命題視角下的分段函數(shù)

夏奕雯

(浙江省寧波中學 315000)

分段函數(shù)是整個函數(shù)體系中的一個重要的概念,它既有代數(shù)的結(jié)構(gòu),又有隱含的幾何特征.此類問題設計形式新穎,邏輯推理能力要求高,思維難度大,對于高中生來說是一大難點.解決的方法主要是通過分段函數(shù)的幾何背景分析引導解題.學生需要有足夠的體驗,才能形成良好的思維方式.

從近幾年浙江高考和學考試題分析來看,命題主要從分段函數(shù)解析式入手進行變化,以求值、解不等式、求參數(shù)范圍等函數(shù)性質(zhì)作為考察點,是一個基礎考點,且在難度上有逐年加大的趨勢.

分段函數(shù)在新課授課中只是通過一個例題給出,作為一個解析式相對復雜的函數(shù).但在高考或模擬題中,是學生常有的失誤點.在知識和方法要求上需要多方知識基礎和基本初等函數(shù)模型思想,往往通過數(shù)形結(jié)合的思維方法得以順利解決.波利亞曾經(jīng)指出:”良好的組織使得所提供的知識容易用上,這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”微專題教學內(nèi)容專一,設計精妙,它注重對知識的分析和拓展,對問題的處理透徹,學生接受起來更加高效.因此，在高三階段設計此微專題并進行深入剖析是十分必要的.

本文以近幾年浙江高考題引出問題,通過回顧分析近幾年的命題題型和漸變趨勢,幫助學生合理建立認知結(jié)構(gòu),形成解決問題的基本方法和技能.通過問題的設計進行逐層拓展,從而提升學生的問題分析和解決能力,以及邏輯推理能力.從命題的視角來看命題的立意或命題的變化,從方法上鞏固提高.

一、經(jīng)典呈現(xiàn)

(1)求F(x)的最小值m(a);

(2)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).

A.a<-1,b<0 B.a<01,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

以上都是浙江省高考題中的分段函數(shù)問題,在形式上均由兩個不同特質(zhì)的初等函數(shù)拼接而成,變化莫測.所考查的主要是求值、解方程、解不等式、求參數(shù)范圍等函數(shù)性質(zhì)問題,且在難度上有逐年加大的趨勢.如此高頻地出現(xiàn)提醒我們分段函數(shù)已經(jīng)成為高考的一大熱點問題.

二、問題拓展

它們大多能通過讀圖直接求出結(jié)果, 但還有很多問題需要通過圖象轉(zhuǎn)化才能得出.

1.含遞推關系的分段函數(shù)問題

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

解由f(x)是分段函數(shù),且解析式中含遞推關系,可知函數(shù)y=f(x)-x的解析式難求,因此將方程y=f(x)-x=0轉(zhuǎn)化為f(x)=x,即將函數(shù)的零點問題等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象求交點問題.

當x<0時,函數(shù)f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1是以x=-1為對稱軸,以(-1,1)為頂點,開口向下的拋物線.

當x≥0時,f(x)=f(x-1),故函數(shù)f(x)在x≥0時的圖象相當于[-1,0)上的圖象重復出現(xiàn).

先畫出x<0時函數(shù)f(x)的圖象,再將[-1,0)上的圖象以1為單位向右不斷平移,得到函數(shù)f(x)在R上的圖象.

將兩個函數(shù)圖象畫在同一直角坐標系中,如圖,即可得到函數(shù)y=f(x)-x有3個零點.

方法點睛若分段函數(shù)中含遞推關系,則解析式難寫出,需要從圖象入手.其中含遞推關系的部分與周期性有關,圖象會呈現(xiàn)重復出現(xiàn)的情況.若能弄清楚相應的遞推關系以及取值區(qū)間,就能通過圖象平移變換順利完成作圖,自然就能結(jié)合圖象得出相應的結(jié)果.因此利用遞推關系作出圖象成了此類問題解決的關鍵.而這一關系的分析與應用恰是難點所在.

2.含復合關系的分段函數(shù)問題

解f(x)是分段函數(shù),g(x)是絕對值函數(shù),若直接復合,解析式相對復雜,不易得出函數(shù)的圖象和性質(zhì).可先將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題進行探究,即h(x)=f(g(x))-k=0?f(g(x))=k.

對于含復合關系的方程根的問題,通常可從外往內(nèi)逐層分析.

令g(x)=t,方程f(t)=k根的情況可結(jié)合圖形得出:當k∈(0,1)時,方程f(t)=k有2個解;當k∈(-1,0]∪{1}時,方程f(t)=k有1個解.

要使方程f(t)=k有根,需進一步探究方程g(x)=t的根的情況.由圖可知當t∈(-1,+)時,有2個解;當t=-1時,有1個解.

要使函數(shù)h(x)=f(g(x))-k有4個零點,方程g(x)=t和f(t)=k需同時取到兩解.從而有t∈(-1,+)且k∈(0,1).

方法點睛本題所求函數(shù)是含復合關系的分段函數(shù),若直接求復合以后的解析式,相對復雜,因此可先分別作出兩個函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象研究性質(zhì),再根據(jù)復合函數(shù)的特點,求出其中滿足復合條件的相應的函數(shù)性質(zhì).在這類問題的求解中,學生往往混淆外層函數(shù)本身的定義域與復合以后需要將內(nèi)層函數(shù)的值域作為外層函數(shù)定義域這一關鍵點.因此,在含復合關系的分段函數(shù)問題上,除了要弄清楚兩個函數(shù)各自的圖象與性質(zhì)外,還需結(jié)合復合的條件進行轉(zhuǎn)化,從而得到正確的結(jié)論.這就需要學生有較高的分析能力和邏輯推理能力,較強的數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程以及轉(zhuǎn)化化歸的思維意識.

3.條件結(jié)構(gòu)需要轉(zhuǎn)化的分段函數(shù)問題

解不妨設a

由f(a)=f(b)得1-log3a=log3b-1,即log3a+log3b=2,

從而有ab=32=9.于是abc=9c.

故abc=9c∈(81，144).

思路探求不妨設a

作出函數(shù)圖象,可得a、b、c各自的范圍.代入相應的解析式中可得三個變量之間的等量關系,

即f(a)=f(b)=f(c)?ab=e2,c=3e2-e2lnb.

通過求導可得該函數(shù)的單調(diào)性,從而得其值域為(1+2e2,2e+2e2).

方法點睛本例需要結(jié)合圖象將表達式進行轉(zhuǎn)化后求解.因此要分清各變量所在的取值區(qū)間,準確地代入相應的解析式中尋求等量關系及取值范圍,再通過等量代換轉(zhuǎn)化求解.在本題的求解中,轉(zhuǎn)化關系十分重要,對數(shù)形結(jié)合的要求更高,學生通過探究體驗利用分段函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為表達關系求解的全過程,能深刻認識到數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化劃歸的數(shù)學思想在代數(shù)問題求解中的重要性.本例對應的變式則是在此基礎上將積變成和的形式,難度上有很大的提升,需要將三個變量統(tǒng)一,轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)關系式,再利用求導得出函數(shù)的單調(diào)性進而得出結(jié)果,是本例的鞏固和提升.

三、教學啟示

從高考命題的視角下看分段函數(shù)的有關問題我們不難發(fā)現(xiàn),分段函數(shù)問題在難度上呈現(xiàn)出逐年遞增的趨勢,說明它已經(jīng)成了一大熱點問題.對于這塊內(nèi)容,我們應該加以重視.不僅要掌握簡單的與函數(shù)基本性質(zhì)有關的問題的求解,還要對其進行深入地研究,從簡入繁,通過層層遞進幫助學生深化認知、逐步掌握分段函數(shù)有關問題的求解方法,形成完整的數(shù)學知識體系、系統(tǒng)的問題處理方法,提升數(shù)學素養(yǎng),以達到舉一反三的能力.