顯含阻尼項(xiàng)的二階非線性中立型Emden-Fowler微分方程的振動性和漸近性

仉志余,宋菲菲,俞元洪

(1.太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系,山西 太原030008;2.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院,北京100190)

1.引言

來源于數(shù)學(xué)物理方程的Emden-Fowler型微分方程的研究成果已被廣泛應(yīng)用在天體物理、氣體動力學(xué)、物理化學(xué)以及各高新技術(shù)領(lǐng)域之中[1?4].例如帶阻尼項(xiàng)的二階Emden-Fowler方程

其中z(t)=x(t)+g(t)x(τ(t)),r ∈C1([t0,∞),(0,∞)),p,q ∈C([t0,∞),[0,∞)),α>0,β >0為常數(shù),在0≤g(t)≤1,p(t)≥0,q(t)≥0,r′(t)>0等基本假設(shè)條件下,獲得了多個振動定理,推廣了上述有關(guān)文獻(xiàn)的部分結(jié)果.

通過以上分析不難看出,方程(1.1)、(1.3)-(1.10)均為方程(1.2)的特殊類型,而且它們所謂的阻尼項(xiàng)系數(shù)(例如(1.6),(1.7)中的r(t)和(1.8)-(1.10)中的p(t))和中立項(xiàng)系數(shù)(例如(1.3)-(1.5)、(1.9)、(1.10)中的r(t)和(1.6)-(1.8)中的a(t))的導(dǎo)數(shù)都是非負(fù)函數(shù).但是,不難發(fā)現(xiàn),這些方程中顯含的阻尼項(xiàng)并不代表實(shí)際物理意義下的全部阻尼項(xiàng).因?yàn)橛晌腫30] 知,當(dāng)r(t)>0,r′(t)≥0時,二階微分方程

因此,對于方程(1.2),本文將總假設(shè)以下條件成立：

(H1)r′(t)+g(t)≥0 且0≤p(t)≤p0<∞.

(H2)τ ?σ=σ ?τ,τ′(t)≥τ0>0.

(H3) 存在不恒為零的函數(shù)q ∈C([t0,∞),[0,∞)),滿足f(t,u)/u≥q(t)≥0，u≠0,t ≥t0.

其次,本文將引進(jìn)指數(shù)函數(shù)變換,并借助于Riccati變換,積分平均和不等式技巧研究方程(1.2)的振動性和漸近性,建立新的振動準(zhǔn)則,順便導(dǎo)出方程(1.1)新的振動性漸近性判據(jù).

下面,引入指數(shù)函數(shù)變換

用φ(t)乘以方程(1.2)的兩端,則(1.2)變?yōu)榈葍r的不顯含阻尼項(xiàng)的微分方程

其中R(t)=r(t)φ(t).

我們通過方程(E0),在兩種情形∫

下,分別討論方程(1.2)的振動性和漸近性,為此先給出以下幾個引理.

引理1.1設(shè)(H3)和(1.13) 式成立.如果x(t)是方程(1.2)的最終正解,則最終有z′(t)>0.

證 因?yàn)閤(t)是方程(1.2)在[t0,∞) 上的最終正解,則存在t1≥t0,使得當(dāng)t ≥t1時有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,由(H3)和(E0),我們得到

因此φ(t)r(t)|z′(t)|α?1z′(t) 是非增函數(shù)且z′(t)最終保號,于是z′(t) 僅有兩種可能.我們斷言z′(t)>0,t>t1.否則,假設(shè)z′(t)≤0,t>t1.由(1.15)式知,存在常數(shù)K >0 使得

從t1到t積分上式,我們得到

在上式中令t →∞,由條件(1.13)得z(t)→?∞.此式與(1.15)式矛盾,故結(jié)論成立.證畢.

引理1.2設(shè)A>0,B ≥0,λ>0且均為常數(shù),則當(dāng)u>0 時,有

引理1.3設(shè)X >0,Y >0,λ>0為任意實(shí)數(shù),則有

當(dāng)且僅當(dāng)X=Y,λ ≥1時第一式等號成立.

2.主要結(jié)果

為建立方程(1.2)振動性漸近性準(zhǔn)則,引入以下記號：

其中R(t)=φ(t)r(t),φ(t)由(1.12)式定義.

定理2.1設(shè)(H1)-(H3)和條件(1.13)式成立.如果存在函數(shù)ρ ∈C1([t0,∞),(0,∞))和t2≥t1≥t0,使得當(dāng)t ≥t2時σ(t)≥t1,并對任意常數(shù)m ∈(0,1] (當(dāng)α=β時,m=1),恒有

成立,其中Cβ,Q(t)和ψ(t,t1)分別由(1.17)和(2.1)式定義,則方程(1.2)振動.

證假設(shè)x(t)是方程(1.2)的非振動解.不失一般性,設(shè)x(t)為[t0,∞)上的最終正解(x(t)<0的情況類似可證),則存在t2≥t1≥t0,使得t ≥t1時,有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,當(dāng)t ≥t2時,有σ(t2)≥t1.于是,由方程(1.2)的等價方程(E0)得不等式

(R(t)(z′(t))α)′+Q(t)f(xβ(σ(t)))=0,

可得

以及

結(jié)合(2.3)和(2.4)式,并注意到σ ?τ=τ ?σ,z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))以及引理1.3,得

根據(jù)引理1.1知,不妨設(shè)z′(t)>0,t ≥t1.于是,對于α,β的取值,分兩種情形討論如下：

情形1α ≤β,這時,λ=α.作Riccati變換

則w(t)>0,t ≥t1.對(2.6)式求導(dǎo)并注意到τ′(t)≥τ0>0,得

結(jié)合(2.8)和(2.10)式,并注意到(2.5)式及z′(t)>0,得

注意到這時λ=α,γ=1,mα ∈(0,1].所以,上式與(2.2)式矛盾.

情形2α>β

作形如(2.6)式的Riccati變換,則(2.7)式仍成立.由于R(t)(z′(t))α >0單調(diào)減,所以,當(dāng)t ≥t1時,有R(t)(z′(t))α ≤m1=max{R(t1)(z′(t1))α,1}.則m1≥1,又有

將上式代入(2.7)式并利用引理1.2的(1.16)式,得

在文[7]中,LI和Rogovchenko對于方程(1.3)限定β >α=1時,就τ(t),σ(t)與t大小比較的多種情形,獲得了多個振動定理3.1-3.8.例如其定理3.3,因?yàn)檫@時(H3)自然滿足,所以,可以改述為

定理2.2(LI-Rogovchenko定理) 設(shè)(H1),(H2),σ(t)≤τ(t)≤t.若有

均成立,則方程(1.3)振動.

特別在本文定理2.1中取函數(shù)ρ(t)為非零常數(shù),則立即可得類似的L-R型振動定理如下.

推論2.1(LI-Rogovchenko型振動定理) 設(shè)(H1)-(H3)和條件(1.13)式成立.如果存在t2≥t1≥t0,使得當(dāng)t>t2時有σ(t)≥t1和

其中H(t,t1),Q(t)如(2.1)式定義,則方程(1.2)振動.

注2.1易知,本文推論2.1又是著名Leighton振動定理[33](即當(dāng)=∞時,方程(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0 振動)的自然推廣,但是文[7]的諸定理不能還原到Leighton振動定理,因?yàn)槠渲械摩?>1.

注2.2顯然即使當(dāng)方程(1.2)退化成不顯含阻尼項(xiàng)的方程(1.5)或(1.3)時,本文推論2.1也是新的,本文定理2.1也統(tǒng)一了文[2](其中α=β)定理4和定理5的形式.同時本文定理2.1已完全包含和改進(jìn)了文[27]的定理1,因?yàn)閺钠渥C明中可以看出,定理1中的η >0,η1=a(t1)(z′(t1))λ >0均應(yīng)該是任意正常數(shù)方可,而本文定理2.1中對應(yīng)的任意常數(shù)為m ∈(0,1] (特別,當(dāng)α=β時,m=1) 更嚴(yán)謹(jǐn)更精確.此外,對于如下例2.1,本文所列文獻(xiàn)及其引文均無效,可見本文定理2.1及其推論2.1 的效果.

例2.1考慮方程

和

均成立,其中φ(t) 由(1.12)式定義,H(t,t1),Q(t)如(2.1)式定義,則方程(1.2)的每一個解x(t)振動或.

例2.2討論方程

所以,(2.21)式也成立.故由推論2.2知,方程(2.22)的每個解x(t)振動或.

例2.3討論方程