基于有限和瞬時旋量理論的Exechon并聯(lián)機器人運動學(xué)分析

劉 卓，連賓賓,2，李 祺

（1.天津大學(xué)機械工程學(xué)院機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津300354；2.天津大學(xué)仁愛學(xué)院機械工程系，天津301636；3.天津航天機電設(shè)備研究所，天津300301）

并聯(lián)機器人具有剛度與體積比大、精度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定及便于模塊化設(shè)計等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于航空航天裝備、衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的加工制造等現(xiàn)代尖端技術(shù)領(lǐng)域［1-4］。其中，具有一平動兩轉(zhuǎn)動（1T2R）運動形式的Exechon并聯(lián)機器人可通過串接二自由度轉(zhuǎn)頭組成五自由度混聯(lián)機器人，受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注［5］。

目前，Sun等［11］提出一種用于機器人設(shè)計的有限和瞬時旋量理論（FIS理論）：有限旋量可描述并聯(lián)機器人的有限運動，即其位移；瞬時旋量用于表示并聯(lián)機器人的速度。有限旋量和瞬時旋量之間的微分映射可以有效地反映位移和速度的關(guān)系，基于此，可在統(tǒng)一數(shù)學(xué)框架下建立并聯(lián)機器人的拓撲模型和速度模型，為Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)分析提供新方法。

在機器人運動學(xué)分析中，首先在串聯(lián)機器人運動學(xué)分析中引入雅克比矩陣的條件數(shù)，隨后直接擴展到并聯(lián)機器人，提出了局部條件數(shù)［12］、全局條件數(shù)［13］等一系列指標。然而，當采用這些指標來評價Ex-echon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能時，結(jié)果存在嚴重的不一致性，無法用于指導(dǎo)機器人的分析和設(shè)計。

針對上述問題，筆者基于FIS理論，對Exechon并聯(lián)機器人進行運動學(xué)分析，獲得該機器人的拓撲模型和速度模型，并以無量綱的虛功率傳遞率作為性能指標來評價Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能，最后利用MATLAB軟件分析Exechon并聯(lián)機器人的局部虛功率傳遞率分布情況。

1 有限和瞬時旋量理論

根據(jù)Chasles有限位移定理，剛體的有限運動Sf可以表示為繞某一軸的轉(zhuǎn)動與平移［14-17］：

式中：sf和rf分別表示運動軸線方向的單位向量和位置向量；θ和t分別表示剛體繞軸線的轉(zhuǎn)動角度與平移距離。

當剛體實現(xiàn)2個連續(xù)的有限運動時，其運動可表示為：

式中：符號“△”表示旋量三角合成運算；Sf，q和Sf，h表示前后2個連續(xù)的有限運動。

基于Mozzi定理，剛體的任意瞬時運動可表示為繞軸線的轉(zhuǎn)動角速度ω與平移速度v。則有限運動和瞬時運動之間的微分映射如下［18］：

式中：st和rt分別表示瞬時旋量軸線方向的單位向量和位置向量。

基于有限旋量和瞬時旋量及其微分映射關(guān)系，可以直接、簡便地建立并聯(lián)機構(gòu)的拓撲模型和速度模型，為建立機器人運動學(xué)分析所用的雅克比矩陣提供了一種新的一體化方法。

2 Exechon并聯(lián)機器人位置逆解

Exechon并聯(lián)機器人由動平臺、靜平臺、2條對稱放置的UR支鏈和1條SR支鏈組成，其中3條支鏈均通過R副與動平臺連接，UR支鏈和SR支鏈分別通過U副、S副與靜平臺連接，其虛擬樣機模型和結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。圖1（b）中：Ai點和Bi點（i=1，2，3）分別表示連接靜平臺的U副、S副中心和連接動平臺的R副中心；△A1A2A3和△B1B2B3均為等腰直角三角形，其外接圓半徑分別為a和b。以連線A1A3的中點為原點，建立靜坐標系O-xyz，連線OA3為x軸，z軸垂直于平面A1A2A3向下，y軸滿足右手定則；同理，以連線B1B3的中點為原點，建立動坐標系O′-x′y′z′，2個坐標系原點O和O′的距離為l。

圖1 Exechon并聯(lián)機器人虛擬樣機模型和結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Virtual prototype model and structure diagram of Ex-echon parallel robot

位置逆解求解是指在已知機構(gòu)動平臺位姿的情況下求得3條支鏈的桿長qi。當機構(gòu)主動支鏈的長度發(fā)生變化后，動坐標系O′-x′y′z′相對于靜坐標系O-xyz的旋轉(zhuǎn)矩陣（繞x軸轉(zhuǎn)動α，繞y軸轉(zhuǎn)動β，繞z軸轉(zhuǎn)動γ）可表示為：

式中：s和c分別表示sin和cos。

O′點在靜坐標系O-xyz中的位置向量為：

根據(jù)圖1（b），建立Exechon并聯(lián)機器人的閉環(huán)矢量方程：

式中：si為第i條支鏈移動副的單位向量；rAi和rBi分別表示Ai點和Bi點的位置向量，且。

在式（6）兩端點乘ci（ci為動平臺上第i個R副軸線方向的單位矢量，ci=Rci0），可得：

由式（7）可得sγ=0，即γ=0°或者γ=180°，則旋轉(zhuǎn)矩陣R可簡化為：

綜上，Exechon并聯(lián)機器人的位置逆解可表示為：

3 基于旋量理論的速度模型

基于Exechon并聯(lián)機器人的位置逆解，利用FIS理論構(gòu)建該機器人的速度模型。其中，連接靜平臺的S副可分解為3個方向不同的R副，U副可視作由2個R副組成。因此，根據(jù)式（2），UPR支鏈和SPR支鏈的有限運動為：

式中：Sf，i表示第i條支鏈的有限運動；sx、sy和sz分別表示x、y和z軸方向的單位向量；θi，j和ti，j分別表示第i條支鏈第j個運動副的轉(zhuǎn)動角度與平移距離。

Exechon并聯(lián)機器人動平臺的運動為支鏈運動的子集，滿足多條支鏈求交運算，由式（9）可得Ex-echon并聯(lián)機器人的拓撲模型：

根據(jù)式（3），對Exechon并聯(lián)機器人的拓撲模型進行微分處理，可直接推導(dǎo)出該機器人的速度模型：

式中：Jl，E表示Exechon并聯(lián)機器人速度雅克比矩陣；vz表示動平臺沿sz方向的線速度；ωx和ωy分別表示動平臺繞sx和sy方向的角速度；St，i，k表示第i條支鏈第k個關(guān)節(jié)的瞬時運動；t，i，k表示第i條支鏈第k個關(guān)節(jié)運動軸線方向的單位向量；，k表示第i條支鏈第k個關(guān)節(jié)的速度幅值，Ji表示第i個關(guān)節(jié)的所有單位旋量構(gòu)成的矩陣。

根據(jù)速度旋量和力旋量之間的互易積關(guān)系，動平臺約束力fc，i的雅克比矩陣可表示為：

式中：fa，i為第i條支鏈受到的驅(qū)動力。

將Exechon并聯(lián)機器人的驅(qū)動力旋量和速度旋量相乘，可得到其動平臺與3個驅(qū)動關(guān)節(jié)之間的速度關(guān)系為：

4 Exechon并聯(lián)機器人虛功率傳遞率分析

速度/力雅克比矩陣是反映機構(gòu)輸入輸出速度/力的映射矩陣，對于同時具有平動與轉(zhuǎn)動自由度的Exechon并聯(lián)機器人而言，其速度雅克比矩陣包含線速度與角速度的映射關(guān)系，力雅克比矩陣包含力與力矩的映射關(guān)系。在以往的評價方法中，通常選取雅克比矩陣的數(shù)學(xué)特征如矩陣行列式、條件數(shù)、最大或最小奇異值以及靈巧度［19-20］等作為評價指標。采用這類指標評價Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能時，存在因線速度與角速度、力與力矩的量綱不一致而導(dǎo)致指標物理意義不明確的問題。針對此問題，定義虛功率傳遞率并將它作為性能評價指標，即通過求解力旋量與運動旋量的互易積，得到驅(qū)動力在對應(yīng)的運動方向上所做的瞬時功或功率。

對于Exechon并聯(lián)機器人，其第i條開環(huán)支鏈中運動副的自由度f＜6，Jw在規(guī)則的工作空間中滿秩，則其速度模型可表示為：

式中：p是rp的斜矩陣；[TOJw]-T中的每一列表示Ex-echon并聯(lián)機器人產(chǎn)生的許動或約束運動螺旋，則的每一行表示作用于動平臺的對應(yīng)驅(qū)動力或約束力螺旋；表示速度旋量沿軸線方向的單位向量；表示該速度旋量的大小。

對式（15）兩邊取wa，i的廣義內(nèi)積，可得：

式中：Sw，EQSt，E為Exechon并聯(lián)機器人力螺旋與對應(yīng)運動螺旋的瞬時功率，表征運動及力的傳遞效率。

由式（16）可知，不論St，E是移動旋量還是轉(zhuǎn)動旋量，Sw，E是力旋量還是力偶旋量，Sw，EQSt，E的單位均為W，說明以瞬時功率評價Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能時量綱一致，它可表征支鏈運動及力的傳遞效率，物理意義明確。

基于上文建立的速度模型，Exechon并聯(lián)機器人的虛功率傳遞率μi可表示為：

當μi趨近于0時，Exechon并聯(lián)機器人的驅(qū)動力無法通過支鏈傳遞到動平臺，則機器人將失去部分運動能力。為保證Exechon并聯(lián)機器人具有良好的運動性能和驅(qū)動力傳遞性能，虛功率傳遞率應(yīng)越大越好。因此，本文以各支鏈的最小虛功率傳遞率作為Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能評價指標，即：

式中：νE表示Exechon并聯(lián)機器人的局部虛功率傳遞率。

由式（17）和式（18）可知，Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能隨機器人位姿的變化而變化。結(jié)合Ex-echon并聯(lián)機器人加工的工程需求，給出其尺寸參數(shù)和工作空間，如表1所示，其中：Dmax表示連桿之間允許的最大距離，θSmax和θUmax分別表示S副和U副的最大轉(zhuǎn)角，lmin和lmax分別表示P副的最小移動值和最大移動值。

表1 Exechon并聯(lián)機器人的尺寸參數(shù)和工作空間Table 1 Dimensional parameters and geometric condi-tions of Exechon parallel robot

在可達工作空間內(nèi)，選擇l=600，650，850 mm的3種位姿，利用MATLAB軟件仿真可得到Exechon并聯(lián)機器人的局部虛功率傳遞率的分布情況，如圖2所示。

圖2 Exechon并聯(lián)機器人局部虛功率傳遞率的分布情況Fig.2 Distribution of local virtual power transmissibility of Exechon parallel robot

由圖2可知：νE隨l的增大而增大，且νE值均大于0，說明Exechon并聯(lián)機器人各支鏈的速度和力均可有效傳遞至動平臺，即該機器人在可達工作空間內(nèi)具有較好的運動學(xué)性能，且不存在奇異位型；當θx=θy=0rad時，νE值較大，表明Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能較好；隨著θx和θy的增大，νE值逐漸減小，即Exechon并聯(lián)機器人的運動學(xué)性能隨之變差。

綜上可知，在一定的工作空間內(nèi)，νE值可有效反映Exechon并聯(lián)機器人運動學(xué)性能隨位姿的變化情況，說明該指標可作為優(yōu)化目標來指導(dǎo)Exechon并聯(lián)機器人的優(yōu)化設(shè)計。因此，結(jié)合工程經(jīng)驗和實際加工條件，可制造具有良好運動學(xué)性能的Exechon并聯(lián)機器人物理樣機。

5 結(jié)論

本文基于FIS理論對Exechon并聯(lián)機器人進行了運動學(xué)分析，得到的結(jié)論如下：

1）在統(tǒng)一數(shù)學(xué)框架下實現(xiàn)了Exechon并聯(lián)機器人拓撲模型與速度模型的構(gòu)建，并根據(jù)FIS理論的微分關(guān)系簡潔、直觀地建立了Exechon并聯(lián)機器人的速度/力雅克比矩陣。

2）針對Exechon并聯(lián)機器人具有平動與轉(zhuǎn)動自由度這一特點，定義了虛功率傳遞率并用它來表征機器人運動和力的傳遞效率，有效解決了平轉(zhuǎn)耦合機構(gòu)運動學(xué)評價指標量綱不統(tǒng)一的問題，為機器人機構(gòu)后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。