講授力學(xué)原理統(tǒng)一性
——以彈簧振子為例

劉建林

(中國石油大學(xué)(華東)儲運(yùn)與建筑工程學(xué)院，山東 青島 266580)

引言

經(jīng)典動力學(xué)(Dynamics)的主要研究對象為質(zhì)點(diǎn)和剛體，研究的關(guān)注點(diǎn)為其加速度和外力之間的定量關(guān)系。首先為了描述質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動，我們引入了位移、速度、加速度、角位移、角速度、角加速度等運(yùn)動量。而這些運(yùn)動量與慣性量的組合則可以產(chǎn)生廣義力，包括力、力矩等。通過牛頓第二定律或者由其派生出來的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程、剛體作平面運(yùn)動的微分方程等可以建立廣義力與廣義加速度之間的關(guān)系[1]。經(jīng)過幾百年的發(fā)展，牛頓定律日益完善，其在工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，例如航天器運(yùn)動、汽車設(shè)計(jì)、流體運(yùn)動、彈性體振動、沖擊和碰撞力學(xué)等。

另外一種看待質(zhì)點(diǎn)和剛體運(yùn)動的視野即為能量法。如果對于一個(gè)保守系統(tǒng)，則應(yīng)該滿足機(jī)械能守恒定律，實(shí)際該定律可以等價(jià)于其運(yùn)動方程。而為了進(jìn)一步研究有眾多自由度的復(fù)雜系統(tǒng)，歐拉(1707—1783)和拉格朗日(1736—1813)又引入了拉格朗日方程，其特點(diǎn)在于將廣義位移和廣義速度看作沒有關(guān)聯(lián)的兩組變量，從而可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動方程組[2-5]。從建立在能量基礎(chǔ)上的變分法出發(fā)，運(yùn)用最小作用量原理，可以經(jīng)對哈密頓作用量變分后推導(dǎo)出拉格朗日方程。在此基礎(chǔ)上哈密頓(1805—1865)則引入了廣義動量和廣義坐標(biāo)進(jìn)行對應(yīng)，從而獲得了具有對稱性的哈密頓正則方程[6-9]。實(shí)際上哈密頓正則方程也可以通過哈密頓變分原理直接推導(dǎo)得到。從牛頓第二定律，到拉格朗日方程，再到哈密頓變分原理，力學(xué)的發(fā)展空間不斷拓寬，能夠解決的復(fù)雜問題越來越多，例如哈密頓原理可以應(yīng)用于量子力學(xué)領(lǐng)域[10,11]。

由此可見，經(jīng)典動力學(xué)中涉及諸多運(yùn)動定律，讓初學(xué)者不免眼花繚亂，無所適從。本文力圖從如何教與學(xué)的角度來對上述原理之間的脈絡(luò)關(guān)系進(jìn)行梳理。實(shí)際上，為了應(yīng)付高考，中學(xué)物理教學(xué)中的大量訓(xùn)練往往過度刷題，這導(dǎo)致了學(xué)生對物理知識理解的支離破碎。指望大學(xué)教學(xué)來糾正這一點(diǎn)也頗具挑戰(zhàn)性，因?yàn)榇髮W(xué)也有應(yīng)試，更糟糕的是大學(xué)課時(shí)經(jīng)多輪壓縮后更加劇了課時(shí)短缺帶來的教學(xué)挑戰(zhàn)性。不僅是很多大學(xué)生，即便是有少部分年青老師，由于投入精力不夠，而對物理學(xué)內(nèi)在的邏輯統(tǒng)一性欠缺深度的理解。經(jīng)典力學(xué)是物理教學(xué)的重要內(nèi)容，定理原理繁多，但是它們都是描述同一物理現(xiàn)象，所以本質(zhì)必然是一致的，但如何使用簡單的教學(xué)案例，在盡可能短的時(shí)間成本下將這些定理原理的一致性展示出來，也是教學(xué)中的一個(gè)重要命題。

本文則試圖使用彈簧振子的簡單案例把牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、拉格朗日方程、哈密頓正則方程、哈密頓變分原理五個(gè)經(jīng)典力學(xué)原理串起來，理解它們的一致性和各自運(yùn)用優(yōu)勢。通過澄清上述原理之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以讓學(xué)生一通百通，統(tǒng)觀全局，從而能夠熟練掌握其工程應(yīng)用。

1 牛頓第二定律

由圖1所示，一彈簧振子在水平地面上作無阻尼的自由振動，其中彈簧剛度系數(shù)為k，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，圖示坐標(biāo)原點(diǎn)O為質(zhì)量塊的平衡位置。根據(jù)胡克定律，彈簧的拉力，即合外力大小與質(zhì)量塊離開平衡位置的位移x成正比，但始終與其運(yùn)動方向相反，如圖2所示。故而由牛頓第二定律可得其運(yùn)動方程(下述我們直接將運(yùn)動方程用牛頓第二定律來表達(dá))：

圖2 質(zhì)量塊受力分析

圖1 彈簧振子示意圖

(1)

亦即

(2)

x=Asinωt+Bcosωt

(3)

其中A和B為待定系數(shù)，可根據(jù)初始條件來確定。

2 機(jī)械能守恒定律

彈簧振子的運(yùn)動方程，即牛頓第二定律，也可通過機(jī)械能守恒定律求得。很顯然，系統(tǒng)的動能為

(4)

彈簧勢能為

(5)

則系統(tǒng)的機(jī)械能為

(6)

機(jī)械能守恒定律為

(7)

對時(shí)間求導(dǎo)則得

(8)

經(jīng)過化簡后可得到運(yùn)動方程(2)。

3 拉格朗日方程

彈簧振子的運(yùn)動微分方程還可以用拉格朗日定理推導(dǎo)出來。其中拉格朗日函數(shù)定義為

(9)

則有

將方程(10)和方程(11)代入拉格朗日方程

(12)

整理可得方程(2)。

4 哈密頓正則方程

參照拉格朗日函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方程(10)和方程(11)可以類似定義廣義動量

(13)

則有

(14)

對拉格朗日函數(shù)進(jìn)行勒讓德變換，可以得到哈密頓函數(shù)的表達(dá)式為

(15)

求導(dǎo)可得哈密頓正則方程

聯(lián)立方程(16)和(17)，消去廣義動量p，可得方程(2)。

另外，由方程(6)和方程(15)可見

H=E

(18)

即對于彈簧振子而言，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)即其機(jī)械能，因而滿足機(jī)械能守恒定律

(19)

5 哈密頓原理

上述拉格朗日方程和哈密頓正則方程實(shí)際上可以由哈密頓原理推導(dǎo)出來。哈密頓原理又稱為最小作用量原理，是數(shù)學(xué)家哈密頓1834年發(fā)表的一個(gè)適用于完整系統(tǒng)的變分原理，即哈密頓作用量的變分為零

δS=0

(20)

其中對于上述彈簧振子，哈密頓作用量定義為

(21)

對方程(21)進(jìn)行變分，可以得到

(22)

由此可見，對哈密頓作用量進(jìn)行變分后，在進(jìn)行分部積分后可以推得拉格朗日方程(12)。

類似，以哈密頓函數(shù)表示的哈密頓作用量為

(23)

對上式進(jìn)行變分可得

(24)

由此可見，對哈密頓作用量進(jìn)行變分后，經(jīng)過分部積分處理后，亦可以得到哈密頓正則方程(16)和方程(17)。

若已知拉格朗日函數(shù)的顯示表達(dá)，則將其直接代入哈密頓作用量可得

(25)

則直接變分可得

(26)

由此可直接推得牛頓第二定律。

6 討論

綜上所述，這五種力學(xué)原理之間具有非常強(qiáng)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，但其各種關(guān)系縱橫交錯(cuò)，令初學(xué)者感到思路混亂，對提高老師的教學(xué)效率和減少學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)提出了很大挑戰(zhàn)。故此我們將其相互關(guān)系列入圖3之中，使老師和學(xué)生能夠更加清晰地梳理其脈絡(luò)。

圖3 五個(gè)力學(xué)定律之間的關(guān)系圖

由圖3可見，彈簧振子的振動可以由牛頓第二定律直接建立力與加速度的關(guān)系，從而得到其運(yùn)動微分方程。在此基礎(chǔ)上，對該運(yùn)動方程進(jìn)行初積分，即可得到機(jī)械能守恒定律。而機(jī)械能對時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，則可得到牛頓第二定律。然后定義拉格朗日函數(shù)，則可以運(yùn)用拉格朗日定理推導(dǎo)出牛頓第二定律。類似地，通過勒讓德變換引入哈密頓函數(shù)，也可以根據(jù)哈密頓正則方程推導(dǎo)出牛頓第二定律。實(shí)則機(jī)械能守恒定律，即哈密頓函數(shù)對于時(shí)間求導(dǎo)為零，正是哈密頓正則方程組的其中一個(gè)方程。而哈密頓原理則為比前面四個(gè)定理更加具有普遍性，經(jīng)過對哈密頓作用量進(jìn)行變分，可以直接推出拉格朗日函數(shù)和哈密頓正則方程，也可以直接推導(dǎo)出牛頓第二定律。

7 結(jié)語

本文以彈簧振子為例，詳細(xì)闡述了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密頓正則方程、哈密頓變分原理這五種力學(xué)原理之間的相互關(guān)系。其中牛頓第二定律是從受力角度進(jìn)行分析，而機(jī)械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密頓正則方程則是從能量角度出發(fā)。哈密頓變分原理則為更為普遍的力學(xué)原理，通過對其變分可以推導(dǎo)出拉格朗日方程、哈密頓正則方程以及運(yùn)動微分方程。

盡管彈簧振子比較簡單，但對上述五種力學(xué)原理的統(tǒng)一性可以管中窺豹、略見一斑。實(shí)則，對于更為復(fù)雜的系統(tǒng)，運(yùn)用上述定理也可以進(jìn)行處理，但是對于不同的問題其方便程度不同。例如對于約束較多的復(fù)雜系統(tǒng)，運(yùn)用牛頓第二定律就比較麻煩，但是如果用拉格朗日方程則可以大大減少工作量。再比如，對于彈性結(jié)構(gòu)(梁、桿、板、殼、體等)的變形和運(yùn)動，運(yùn)用哈密頓變分原理可以直接推導(dǎo)出其拉格朗日方程，簡化后即為其控制方程，可以進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析?？傊?，對于上述定理運(yùn)用方面的探索是一個(gè)永恒的目標(biāo)，目前正在拓展到更多領(lǐng)域。