖3中的陰影部分。

根據(jù)圖3 給出的結(jié)果，不同荷載類型下豎向附加應(yīng)力的影響深度差別也較大。在相同荷載水平p0下，圓錐形荷載的影響深度最小，梯形條形荷載影響深度最大。

如果以σz=0.1p0（即αz0=0.1）來確定影響深度H，則圓錐形荷載和圓形均布荷載分別為2.0r和3.7r。圓臺形介于二者之間，當(dāng)r2/r1=2.0 時，H=2.8r；當(dāng)r2/r1＞2.0 時，2.0r＜H＜2.8r；當(dāng) 1.0＜r2/r1＜2.0時，2.8r＜H＜3.7r。三角條形荷載和梯形條形荷載的H分別為6.3r和9.5r?？梢?，圓錐形分布荷載的影響深度是最小的。

圖3 不同類型荷載中心點豎向附加應(yīng)力系數(shù)Fig.3 Vertical additional stress coefficients at center of different types loads

2.2 任意位置處豎向附加應(yīng)力系數(shù)

對于圓錐形荷載，圖2中的微單元荷載可表示為

因此式（2）可表示為

式（11）在初等函數(shù)范圍內(nèi)求解困難，目前尚無學(xué)者給出初等函數(shù)范圍內(nèi)的解析解。

這里采用彈性有限元法來獲得任意位置處豎向附加應(yīng)力系數(shù)。具體方法是，地基的彈性模量E和泊松比μ為某一個數(shù)值，在地基表面施加一個最大荷載p0為某一值的圓錐形荷載，求出距離荷載中心水平距離為x、深度為z處的豎向附加應(yīng)力σz，然后再進一步給出附加應(yīng)力系數(shù)αz=σz/p0隨深度比z/r0和距離比x/r0的變化曲線，結(jié)果如圖4所示。與式（1）一樣，圖4給出的歸一化結(jié)果與彈性參數(shù)E、μ無關(guān)，即圖4 給出的歸一化解具有唯一性，這也是彈性分析法的一個特點［16］。有了這一結(jié)果，圓臺形荷載任意位置處的豎向附加應(yīng)力可通過上文所述應(yīng)力疊加法，由圖1a 中大圓錐的結(jié)果減去小圓錐的結(jié)果獲得。

圖4 圓錐形荷載任意位置處豎向附加應(yīng)力系數(shù)Fig.4 Vertical additional stress coefficients at arbitrary location of conical load

為了對比分析軸對稱荷載和其他形式的荷載作用下的任意位置豎向附加應(yīng)力分布特征，根據(jù)式（2）推導(dǎo)了三角條形荷載（圖1c）和梯形條形荷載（圖1d）下任意位置豎向附加應(yīng)力系數(shù)解析解。

三角形條形荷載為

梯形條形荷載為

因此，本文給出的結(jié)果比已有文獻給出的結(jié)果［1-3］更為簡潔，應(yīng)用起來更為方便。由式（12）、（13）給出的豎向附加應(yīng)力系數(shù)曲線分別如圖5和圖6所示。

圖5 三角條形荷載任意位置處豎向附加應(yīng)力系數(shù)Fig.5 Vertical additional stress coefficients at arbitrary location of triangular strip load

由圖4～6 可以看出，圓錐形荷載、三角條形荷載、梯形條形荷載任意位置處豎向附加應(yīng)力系數(shù)曲線既有共性也有差異，可總結(jié)為以下兩點：①當(dāng)計算點遠離荷載中心一定距離后，最大附加應(yīng)力系數(shù)amax出現(xiàn)在地基中的某一深度而不是地表，這個深度隨計算距離x的增大而增大。②圓錐形荷載的豎向附加應(yīng)力隨距離x的增加的衰減程度最大，荷載邊緣（x/r0=1.0）處的amax約0.1p0，而三角條形和梯形條形荷載邊緣處（x/b=1.0）的amax分別約為0.2p0和0.3p0。

圖6 梯形條形荷載任意位置處豎向附加應(yīng)力系數(shù)（a/b=0.5）Fig.6 Vertical additional stress coefficients at arbitrary location of trapezoidal strip load(a/b=0.5)

由于豎向附加應(yīng)力的分布決定了地基沉降，根據(jù)以上給出的附加應(yīng)力隨水平距離x的衰減規(guī)律，可以推斷圓錐形和圓臺形荷載作用下地基的不均勻沉降要大于三角條形荷載和梯形條形荷載。

3 圓錐（臺）荷載作用下中心點沉降

根據(jù)式（5），圓錐形荷載作用下，距離荷載中心r、寬度為dr的微圓環(huán)荷載對中心點O產(chǎn)生的沉降ds為

在圓錐形荷載作用范圍（0＜r＜r0）內(nèi)積分，可得整個荷載作用下地基中心點沉降為

對于圖2a 所示圓臺形荷載，可采用變形疊加法，由大圓錐荷載產(chǎn)生的沉降減去小圓錐荷載產(chǎn)生的沉降得到。

對于有限面積荷載，各類荷載作用下地基中心點沉降可統(tǒng)一表示為

式中：ω0為荷載中心點沉降影響系數(shù)。

根據(jù)式（15）和式（16），以及相關(guān)文獻［4］，各類荷載下的ω0值匯總?cè)缦拢孩賵A錐形ω0=0.50；②圓形ω0=1.00；③圓臺形ω0=（r2+r1）/2r2，介于圓錐形和圓形荷載之間，即0.5與1.0之間；④方形ω0=1.12；⑤均布條形ω0=4.00；⑥矩形ω0介于1.12（方形）和4.00（條形）之間，隨長寬比的增大而增大。可以看出，在相同荷載水平p0和分布半徑r0下，圓錐形荷載下中心點沉降最小，僅為圓形荷載的0.50 倍、方形荷載的0.45倍。

4 工程應(yīng)用分析

4.1 實例分析

桃浦科技智慧城中央綠地位于上海市普陀區(qū)桃浦科技智慧城內(nèi)，其圓錐形山體高度H=9.5 m，坡度1：3，底部寬度（2r0）為57 m，填土重度γ=20 kN·m-3，最大荷載p0=γH=190 kPa，場地地下水位埋深1 m，場地土層參數(shù)見表2。由式（6）計算山體中心點豎向附加應(yīng)力，然后采用分層總和法計算荷載中心地表沉降，總沉降量s為各分層壓縮量之和，即

壓縮層厚度取附加應(yīng)力為自重應(yīng)力的10%所對應(yīng)的深度［14］，計算得到的壓縮層厚度為41.6 m，大約為荷載底部寬度的0.75 倍。各土層壓縮量見表2，總沉降量為701 mm，與現(xiàn)場監(jiān)測得到的總沉降806 mm 較為接近?，F(xiàn)場除了固結(jié)沉降以外還包括施工期間的瞬時沉降，因此實測沉降略大。

如果采用p0=190 kPa、2r0=57 m的三角形條形荷載來計算，計算得到壓縮層厚度為63 m，大約為荷載底部寬度的1.1 倍。計算得到的總沉降量為1 027 mm。可見，這種方法會明顯高估壓縮層厚度和地基沉降量。

4.2 山體相互影響算例分析

下面通過一個算例來定量分析山體荷載作用下的地基沉降以及相鄰山體之間的相互影響。圖7所示的圓錐形人造山體A和山體B，半徑r分別為36 m和18 m，高度h分別為12 m和6 m，山體填土重度取20 kN·m-3，這樣最大荷載p0分別為 240 kPa 和 120 kPa。地下水位埋深1 m，地基土分為兩層，淺層為軟土（厚度為H1），深層為砂土，地層參數(shù)見圖7。軟土層厚度H1分為兩種情況：H1=20 m 和H1=50 m，分別代表一般厚度和深厚軟土層。分析圖7所示兩山體中心點（O1、O2）和角點（O3）三個位置在兩種地層條件下的地表沉降。對于每種地層情況，均分別計算以下三種荷載情形下的沉降：①山體A 單獨作用；②山體B單獨作用；③山體A、B共同作用。

表2 某堆山工程計算結(jié)果對比Tab.2 Comparison of calculation results of a mountain piling project

地表沉降計算采用式（18）所示的分層總和法。以山體B 中心點O2為例說明附加應(yīng)力的確定。在分析自身山體單獨作用下的沉降時，豎向附加應(yīng)力系數(shù)采用式（7）計算；在分析山體A對其沉降影響時，豎向附加應(yīng)力系數(shù)采用圖4給出的曲線；在考慮山體A、B共同作用下的附加應(yīng)力為二者的疊加。

圖7 山體及地層示意圖Fig.7 Schematic diagram of mountain and stratum

三個位置處地表沉降的計算結(jié)果如表3 所示。表3中比例的含義是某計算點正上方山體單獨作用下產(chǎn)生的沉降與兩山體共同作用下產(chǎn)生的沉降的比值。

如表2所示，在H1=20 m的情況下，山體A單獨作用下O1點沉降1 590 mm，山體A、B共同作用時沉降并未發(fā)生變化；山體B 單獨作用下O2點沉降545 mm，山體A、B 共同作用時沉降561 mm?？傮w上講，錐形山體相互影響下的中心點沉降增加并不顯著，這與前面的豎向附加應(yīng)力分析給出的結(jié)論是一致的。但是，角點O3沉降相互影響較為顯著。另外，兩個山體單獨作用下，角點（點O3）沉降僅為中心點（點O1和點O2）沉降的10%左右，表明中心點和角點的差異沉降較大。

在H1=50 m 的情況下，由于黏土層厚度的增大，總沉降值增大，且兩山體相互影響的程度略增大。由于山體A作用，山體B中點O2的沉降增加值占總沉降的比例增加到6.9%。表明地質(zhì)條件會在一定程度上影響山體之間的相互影響，黏土層厚度大的情況下的相互影響更為顯著。

表3 三個位置處地表沉降計算結(jié)果Tab.3 Calculation results of surface settlement at three locations

5 結(jié)論

本文基于布氏解和彈性有限元法，研究了均質(zhì)各向同性彈性地基在軸對稱山體荷載作用下的附加應(yīng)力和沉降，得到的主要成果及結(jié)論如下：

（1）給出了圓錐形和圓臺形荷載作用下地基中心豎向附加應(yīng)力計算和地表中心點沉降計算公式；給出了圓錐形荷載作用下地基任意位置的豎向附加應(yīng)力系數(shù)圖，可用于單個山體下任意位置的地表沉降分析以及山體間相互影響下的沉降分析。

（2）通過算例分析了坡度為1：3 情況下山體地基的壓縮層厚度以及相鄰山體的相互影響規(guī)律。結(jié)果表明：①壓縮層厚度大約為底部寬度的0.75 倍；②中心點和角點的差異沉降較大；③相鄰山體地表中心沉降的相互影響并不顯著，在軟土層厚度較大的情況下，大山體對小山體的沉降影響有所增強。

（3）與三角條形、梯形條形、圓形均布荷載相比，圓錐形和圓臺形荷載作用下的豎向附加應(yīng)力隨深度衰減較快，影響深度較淺。工程設(shè)計中采用這些荷載的計算結(jié)果會明顯高估軸對稱山體地基豎向附加應(yīng)力、壓縮層厚度和地基沉降。