根式函數(shù)最值求法大放送

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué) 210044)

含根式函數(shù)的最值問題具有靈活性強(qiáng)、難度大的特點(diǎn)，很多同學(xué)望而生畏，往往不知道從哪入手，尤其是雙根式函數(shù)更是難點(diǎn).實(shí)際上根式函數(shù)沒有想象的那么可怕，只要我們認(rèn)真分析題意，注意條件的應(yīng)用，養(yǎng)成正確的解題習(xí)慣，即可找到合理恰當(dāng)?shù)慕夥ǎ勾祟悊栴}順利加以解決，下分類舉例說明.

一、利用函數(shù)單調(diào)性

由于函數(shù)y=x-1和y=x+1在[1,+)為增函數(shù)，所以在[1,+)上單調(diào)遞增.

解定義域?yàn)?-,0]∪[4,+),顯然函數(shù)在(-,0]上單調(diào)遞減，在[4,+)上單調(diào)遞增.因此f(x)min=min{f(0),f(4)}=f(0)=4.

二、利用換元去根號(hào)

1.換元消去根號(hào)

解求得定義域?yàn)椋簕x|-1≤x≤1}.

2.三角換元化掉根號(hào)

分析求根式函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，特別是雙根式函數(shù)，實(shí)際上如果我們養(yǎng)成解決函數(shù)問題先明確定義域的好習(xí)慣的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱藏的解題信息，利用三角代換，就可以把根式函數(shù)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)問題處理.

∴函數(shù)的值域?yàn)閇1,2].

三、利用平方去根號(hào)

解析求得定義域?yàn)閇1,2].

四、利用幾何意義

1.構(gòu)造距離

設(shè)點(diǎn)P(x,0),A(-1,1),B(2,3),

問題轉(zhuǎn)化為：在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′(-1,-1)，顯然當(dāng)點(diǎn)P為直線A′B與x軸交點(diǎn)時(shí)PA+PB有最小值即A′B=5.

2.構(gòu)造斜率

五、利用向量數(shù)量積的性質(zhì)

六、利用分子有理化

七、構(gòu)造對(duì)偶式求解

則y2+z2=50，即y2=50-z2.

所以當(dāng)4≤x≤29時(shí)，z∈[-5,5],

所以y2=50-z2∈[25,50].

總之，解決根式函數(shù)的最值問題時(shí)，我們要養(yǎng)成良好的審題和解題習(xí)慣.如審題要注意挖掘目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)和隱含信息，解函數(shù)題時(shí)一定養(yǎng)成先求定義域的好習(xí)慣，只要這樣我們就可以通過換元，構(gòu)造，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)最值模型，從而使問題得以解決.