高圍壓下砂巖循環(huán)加-卸載損傷本構(gòu)及損傷閾值

劉之喜

（安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001）

地下巖石工程經(jīng)常受到加-卸載作用，如交通、地震、巷道掘進(jìn)等，為此諸多學(xué)者對(duì)巖石的加-卸載性質(zhì)展開研究，然而這些研究極少涉及深部高地應(yīng)力下巖石的加-卸載本構(gòu)。深部巖體開挖作為高圍壓下巖石加-卸載作用的經(jīng)典例子，在其掘進(jìn)期間，圍巖受到高圍壓及加-卸載的反復(fù)作用，其動(dòng)力響應(yīng)隨之改變，對(duì)圍巖長(zhǎng)期穩(wěn)定性的影響頗大，目前關(guān)于高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載本構(gòu)模型的研究較少。許多專家主要針對(duì)深部開采的定量界定與分析、低圍壓巖石本構(gòu)模型建立、循環(huán)加-卸載試驗(yàn)方法、疲勞變形特性、能量耗散等方面進(jìn)行研究，取得了豐碩的成果[1-6]。

目前巖石循環(huán)加載損傷本構(gòu)模型的建立主要有兩種方法：一是通過加-卸載試驗(yàn)，假設(shè)巖石服從某些數(shù)學(xué)模型，從而建立巖石的數(shù)學(xué)本構(gòu)模型；二是在巖石中引入損傷變量，為可靠地利用統(tǒng)計(jì)物理的概念奠定基礎(chǔ)，這方面的開創(chuàng)性工作為Weibull 的統(tǒng)計(jì)尺寸效應(yīng)理論，即假設(shè)巖石的微元破壞服從Weibull 公式，微元強(qiáng)度服從某一強(qiáng)度準(zhǔn)則，從而建立巖石的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型[7-9]。李西蒙等[10]在單軸分級(jí)加-載作用的研究中建立了循環(huán)加-卸載條件下軸向應(yīng)變與循環(huán)次數(shù)之間的理論模型，并且通過逆函數(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)巖石疲勞壽命的預(yù)測(cè)。曹文貴等[11]在巖石本構(gòu)模型研究中基于Weibull 公式對(duì)巖石的損傷模型進(jìn)行了研究，將概率分布公式應(yīng)用到巖石損傷力學(xué)中，通過大量的試驗(yàn)驗(yàn)證了其合理性與正確性，并且在工程實(shí)際中得到了應(yīng)用。張平陽等[12]通過在循環(huán)加-卸載巖石本構(gòu)模型中引入內(nèi)疲勞的變形模量公式，提出了一種新的能夠描述巖石循環(huán)加-卸載的本構(gòu)模型。鄧華鋒等[13]發(fā)現(xiàn)能量耗散率與殘余應(yīng)變的相關(guān)性，為循環(huán)加-卸載中巖石能量參數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算提供了較好的思路。劉樹新等[14]基于巖石裂紋三重分布的特征，引入不均勻系數(shù)，對(duì)Weibull 分布下的巖石參數(shù)確定方法進(jìn)行了研究，明確了參數(shù)的物理意義和確定方法。以上研究都是關(guān)于單軸循環(huán)加-卸載或低圍壓下循環(huán)加-卸載研究，高圍壓下的研究則主要針對(duì)巖石滲水特性、能量演化、破壞機(jī)制以及聲發(fā)射等[15-18]，較少涉及高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載本構(gòu)模型。對(duì)于高地應(yīng)力和周期荷載作用下巖石表現(xiàn)的非線性力學(xué)特性，使用傳統(tǒng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則已無法進(jìn)行描述和表征，因此高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載損傷本構(gòu)模型研究具有一定的工程意義。

目前關(guān)于巖石的Weibull 分布的本構(gòu)模型，都是對(duì)單軸壓縮下或常規(guī)三軸壓縮下的本構(gòu)模型描述，并且均假設(shè)巖石微元破壞服從某一強(qiáng)度準(zhǔn)則，但是以最大正應(yīng)力理論、最大正應(yīng)變理論、最大剪應(yīng)力理論、八面體剪應(yīng)力理論、D-P 準(zhǔn)則以及摩爾庫(kù)侖準(zhǔn)則建立的Weibull 分布，均假設(shè)巖石為連續(xù)的均勻介質(zhì)，這些強(qiáng)度準(zhǔn)則的建立都與巖石的實(shí)際情況不相符。Griffith 認(rèn)為巖石內(nèi)部存在著許多細(xì)微裂隙，在外部荷載作用下細(xì)微裂隙產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，致使裂紋擴(kuò)展引起破壞，因此Griffith 準(zhǔn)則建立在普遍適用的能量概念和含有裂紋的物體之上，突破了傳統(tǒng)的局部分析方法。本研究通過對(duì)Weibull 建立的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展，基于裂紋數(shù)服從Weibull 分布以及裂紋擴(kuò)展服從Griffith 強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立一種能夠表示高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型；對(duì)本構(gòu)的損傷閾值進(jìn)行研究，基于砂巖在高圍壓下偶數(shù)次循環(huán)加-卸載曲線，對(duì)巖石的參數(shù)演化規(guī)律進(jìn)行分析，進(jìn)一步利用奇數(shù)次循環(huán)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與本構(gòu)理論值進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而驗(yàn)證本構(gòu)模型的正確性與精確性。

1 巖石本構(gòu)模型

由曹文貴等[11]關(guān)于巖石統(tǒng)計(jì)損傷理論的研究，巖石的損傷本構(gòu)關(guān)系為

式中： E 為材料彈性模量； σi為名義應(yīng)力， σi、 σj、 σk為主應(yīng)力（i, j, k = 1, 2, 3）；εi為應(yīng)變； μ為泊松比；D 為損傷變量，對(duì)于微裂紋各向同性分布的情況，損傷變量可采用標(biāo)量形式；對(duì)于微裂紋有規(guī)律地平面分布的情況，可用與裂紋垂直的矢量表示損傷；對(duì)于微裂紋各向異性分布的情況，損傷變量可采用張量形式。以Griffith 準(zhǔn)則描述巖石裂紋擴(kuò)展強(qiáng)度，說明裂紋服從各向異性分布，因此損傷變量可以是張量。目前在巖石損傷本構(gòu)模型研究中主要考慮最大主應(yīng)力方向的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，并且用張量表示損傷時(shí)，雖然能夠更真實(shí)地反映微觀裂紋的排列狀態(tài)及其力學(xué)特性，但是其數(shù)學(xué)表達(dá)式比較復(fù)雜，在工程應(yīng)用方面存在較大難度，所以本研究中的損傷變量使用標(biāo)量形式。

研究表明，單位體積巖石裂紋數(shù)服從隨機(jī)分布[9]。根據(jù)Griffith 準(zhǔn)則，當(dāng)裂紋拉應(yīng)力超過該點(diǎn)抗拉強(qiáng)度時(shí)，裂紋就會(huì)擴(kuò)展，導(dǎo)致試件破壞。巖石加載過程往往是新裂紋生成、擴(kuò)展和舊裂紋擴(kuò)展的過程?；谏鲜鲅芯?，令裂紋擴(kuò)展服從Griffith 準(zhǔn)則，設(shè)加載過程中裂紋擴(kuò)展數(shù)為n，破壞時(shí)裂紋擴(kuò)展總數(shù)為N，則可以把損傷變量D 定義為n 與N 的比值，n=0 時(shí)巖石無損傷產(chǎn)生，n=N 時(shí)裂紋全部張開，巖石破壞。因此做出以下假設(shè)：（1）材料內(nèi)部存在眾多互不影響的裂紋，忽略材料局部特性的變化；（2）裂紋三維空間形狀和裂縫平面內(nèi)應(yīng)力的影響忽略不計(jì)；（3）從初始加載到損傷閾值處都是彈性階段。

根據(jù)Weibull 分布，損傷變量D 的表達(dá)式[16]為

將式（4）代入式（2），可得

將式（6）再代入式（1），可得其本構(gòu)模型的表達(dá)式為

Weibull 分布的概率公式的損傷變量表達(dá)式中存在損傷變量，使得本構(gòu)模型無法使用數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行擬合，本研究將基于Weibull 分布的本構(gòu)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單變換，消去損傷變量表達(dá)式中的損傷變量，并對(duì)本構(gòu)進(jìn)行等式變換。

將式（7）變換可得

根據(jù)式（5），將式(6)由含損傷變量的名義主應(yīng)力表達(dá)式轉(zhuǎn)換成由主應(yīng)力和損傷變量共同描述的巖石裂紋張開強(qiáng)度

將式（8）代入式（9），消去損傷變量，可得

將式（10）代入本構(gòu)方程式（7），可得

2 循環(huán)加-卸載試驗(yàn)

圖1 為張媛等[15]獲得的高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載試驗(yàn)曲線。張媛等[15]進(jìn)行了圍壓分別為20、40、60 MPa 時(shí)的三軸循環(huán)加-卸載試驗(yàn)，每次加載的圍壓都相同，軸向荷載采用應(yīng)力控制方式，加載波形為三角波。每次循環(huán)的加載上限為巖石強(qiáng)度的70%，下限為巖石強(qiáng)度的25%。砂巖的彈性模量為45 GPa，泊松比為0.142。從其使用數(shù)學(xué)模型得到的擬合曲線中，可以獲得每個(gè)循環(huán)中巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。本研究使用高圍壓循環(huán)加-卸載巖石本構(gòu)模型，對(duì)張媛等[15]獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

圖 1 不同圍壓下 σ1-ε1 曲線Fig. 1 Axial stress-strain curves under different confining pressures

3 損傷閾值確定及本構(gòu)模型參數(shù)擬合

3.1 損傷閾值的確定

為了研究本構(gòu)模型的適用范圍，需要根據(jù)高圍壓下循環(huán)加-卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線和本構(gòu)模型，對(duì)巖石的損傷變量進(jìn)行探討，以此確定巖石的損傷閾值，確定本構(gòu)模型的使用范圍。將式（1）進(jìn)行等式變換，可得

在圍壓相等的高圍壓下，式（12）可變?yōu)?/p>

當(dāng)D=0 時(shí)，巖石不發(fā)生損傷；當(dāng)D ＞ 0 時(shí)，巖石開始發(fā)生損傷，并且損傷是一個(gè)連續(xù)過程。將巖石參數(shù)代入式（13），可知砂巖在圍壓為20、40、60 MPa 時(shí)發(fā)生損傷，應(yīng)變值分別為3.182 2×10-4、6.364 4×10-4、7.111 1×10-4。由圖1 可知：在應(yīng)力較小處，巖石已經(jīng)產(chǎn)生損傷，并且不同圍壓下循環(huán)下限的應(yīng)變值均大于產(chǎn)生初始損傷時(shí)的應(yīng)變閾值；隨著圍壓增大，巖石的損傷閾值也隨之增加，呈非線性增長(zhǎng)。高圍壓下巖石本構(gòu)模型產(chǎn)生損傷時(shí)的軸向應(yīng)變值較小，即巖石的彈性階段較短，從側(cè)面反映了巖石在高圍壓下的非線性力學(xué)特征。

3.2 本構(gòu)模型的參數(shù)擬合

圖2 為巖石在60 MPa 圍壓下第1 次加載時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變擬合曲線。從圖2 可以看出，第1 次加載的擬合效果相對(duì)良好，并且將擬合得到的參數(shù)代入本構(gòu)模型中時(shí)，能夠較好地描述巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

圖 2 第1 次循環(huán)加載曲線擬合及驗(yàn)證Fig. 2 Curve fitting and verification of the first cyclic loading

本研究以圍壓為60 MPa 時(shí)砂巖第2、4、6、8、10 次循環(huán)加-卸載原始數(shù)據(jù)為例進(jìn)行擬合，具體參數(shù)如表1 所示，其中M 為循環(huán)次數(shù)。擬合的校正系數(shù)均在0.99 以上，說明擬合效果良好。

表 1 圍壓為60 MPa 時(shí)本構(gòu)模型參數(shù)Table 1 Parameters of constitutive model with confining pressure of 60 MPa

4 參數(shù)的演化規(guī)律及本構(gòu)模型的驗(yàn)證

4.1 參數(shù)的演化規(guī)律及其物理意義

通過表1 可以看出：無論是加載階段還是卸載階段，參數(shù)F0均隨著循環(huán)次數(shù)的提高呈非線性增長(zhǎng)；但是加載參數(shù)m 在加載階段隨著循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸減小，在卸載階段隨著循環(huán)次數(shù)的增加而增大。圖3 顯示了循環(huán)加-卸載本構(gòu)參數(shù)的演化規(guī)律。

圖 3 循環(huán)加-卸載本構(gòu)參數(shù)演化規(guī)律Fig. 3 Evolution of cyclic loading and unloading constitutive parameters

在同一組數(shù)據(jù)中，只有循環(huán)次數(shù)是不斷變化的，使用數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行擬合后發(fā)現(xiàn)，參數(shù)的演化趨勢(shì)服從

式中：a、b 表示擬合參數(shù)，M 表示循環(huán)次數(shù)。

從圖3(a)、圖3(c)擬合得到的參數(shù)演化規(guī)律可以看出，隨著循環(huán)次數(shù)的增多，無論是加載還是卸載，參數(shù)F0都隨著加載次數(shù)的增多呈逐漸上升趨勢(shì)。根據(jù)第1 節(jié)推導(dǎo)過程中的假設(shè)，參數(shù)F0與裂紋擴(kuò)展的強(qiáng)度有關(guān)，參數(shù)m 與巖石裂紋分布有關(guān)。隨著加載次數(shù)增多，巖石逐漸硬化，巖石裂紋擴(kuò)展時(shí)所需的強(qiáng)度逐漸增高，說明參數(shù)F0越大，巖石裂紋擴(kuò)展需要的強(qiáng)度越大，巖石的硬化度越高。巖石并非通常假設(shè)的各向同性均質(zhì)體，其內(nèi)部存在許多細(xì)微裂紋，因此施加外部荷載時(shí)，巖石中的部分微裂紋會(huì)閉合，當(dāng)荷載增加到一定程度時(shí)，部分閉合的裂紋開始擴(kuò)展，新裂紋生成、擴(kuò)展。由于裂紋間并非光滑，存在界面摩擦，隨著循環(huán)次數(shù)增多，部分可張開的裂紋在荷載作用下閉合所需克服的摩擦力減小，所以隨著循環(huán)次數(shù)增多，在荷載作用下舊裂紋擴(kuò)展、新裂紋生成及擴(kuò)展越多，并且部分原始裂紋閉合也越多。新裂紋生成及擴(kuò)展需要的力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原始裂紋閉合需要克服的摩擦力，所以在加載階段新裂紋生成及擴(kuò)展數(shù)相比原始裂紋閉合的裂紋數(shù)要少。在卸載階段，由于荷載減小，部分閉合的裂紋逐漸張開，而擴(kuò)展的裂紋和新增裂紋擴(kuò)展部分并不會(huì)因?yàn)橥獠亢奢d的減小而閉合，所以參數(shù)m 呈上升趨勢(shì)；而在加載階段，由于在荷載作用下閉合的原始裂紋較多，所以整體呈下降趨勢(shì)?；谏鲜龇治觯梢哉J(rèn)為，本構(gòu)參數(shù)m 與裂紋擴(kuò)展數(shù)呈正相關(guān)，裂紋張開數(shù)越多，參數(shù)m 越大。

4.2 參數(shù)與圍壓的關(guān)系

為了便于應(yīng)用巖石循環(huán)加-卸載本構(gòu)模型，對(duì)圍壓與巖石參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，見圖4。

圖 4 圍壓與本構(gòu)模型參數(shù)的關(guān)系Fig. 4 Relationship between confining pressure and constitutive model parameters

圖4 中參數(shù) σm表示圍壓大小。通過對(duì)不同圍壓下本構(gòu)模型參數(shù)的演化規(guī)律進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)F0與圍壓的大小呈線性關(guān)系，參數(shù)m 與圍壓的大小呈非線性關(guān)系。利用圍壓與參數(shù)的關(guān)系可以得出第1 次加-卸載參數(shù)，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)圍壓下巖石參數(shù)的演化規(guī)律，對(duì)于深部巖石在長(zhǎng)期周期荷載作用下的變形預(yù)測(cè)具有一定的借鑒意義。

4.3 本構(gòu)模型的驗(yàn)證

基于參數(shù)的演化規(guī)律，將式（15）代入式（11），可以得到高圍壓下巖石的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

式中：A、B、C、D 均為本構(gòu)模型參數(shù)，加載階段的參數(shù)與卸載階段的參數(shù)不相同，加載階段A、B、C、D 的具體數(shù)值如圖3（a）、圖3（b）所示，卸載階段的參數(shù)數(shù)值如圖3（c）、圖3（d）所示。如果將擬合得到的參數(shù)代入本構(gòu)模型中對(duì)比理論值與原始數(shù)據(jù)只能說明擬合的效果，而不能表明本構(gòu)模型的正確性。為此基于上述偶數(shù)次加載參數(shù)的擬合公式，求出奇數(shù)次循環(huán)的參數(shù)值，將奇數(shù)次循環(huán)的參數(shù)代入本構(gòu)模型中得出本構(gòu)的理論值。通過對(duì)比加-卸載曲線的原始數(shù)據(jù)與本構(gòu)對(duì)應(yīng)的理論值來驗(yàn)證本構(gòu)模型的正確性，如圖5 所示。

圖 5 奇數(shù)次循環(huán)的加-卸載曲線理論值與原始數(shù)據(jù)對(duì)比Fig. 5 Comparison of theoretical values of loading and unloading curves with original data for odd cycles

對(duì)比理論值與原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，基于Griffith 準(zhǔn)則的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型能夠較好地描述和表征高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線，說明了本構(gòu)模型的合理性及正確性。對(duì)于圍壓為20、40 MPa的循環(huán)加-卸載，采用同樣的方法進(jìn)行研究，除了F0、m 的大小不同，不同循環(huán)下的參數(shù)演化規(guī)律也服從式（15），故在此不再一一列舉。以Griffith 準(zhǔn)則建立的本構(gòu)模型理論值與高圍壓下巖石變形的試驗(yàn)值較吻合，從而為描述巖石在高圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線提供了新的思路。

5 結(jié) 論

（1）根據(jù)Griffith 準(zhǔn)則，巖石內(nèi)部存在許多細(xì)微裂紋，巖石破壞是由于裂紋的擴(kuò)展。已有的研究也表明，巖石內(nèi)部裂紋數(shù)服從Weibull 分布。因此，基于Griffith 準(zhǔn)則建立的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型與巖石的實(shí)際情況更相符。該模型參數(shù)少，參數(shù)演化規(guī)律明確，且便于擬合。該研究方法對(duì)高圍壓下受周期荷載作用的巖石變形預(yù)測(cè)具有一定借鑒意義。

（2）通過本構(gòu)模型的等式變換，確定了不同圍壓下巖石的損傷閾值，損傷閾值處的軸向應(yīng)變值較小，并且不同圍壓下產(chǎn)生損傷時(shí)的應(yīng)變值隨著圍壓增大呈現(xiàn)非線性增長(zhǎng)。

（3）對(duì)本構(gòu)模型參數(shù)的演化規(guī)律進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：參數(shù)F0與圍壓呈線性關(guān)系，并且F0與裂紋擴(kuò)展強(qiáng)度呈正相關(guān)性；參數(shù)m 與裂紋張開數(shù)目相關(guān)，裂紋張開數(shù)目越多，m 越大；參數(shù)F0隨著圍壓的增大呈線性增長(zhǎng)，參數(shù)m 隨圍壓的增加呈非線性增長(zhǎng)。

（4）采用偶數(shù)次循環(huán)的加載和卸載曲線對(duì)本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析，得到本構(gòu)參數(shù)在不同循環(huán)次數(shù)和不同圍壓下的演化規(guī)律，由此計(jì)算出奇數(shù)次循環(huán)的加載和卸載曲線本構(gòu)理論值，并與試驗(yàn)曲線對(duì)比，驗(yàn)證了本構(gòu)模型的合理性和正確性。