一年齡結(jié)構(gòu)乙肝傳染病模型及穩(wěn)定性

王改霞,劉紀(jì)軒,李學(xué)志

(1.信陽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 信陽464000;2.空軍工程大學(xué)航空機務(wù)士官學(xué)校基礎(chǔ)部,河南 信陽464000;3.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng)453007)

1.引言

2017年10月27日,世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構(gòu)公布的致癌物清單初步整理參考,乙型肝炎病毒(慢性感染)在一類致癌物清單中.慢性乙型肝炎(簡稱乙肝)是指乙肝病毒檢測為陽性,病程超過半年或發(fā)病日期不明確而臨床有慢性肝炎表現(xiàn)者.臨床表現(xiàn)為乏力、畏食、惡心、腹脹、肝區(qū)疼痛等癥狀.從肝炎病毒入侵到臨床出現(xiàn)最初癥狀以前,這段時期稱為潛伏期[1?4].乙肝潛伏期為6周～6個月,一般為3個月.潛伏期隨病原體的種類、數(shù)量、毒力、人體免疫狀態(tài)而長短不一.

因為不同年齡的人對乙肝的免疫能力、潛伏期長短、感染能力及傳播能力不同,故年齡對乙肝傳播的影響不可忽略[5?10].而不同體質(zhì)的易感者接觸乙肝病人后可能會直接發(fā)病,也可能潛伏一段時間才表現(xiàn)出來,因而討論易感類人群接觸病人后比例進(jìn)入潛伏類和染病類的傳染病模型更加符合實際.

2.模型

把總?cè)丝诜譃橐赘蓄悺摲?、染病類、免疫?分別用S(a,t),E(a,t),I(a,t),R(a,t)表示各類年齡密度函數(shù),a為年齡,t為時間.μ(a)為年齡依賴自然死亡率,[ε(a)]?1平均潛伏周期,[α(a)]?1為平均染病周期,b(a)為年齡依賴出生率.令感染力函數(shù)[5]為

其中β(a)為年齡依賴的染病率,k(a)為年齡依賴的接觸率.不考慮因病死亡,則易感類人群接觸病人后按比例q和1?q進(jìn)入潛伏類和染病類的年齡結(jié)構(gòu)SEIR傳染病模型為

這是一個標(biāo)準(zhǔn)的Mckendrick-von forester方程.假設(shè)所有的參數(shù)都非負(fù),且

假設(shè)當(dāng)個體超過一定生育年齡時b(a)=0.假設(shè)總?cè)丝谔幱诜€(wěn)定狀態(tài)[6],即假設(shè)

設(shè)S0(a)≥0,E0(a)≥0,I0(a)≥0,R0(a)≥0,S0(a)+E0(a)+I0(a)+R0(a)=P∞(a).則有

由(2.3)得

對系統(tǒng)(2.1) 作歸一化處理

則系統(tǒng)(2.1) 轉(zhuǎn)化為

及邊界條件

3.無病平衡點及其穩(wěn)定性

系統(tǒng)(2.4) 及其邊界條件的平衡解滿足

易得(3.1)的無病平衡點E0(1,0,0,0).為討論其穩(wěn)定性,將系統(tǒng)(2.4)在E0處線性化,考慮如下形式的指數(shù)解

省略高階項得

其中

為常數(shù).由(3.2)第二個方程得

代入(3.2)第三個方程得

把(3.4)代入(3.3),兩邊同除以V0(其中V0≠0) 可得特征方程為

4.地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性

其中N是總?cè)丝?β+=max{sup[0,+∞)β(a)}.

定理4.2若條件(4.9)滿足,則

1)T(λ)關(guān)于λ遞減且當(dāng)λ →+∞時趨近于0;

2)T(0)<1.

證1) 若條件(4.9)滿足,則(4.8)式兩個中括號內(nèi)的式子都大于零,進(jìn)而可得T(λ)≥0,關(guān)于指數(shù)λ遞減且當(dāng)λ →+∞時T →0.

2) 令λ=0得

由(4.4)可以看出上式第一項積分等于1.因此,T(0)<1.證畢.

定理4.2及(4.8)說明方程T(λ)=1,也就是(4.7)有唯一的負(fù)實根且所有的復(fù)根實部都小于這個實根.因此有

定理4.3假設(shè)(4.9)成立,則系統(tǒng)(2.4)的地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定.

5.討論