海洋波動方程典型例題傅氏解的可視化實(shí)驗(yàn)

張春玲　胡松

摘? 要：波動被稱為海洋的節(jié)拍，是一種常見且非常重要的海洋現(xiàn)象。其數(shù)理方程的傅氏解以復(fù)變函數(shù)的級數(shù)為基礎(chǔ)，物理意義不易被學(xué)生理解。本文借助于海洋數(shù)據(jù)處理中常用的Matlab編程軟件，選取波動方程有界混合問題的典型例題，以直觀地方式再現(xiàn)其傅氏解的物理意義。

關(guān)鍵詞：波動方程;可視化;分離變量;海洋現(xiàn)象

引言

海洋波動是海水運(yùn)動的重要形式之一，從海表面至海洋深處，均存在尺度不同的各種波動現(xiàn)象。按照成因可以分為風(fēng)浪、涌浪、地震波、長重力波、潮波、行星波等;按照發(fā)生的位置可以分為表面波、內(nèi)波和邊緣波;按照波長相對于水深的大小，可以分為淺水波和深水波;按照波形是否傳播又可以分為前進(jìn)波和駐波[1] 。但不管什么形式的波動，都是能量傳播的表現(xiàn)，某一點(diǎn)的波動必然帶動其鄰近質(zhì)點(diǎn)，通過周圍物質(zhì)的周期運(yùn)動來傳送或傳播能量，故波動的特征是隨時(shí)間和空間具有周期性變化[2] 。在數(shù)學(xué)上，通常利用波動方程來描述這一運(yùn)動規(guī)律，并借助于傅里葉解法（也稱分離變量法）來求解有界波動問題。但實(shí)際海洋中的波動嚴(yán)格來說都不是真正的周期運(yùn)動，而是一種十分復(fù)雜的現(xiàn)象。其傅里葉解的形式為無窮級數(shù)，既無限多個正弦波或余弦波的疊加，這也從理論上刻畫了這一特征[3] 。對于這個傅氏解的物理意義，單從公式上，學(xué)生很難理解，更不易與實(shí)際海洋波動現(xiàn)象聯(lián)系在一起。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，很多軟件及仿真技術(shù)用于數(shù)理方程的可視化研究，其中海洋數(shù)據(jù)處理軟件Matlab就不失為一種較好地工具[4-6]。本文以一個有界波的混合問題為例，利用Matlab對其傅氏解進(jìn)行可視化處理，以便更直觀地解釋其物理意義。

1 典型例題的傅氏解

一維有界波動滿足的混合問題為： ，利用分離變量法求得的解為? ，表示實(shí)際波形是由一系列頻率成倍增長、相位不同、振幅也不同的駐波疊加而成的。假設(shè)研究區(qū)域?yàn)?，考慮兩端為固定邊界（邊界上的波動振幅為零），具有一定初始位移，初始速度為零，在不受外力作用下的自由振動。其中，當(dāng) ，初試位移為 而當(dāng) ，初位移為 。由題目的條件，該波動滿足方程組 ，分離變量法求得的方程的解是? 。

2 傅氏解的可視化實(shí)驗(yàn)

首先給定參數(shù)波速a，初始位移折線的斜率h及研究區(qū)域長度l，然后以一定時(shí)間步長和空間步長將研究區(qū)域和波動時(shí)間離散化，在此基礎(chǔ)上，把所有波動進(jìn)行疊加。實(shí)驗(yàn)代碼如下：

實(shí)驗(yàn)得到的不同波數(shù)所對應(yīng)的波形如圖1所示。由圖可以看出，波數(shù)確定的單個波波形均為正弦波，理論解具有明顯的周期性。而這些波疊加在一起就使得海面隨時(shí)間推移，在不同的位置點(diǎn)上表現(xiàn)出不同的波動現(xiàn)象（圖2）。波數(shù)為10時(shí)，由初試擾動引起的波動能量在擾動點(diǎn)達(dá)到最大值，而后向兩邊傳播（n=30），在到達(dá)邊界后（n=100），前進(jìn)波與反射波能量抵消（n=102），對于某個固定的位置點(diǎn)，其波動形式，在反射波與前進(jìn)波疊加前后，表現(xiàn)為相反的振幅大小（n=180;n=200）。

3 結(jié)論

傅里葉解法是求解海洋中運(yùn)動方程的基本解法，其以無窮級數(shù)的形式給出了理論解。通過matlab的可視化功能，將其理論解進(jìn)行直觀地展示，可以更形象地揭示波動方程的運(yùn)動情況。而且，可視化實(shí)驗(yàn)程序中，可以自由調(diào)節(jié)各個參數(shù)的大小，如波速、波數(shù)、時(shí)間步長和空間步長等，對應(yīng)于不同參數(shù)，研究區(qū)域各個點(diǎn)的波動情況也一目了然。

參考文獻(xiàn)

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[4] 彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化[M].2004.

[5] 郝玉華.一維弦振動方程的可視化處理[J].鹽城工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（04）：16-19.

[6] 徐彬，XuBin.Matlab在復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].湖北理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，32（3）：68-72.5（2）：40-40.

作者簡介：張春玲，（1981-），女，山東，講師，博士，海洋科學(xué)，主要從事海洋數(shù)據(jù)分析研究。

胡松，（1978-），男，廣西，教授，博士，海洋科學(xué)學(xué)院副院長，分管教學(xué)。

基金項(xiàng)目：上海海洋大學(xué)教學(xué)改革與研究項(xiàng)目（A1-2005- 20-300348）;國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“合成孔徑雷達(dá)圖像中白冠覆蓋率的特征及參數(shù)化”（41606196）。