思維模型化，提升數(shù)學(xué)教學(xué)效益

任璐

摘 要：思維模型化是指通過抽象、概括的數(shù)學(xué)邏輯方法，將研究對(duì)象轉(zhuǎn)變?yōu)樘囟ǖ年P(guān)系式和機(jī)構(gòu)，來達(dá)到解決問題目的的一種思維方法。初中時(shí)期是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維塑造的黃金時(shí)期。教師應(yīng)當(dāng)摒棄填鴨式教學(xué)，教授學(xué)生數(shù)學(xué)問題的思考方法和思維結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效益。下面，本文將從思維模型化的幾點(diǎn)途徑入手，談一談如何利用思維模型話的教學(xué)方法提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：思維模型化;分類討論;數(shù)形結(jié)合;實(shí)際

模型化思維是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種采樣分析。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)理論的認(rèn)知是通過一些典型案例和數(shù)學(xué)規(guī)律的描述來建立的。但是由于這些認(rèn)知的感性來源，學(xué)生無法進(jìn)行更為深入的數(shù)學(xué)推理。數(shù)學(xué)思維模型化的教學(xué)方法可以幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)現(xiàn)象的歸納和總結(jié)，使學(xué)生學(xué)會(huì)通過抽象、概括的方法，總結(jié)事物的本質(zhì)特征，掌握解決問題的基本思路。

一、分類討論，逐一求解

分類討論在數(shù)學(xué)問題解決過程中的作用是可以使學(xué)生更為全面地思考數(shù)學(xué)問題，不出現(xiàn)遺漏關(guān)鍵線索的問題。學(xué)生可以通過分類討論的方式，將數(shù)學(xué)問題的解決思路分成幾個(gè)版塊，在對(duì)板塊進(jìn)行逐一求解的過程中，掌握數(shù)學(xué)問題的動(dòng)態(tài)變化，利用數(shù)學(xué)邏輯思路來逐步掌握數(shù)學(xué)思維模型化的技巧。

例如在學(xué)習(xí)“一元一次不等式組”這節(jié)課時(shí)，由于函數(shù)模型是初中模型中比較重要、比較典型的一類模型，教師可以充分利用函數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)，讓同學(xué)們進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。以題目“一元一次不等式組的整數(shù)解為{1，2，3}，問適合這個(gè)不等式組的a、b的{a，b}的數(shù)對(duì)的數(shù)量，并列舉出來”為例，同學(xué)們?cè)诮鉀Q這個(gè)不等式組的時(shí)候，首先應(yīng)當(dāng)明確題目中的未知數(shù)x的取值范圍。同學(xué)們?cè)诳紤]這個(gè)問題的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)分情況考慮。同學(xué)們通過化簡(jiǎn)題目可以得到x的取值范圍為：，也就是說同學(xué)們需要將x的解集代入這個(gè)關(guān)系式，分別對(duì)a、b的情況進(jìn)行討論，逐步得出a、b的取值區(qū)間，進(jìn)一步得出符合條件的a、b的值，從而計(jì)算出有序數(shù)對(duì)的數(shù)目。

學(xué)生在通過分類討論的方法解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，可以對(duì)數(shù)學(xué)解集進(jìn)行更為深入的思考。在解決函數(shù)模型的問題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，在破解層層關(guān)系的同時(shí)，進(jìn)行分類討論，從不同角度考慮數(shù)學(xué)解集的各種可能性，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生思維全面發(fā)展的目的。

二、數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化問題

數(shù)形結(jié)合可以作為思維模型化教學(xué)過程中的典型案例。數(shù)形結(jié)合的問題一般涉及到幾何圖形的轉(zhuǎn)化問題。教師可以從幾何圖形的數(shù)量關(guān)系的角度出發(fā)，讓學(xué)生在思索、尋找數(shù)量關(guān)系的同時(shí)考慮圖形的變化，從而幫助學(xué)生將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形問題，學(xué)會(huì)從數(shù)、形兩方面尋找問題的解決方法。

例如在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”這節(jié)課時(shí)，同學(xué)們需要掌握將銳角的三角函數(shù)和相關(guān)圖形結(jié)合的方法，并利用銳角三角函數(shù)來解決一些數(shù)學(xué)問題。同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)雖然是表示角與邊的關(guān)系，卻含有一定的規(guī)律，可以用一定的函數(shù)曲線表示出來。教師在教學(xué)這節(jié)課時(shí)，可以充分利用三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，培養(yǎng)同學(xué)們轉(zhuǎn)化問題的能力。以題目“如何判斷梯子的角度”為例，教師可以讓同學(xué)們自主思考判斷梯子更陡。在不采取三角函數(shù)討論的情況下，讓同學(xué)們發(fā)表自己的看法和觀點(diǎn)，尋找問題的解決方案。此外，教師可以引導(dǎo)同學(xué)們?cè)谝阎獕γ娓叨群吞葑娱L(zhǎng)度的情況下，通過三角函數(shù)值來進(jìn)行實(shí)際問題的判斷。教師可以幫助同學(xué)們將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為比較直角邊為5m、2.5m的和直角邊為5m、2m的的三角函數(shù)值，讓后再讓同學(xué)們進(jìn)行計(jì)算和比較。

數(shù)與形兩方面的思維通路需要得到一定的啟發(fā)。教師在利用數(shù)形結(jié)合的案例進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以設(shè)置一些階段性問題來啟發(fā)學(xué)生的思路。反過來，學(xué)生在逐層思考數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，也可以逐步對(duì)抽象的數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)進(jìn)行了解，使學(xué)生學(xué)會(huì)將抽象的數(shù)學(xué)實(shí)際問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這有利于學(xué)生模型化思維的建立。

三、聯(lián)系生活，理性化歸

生活案例中的數(shù)學(xué)原理也可以啟發(fā)學(xué)生模型化思維的建立。教師可以將學(xué)生認(rèn)知較少的知識(shí)點(diǎn)與相似的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行類比，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的邏輯問題，讓學(xué)生在化歸的過程中，建立由繁入簡(jiǎn)的理性思維通路，逐步思考數(shù)學(xué)問題的解決途徑。

例如在“弧長(zhǎng)及扇形面積”這節(jié)課的教學(xué)過程中，同學(xué)們可以通過公示的推導(dǎo)過程，進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的歸納，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。由于同學(xué)們已經(jīng)掌握了圓形面積的計(jì)算公式，因此教師可以將弧長(zhǎng)和扇形作為圓的一部分來進(jìn)行教學(xué)，讓同學(xué)們自主探索計(jì)算過程。以題目“如果一頭牛被圈養(yǎng)在夾角為75°的兩扇籬笆之間活動(dòng)，牛的繩索被拴在籬笆的接口處，繩索的長(zhǎng)度為20m，問牛的活動(dòng)范圍有多少？”通過閱讀題目，同學(xué)們?cè)诩埳袭嫵霾輬D顯示，牛的活動(dòng)范圍應(yīng)當(dāng)?shù)扔趭A角為75°的扇形的面積。在計(jì)算這個(gè)題目時(shí)，同學(xué)們想到了角度的問題：因此同學(xué)們可以得出扇形面積為，從而求得活動(dòng)范圍的表達(dá)式為83.3πm2。

生活中數(shù)學(xué)問題的提出，不僅可以提升學(xué)生的主觀能動(dòng)性，還可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用和拓展。并且，學(xué)生還可以在將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題經(jīng)過邏輯推理，轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系的過程中，獲得一定的成就感。

綜上所述，教師可以通過分類討論、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法進(jìn)行思維模型化的教學(xué)實(shí)踐。學(xué)生可以在思維模型化的過程中獲得問題解決途徑的啟發(fā)，使學(xué)生學(xué)會(huì)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行化歸，形成完整的思維網(wǎng)絡(luò)。

（作者單位：江蘇省如東縣曹埠鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）