一個(gè)坐標(biāo)形式的三角形面積公式的推廣應(yīng)用

◇ 安徽 劉海濤

在求解三角形面積時(shí)，如果給出的是三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，常規(guī)的辦法是利用解析幾何和解三角形的知識(shí)來(lái)求出邊長(zhǎng)、夾角等信息，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)也可以借助向量和面積公式得出坐標(biāo)形式的面積公式.在解析幾何問(wèn)題中，尤其是與橢圓有關(guān)的問(wèn)題中常見(jiàn)到求三角形面積的問(wèn)題，借助伸縮變換和坐標(biāo)形式的面積公式，可以簡(jiǎn)化這類(lèi)問(wèn)題，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，能大大提高解題效率，現(xiàn)與讀者分享.

1 公式呈現(xiàn)

命題1已知△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則其面積為，于 是|(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)|.

證明因?yàn)?x3－x1，y3－y1)，所以

此公式簡(jiǎn)潔對(duì)稱(chēng)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美感，運(yùn)用此公式能省去求三角形邊長(zhǎng)和夾角的過(guò)程，利用坐標(biāo)可直接計(jì)算，能有效提高解題速度，節(jié)省解題時(shí)間.此外，當(dāng)三角形一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可得如下推論.

推論已知△OAB 的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則其面積為

2 公式升華

命題2已知△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，△A′B′C′的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則(其中m≠0，n≠0).

這個(gè)公式主要在處理橢圓問(wèn)題時(shí)有獨(dú)到之處，根據(jù)伸縮變化可以將橢圓轉(zhuǎn)化為單位圓，從而將問(wèn)題放入單位圓中處理，這樣不僅可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，而且可以充分利用圓的性質(zhì)來(lái)快速解題.

3 應(yīng)用舉例

設(shè)點(diǎn)C(x0，3x0＋3)，由命題1可知，于是x0＝－1或，故C(－1，0)或C(，8).

此題若用一般解法需要求出AB 和所在直線的方程，求點(diǎn)C 到直線AB 的距離，計(jì)算過(guò)程與直接使用坐標(biāo)形式的面積公式相比略顯繁雜，而運(yùn)用坐標(biāo)形式的面積公式則可快速得出答案.

此題的一般解法是得出OA 和OB 的長(zhǎng)度，借助向量得出∠AOB，然后運(yùn)用來(lái)求面積，而運(yùn)用命題1 的推論可直接得出面積的表達(dá)式，清晰明了.

易知點(diǎn)N 在單位圓上，則|OP|＝|OQ|＝1.

又OP ⊥OQ，所 以S△OPQ＝，由 命 題2，

此題若是采用解析幾何的“設(shè)而不求”法來(lái)求解，過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，題干中“伴隨點(diǎn)”的實(shí)質(zhì)是將橢圓伸縮為單位圓，利用單位圓的相關(guān)知識(shí)容易得出△OPQ 的面積，再由命題2可求得△OAB 的面積.

設(shè)橢圓的內(nèi)接△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，考慮對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)從而易知△A′B′C′為單位圓的內(nèi)接三角形，當(dāng)△A′B′C′為正三角 形 時(shí)，，由 命 題2，S△ABC＝abS△A′B′C′，所以

若直接考慮橢圓內(nèi)接三角形非常困難，但是將橢圓伸縮為單位圓，考慮單位圓內(nèi)接三角形則難度驟降，命題2的優(yōu)點(diǎn)不言自明.

由題意，易知S△PQR＝2S△OPQ，點(diǎn)F(－1，0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，考慮對(duì)應(yīng)的點(diǎn))，其中點(diǎn)P′，Q′在單位圓上，點(diǎn)F′在單位圓內(nèi)，且點(diǎn)P′，Q′，F(xiàn)′共線，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)弦P′Q′以點(diǎn)F′為中點(diǎn)時(shí)，(S△OP′Q′)max＝，由 命題2，S△OPQ＝S△OP′Q′，故(S△PQR)max＝3/2.

此題若用“設(shè)而不求”法計(jì)算，過(guò)程煩瑣，采用伸縮變換使得問(wèn)題簡(jiǎn)化.另外本題用到了伸縮變換的重要性質(zhì)：共線的三點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的對(duì)應(yīng)三點(diǎn)依然共線.

坐標(biāo)系的出現(xiàn)讓幾何的研究更加便捷，用坐標(biāo)來(lái)表示一些幾何量正是解析幾何的魅力所在.