關(guān)于一道向量試題的解題反思

許四軍

摘要：向量是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容和解決問題的有效工具，近幾年高考中出現(xiàn)的關(guān)于向量問題的考查也越來越凸顯向量知識的重要性。本文結(jié)合一道向量試題，嘗試從代數(shù)，幾何及向量角度去研究解決向量問題，旨在拋磚引玉，能夠讓大家?guī)砀嗨伎肌?/p>

關(guān)鍵詞：高考;向量;試題研究

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2020）16-0177-02

平面向量是高中階段重要內(nèi)容，是連接代數(shù)與幾何之間的橋梁，主要用代數(shù)的方法研究幾何，是研究數(shù)學(xué)問題的重要工具.筆者在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對向量比較畏懼，學(xué)習(xí)困難比較大，向量問題往往錯誤率比較高[1]。究其原因，還是對向量概念理解不清，對向量的應(yīng)用及其作為重要解題工具把握不到位.來看一道來自平時的向量作業(yè)題：

引例：設(shè)非零向量a→，b→且|a→|=2，|a→+2b→|=2，則|a→+b→|+|b→|的最大值為

分析：由于向量處于代數(shù)和幾何之間的學(xué)科，因此向量問題通?？梢詮拇鷶?shù)、幾何和向量三個角度去考慮.[2]

解法一：代數(shù)法。由|a→+2b→|=2，兩邊平方得，|a→|2+4a→b→+4|b→|2=4

又|a→|=2，代入得，a→b→+|b→|2=0即b→（a→+b→）=0，也即b→^（a→+b→），

因為向量a→，b→，a→+b→構(gòu)成以|a→|為斜邊的直角三角形，故|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4，

由基本不等式可得，|b→|+|a→+b→|2？|b→|2+|a→+b→|222（當(dāng)且僅當(dāng)|b→|=|a→+b→|=2時取”=”），所以|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法二：整體思想。注意觀察到未知向量與已知向量之間有如下關(guān)系：

（a→+b→）-b→=a→，（a→+b→）+b→=a→+2b→，

不妨令a→+b→=x→，b→=y→則試題轉(zhuǎn)化為：

設(shè)非零向量x→，y→且|x→-y→|=2，|x→+y→|=2，則|x→|+|y→|的最大值為

結(jié)合向量加法、減法運算的幾何表示可知，與為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線.如下圖：

因為|x→-y→|=|x→+y→|=2，即平行四邊形對角線相等，故該四邊形為矩形，所以，|x→|2+|y→|2=4

由基本不等式知識，|x→|+|y→|2？|x→|2+|y→|222（當(dāng)且僅當(dāng)|x→|=|y→|=2時取”=”）

所以，|x→|+|y→|的最大值也即|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法三：解析法（軌跡法）考慮教材上分別從幾何表示和坐標(biāo)表示兩種途徑去展開向量知識的研究，因此向量的問題也可以從解析法的角度去分析解決.[3]

因為|a→|=2，不妨設(shè)向量a→起點為坐標(biāo)原點，且設(shè)a→=OA→=（2，0），如下圖：

設(shè)b→=OB→=（x，y），則a→+2b→=（2+2x，2y），因為|a→+2b→|=2，故向量b→終點B軌跡為：（x+1）2+y2=1

而在坐標(biāo)運算下，|a→+b→|+|b→|=（x+2）2+y2+x2+y2，其幾何意義為BC+BO.

也即：在圓（x+1）2+y2=1上找一點B，值得BC+BO取得最大值.

因為OC恰為圓的直徑，故BC2+BO2=4，

由方法一中基本不等式，可得BC+BO最大值為22即為所求.

解法四：利用向量的線性表示（幾何）[4]

假設(shè)向量a→，b→首尾相連，根據(jù)向量線性運算的法則，作出向量a→+b→，a→+2b→如下圖：

又|a→|=|a→+2b→|=2，故DOAB為等腰三角形，而C為AB的中點，所以O(shè)C^AB.

所以由勾股定理得，OC2+AC2=OA2即|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4.

由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)|a→+b→|=|b→|=2時，|a→+b→|+|b→|最大值為22.

結(jié)語

在平時數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會遇到大量數(shù)學(xué)試題，如果只是機(jī)械式的做題，而不去思考，反思，那么學(xué)生的思維是沒有靈性的，效率也不高。希望本文可以起到拋磚引玉的作用，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠多思考多反思[5]，促進(jìn)自己更加高效的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳桂玲.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂趣味導(dǎo)入策略[J].現(xiàn)代教育，2017（10）.

[2]許國平.小學(xué)數(shù)學(xué)課題教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2017（12）.

[3]夏小剛，呂傳漢，汪秉彝，等.中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)的實驗研究[J].中國教育學(xué)前沿，2007，13（3）：84-87.

[4]佚名.中小學(xué)數(shù)學(xué)“情境——問題”教學(xué)模式研究[C]//教師教學(xué)能力發(fā)展研究科研成果集（第十三卷）.2018.（6）13-117.

[5]劉金艷.小學(xué)數(shù)學(xué)情境教學(xué)研究分析[J].中國校外教育旬刊，2015（6）：103-103.