第一主族元素原子光譜精細結(jié)構(gòu)強度比值計算

王陸君瑜 譚志陽 陳康寧 吳 平 陳 森

(北京科技大學(xué) 1材料科學(xué)與工程學(xué)院 2數(shù)理學(xué)院； 3土木與資源工程學(xué)院；4自然科學(xué)基礎(chǔ)實驗中心，北京 100083)

氫原子及堿金屬原子光譜是近代物理實驗教學(xué)中的一個重要實驗內(nèi)容，有助于學(xué)生對原子光譜精細結(jié)構(gòu)和量子缺的理解。該類原子光譜具有不同的線系，精細結(jié)構(gòu)的強度具有不同的比值，對于一個特定的線系而言，其比值接近一個定值。在實驗教學(xué)中，往往主要關(guān)心譜線對應(yīng)的波長，卻很少關(guān)注譜線的強度比[1]，而譜線的強度比反映了從高能級到低能級的躍遷速率，能級的布居數(shù)等信息，因此光譜線的強度也是一個值得關(guān)注的點。查閱相關(guān)文獻發(fā)現(xiàn)，前人雖然研究過氫原子及堿金屬原子各線系的譜線強度比，但是對上下能級均存在由于精細結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生能級分裂的情況，無法進行直接計算，而需要將上能級或者下能級進行簡并，考慮為一個能級再進行計算，且在計算過程中還要引入下能級的布居數(shù)[2-4]。而按照愛因斯坦輻射理論，光譜線的強度為Imn=NmAmnhνmn，其中Nm是上能級的原子數(shù)目，Amn是自發(fā)輻射系數(shù)，νmn是譜線頻率，在計算過程中我們只應(yīng)該出現(xiàn)上能級的原子數(shù)，而不應(yīng)出現(xiàn)下能級的原子數(shù)。因此本文提出了一種更為精確的對氫原子及堿金屬原子光譜不同線系精細結(jié)構(gòu)強度比值的計算方法，直接從量子躍遷的角度出發(fā)，在電偶極輻射近似下，對自發(fā)躍遷幾率進行計算，進而求出譜線強度的比值。

1 躍遷幾率計算

由愛因斯坦的受激輻射理論，有：

(1)

式中A21為愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù)，代表單位時間原子從上一能級到下一能級的自發(fā)輻射概率；B21為受激輻射系數(shù)。取能級非簡并的情況，則有B12=B21，B12為受激吸收系數(shù)。在室溫下，可見光波段，受激輻射強度與自發(fā)輻射的比值為：

(2)

所以受激輻射、受激吸收系數(shù)與自發(fā)輻射系數(shù)相比均可以忽略。

由量子力學(xué)理論可知，從Ψnljmj躍遷到Ψn′l′j′m′j的自發(fā)輻射系數(shù)[5]為：

(3)

式中ωkk′為輻射光子的角頻率，其中rkk′滿足rkk′=〈Ψnljmj|r|Ψn′l′j′m′j〉。

由公式(3)可以看出對于兩個固定能級，角頻率為確定的值，主要計算矩陣元rkk′即可。徑向部分對于從nl能級躍遷到n′l′是相同的，意味著只要上下能級的主量子數(shù)和角量子數(shù)固定，徑向部分就是定值。而對于氫原子及堿金屬原子，價電子的能量本征態(tài)可選為守恒量完全集(H,l2,j2,jz) 的共同本征態(tài)，即Ψnljmj=R(r)φljmj，其中φljmj滿足[5]：

(4)

所以矩陣元可以寫作：

(5)

下面分類討論：

1.1 對于l′=l+1的情況

1.1.1φA→φA型

(6)

1.1.2φB→φB型

(7)

此時相當于φA→φA型中階數(shù)降一。

1.1.3φA→φB型

(8)

1.1.4φB→φA型

不符合選擇定則，此時是禁止躍遷的。

1.2 對于l′=l-1的情況

1.2.1φA→φA型

(9)

1.2.2φB→φB型

(10)

此時相當于φA→φA型中階數(shù)降一。

1.2.3φA→φB型

不滿足選擇定則，此時是禁止躍遷的。

1.2.4φB→φA型

(11)

最終結(jié)果都表明對于上一能級，無論mj取值如何都不影響最終計算結(jié)果，在實驗儀器無法區(qū)分這些簡并態(tài)時，我們假定每一種態(tài)出現(xiàn)的概率都相等，相當于計算結(jié)果乘上1/g，g為該能級的簡并度，最后再求和，得到的結(jié)果仍和未考慮簡并的結(jié)果一致。

根據(jù)以上推導(dǎo)結(jié)果，就可以對鈉原子光譜的精細結(jié)構(gòu)譜線強度進行定量計算。

2 精細結(jié)構(gòu)譜線強度比值計算結(jié)果

光譜線的強度為：

Imn=NmAmnhνmn

(12)

在系統(tǒng)與外界處于分布熱平衡時，原子的布居數(shù)服從玻爾茲曼：Nm=gme-hν/kT,gm為該能級的簡并度。

2.1 主線系

(13)

2.2 銳線系

相當于從n′s→np躍遷，n′=n+1,n+2,n+3,…，n′s→np3/2相當于l→l+1,φA→φA，相應(yīng)的譜線強度令為I1；而n′s→np1/2相當于l→l+1,φA→φB，相應(yīng)的譜線強度令為I2。因為第一主族元素原子p能級二重態(tài)的能量間隔的量級是10-3eV遠小于kT，由式(6)、式(8)、式(12)得：

(14)

2.3 漫線系

(15)

2.4 基線系

(16)

3 與已有理論及實驗結(jié)果的比對

3.1 氫原子

以Hα(Dα) 譜線為例，其嚴格理論計算結(jié)果如表1所示[2]。

表1 Hα(Dα)精細結(jié)構(gòu)成分的強度[2]

由表1可得，對于Hα(Dα)原子，3p→2s譜線精細結(jié)構(gòu)強度比值為2∶1，3s→2p譜線精細結(jié)構(gòu)強度比值為2∶1，3d→2p譜線精細結(jié)構(gòu)強度比值為9∶1∶5，這與本文給出的計算方法所得結(jié)果相符。

3.2 堿金屬原子

目前較為普遍的計算譜線雙重結(jié)構(gòu)強度的定量規(guī)律為強度和定則，而本文的計算結(jié)果與強度和定則的計算結(jié)果完全一致[6]。在利用強度和定則求解時，必須聯(lián)立方程，同時求出兩能級之間所有精細結(jié)構(gòu)譜線強度比值。而本文提供方法可以求出堿金屬原子兩能級之間任意兩條精細結(jié)構(gòu)譜線強度比值，不必同時解出所有精細結(jié)構(gòu)譜線的強度比值，對具有復(fù)雜精細結(jié)構(gòu)的譜線具有應(yīng)用和推廣價值。

實際實驗得到的堿金屬元素原子的主線系和漫線系精細結(jié)構(gòu)譜線強度比值分別如表2和表3所示[6]。

表2 堿金屬主線系的譜線強度[6]

由表2可得，對于主線系，第一條線與觀察結(jié)果符合得很好，理論值為2∶1，而較高序數(shù)的譜線則有所偏離或不再符合，這種現(xiàn)象可以解釋為自旋-軌道相互作用的結(jié)果[6]。由表3可得，對于漫線系，理論計算結(jié)果與觀察結(jié)果符合得很好，均約為9∶1∶5。 雖然理論預(yù)期的強度不總是與觀測相符合，但是這個近似的理論強度比在辨認一些還未被分析的光譜中是非常有用的。

表3 堿金屬漫線系的譜線強度[6]

4 結(jié)論

主線系的精細結(jié)構(gòu)譜線強度計算比值為2∶1，銳線系的精細結(jié)構(gòu)譜線強度為2∶1，漫線系的精細結(jié)構(gòu)譜線強度比值為9∶1∶5，基線系的精細結(jié)構(gòu)譜線強度比值為20∶1∶14，與已有理論結(jié)果完全吻合[2]，該計算方法避免了引入更多的近似假設(shè)而導(dǎo)致的物理邏輯上的不嚴謹，物理模型更清晰，邏輯性更強，更具有普適性，有利于學(xué)生對原子光譜線精細結(jié)構(gòu)的深入理解。