類比思維在微分學(xué)中的應(yīng)用

羅芳鈺　李東方

摘? 要：類比思想是人類發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要源泉，是人們提高學(xué)習(xí)和生活效率的一種方法，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一種途徑。多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)中科學(xué)地應(yīng)用類比法，能夠使抽象、復(fù)雜的多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為比較形象、簡單的一元函數(shù)，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中起著十分重要的作用。下面我先梳理了各知識(shí)點(diǎn)，然后對(duì)照起來作比較，最后把多元函數(shù)與一元函數(shù)對(duì)照起來做了一個(gè)總結(jié)。

關(guān)鍵詞：類比思維;多元函數(shù);隱函數(shù);一元函數(shù)

二元函數(shù)的定義：設(shè)x，y，z為三個(gè)變量，D為x0y坐標(biāo)面上的非空點(diǎn)集，若對(duì)任意的（x，y）∈D，變量Z均按照一定的法則f有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，則稱Z是X和Y的二元函數(shù)，記作Z=f（x，y）。其中X和Y稱為自變量，點(diǎn)集D稱為函數(shù)Z=（x，y）的定義域，常記為Df;Z稱為因變量，函數(shù)值的集合Zf={z∣z=f（x，y），（x，y）∈Df}稱為函數(shù)Z=（x，y）的值域。

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。函數(shù)連續(xù)不一定的函數(shù)可微，例：y=|x|函數(shù)連續(xù)不一定函數(shù)可導(dǎo)，例：y=|x|當(dāng)x=0時(shí) y不可導(dǎo);函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù);函數(shù)可導(dǎo)不一定可微;可導(dǎo)指的是偏導(dǎo)數(shù)存在，即沿x軸，y軸方向的導(dǎo)數(shù)存在（注意只有兩個(gè)方向），但是二元函數(shù)的連續(xù)性是從各個(gè)方向，以任何形式來取極限的，所以從這個(gè)方面來講，多元函數(shù)可導(dǎo)不一定能保證其連續(xù)，如果是可微就可以推出連續(xù)，因?yàn)榭晌⒕涂疾炝怂蟹较颉?/p>

關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)，在一元函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對(duì)于二元函數(shù)的“變化率”，由于自變量多了一個(gè)，情況就要復(fù)雜的多。x方向的偏導(dǎo)：設(shè)有二元函數(shù) z=f（x，y），點(diǎn)（x0，y0）是其定義域D 內(nèi)一點(diǎn)。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x，相應(yīng)地函數(shù) z=f（x，y）有增量（稱為對(duì) x 的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。如果 △z 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù) z=f（x，y）在（x0，y0）處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 f'x（x0，y0）或函數(shù) z=f（x，y）在（x0，y0）處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是把 y 固定在 y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f（x，y0）在 x0處的導(dǎo)數(shù)。y方向的偏導(dǎo)：同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù) z=（x，y）在（x0，y0）處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y（x0，y0）。

求法：當(dāng)函數(shù) z=f（x，y）在（x0，y0）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) f'x（x0，y0）與 f'y（x0，y0）都存在時(shí)，我們稱 f（x，y）在（x0，y0）處可導(dǎo)。如果函數(shù) f（x，y）在域 D 的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，那么稱函數(shù) f（x，y）在域 D 可導(dǎo)。此時(shí)，對(duì)應(yīng)于域 D 的每一點(diǎn)（x，y），必有一個(gè)對(duì) x（對(duì) y）的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域 D 確定了一個(gè)新的二元函數(shù)，稱為 f（x，y）對(duì) x（對(duì) y）的偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù)。按偏導(dǎo)數(shù)的定義，將多元函數(shù)關(guān)于一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，就將其余的自變量看成常數(shù)，此時(shí)他的求導(dǎo)方法與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法是一樣的。

多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則永遠(yuǎn)都是一樣的，就是鏈?zhǔn)椒▌t和基本求導(dǎo)公式。

而多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)就是求偏導(dǎo)的時(shí)候需要把別的參數(shù)看作常數(shù);而隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，f（y）的導(dǎo)數(shù)為f'（y）·y'。

多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)u=φ（t）及ψ（t）都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[φ（t），ψ（t）]在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。

隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：對(duì)于一個(gè)已經(jīng)確定存在且可導(dǎo)的情況下，我們可以用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t來進(jìn)行求導(dǎo)。在方程左右兩邊都對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，由于y其實(shí)是x的一個(gè)函數(shù)，所以可以直接得到帶有 y' 的一個(gè)方程，然后化簡得到 y' 的表達(dá)式。隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解一般有好幾種方法：方法①：先把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)的方法求導(dǎo);方法②：隱函數(shù)左右兩邊對(duì)x求導(dǎo)（但要注意把y看作x的函數(shù)）;方法③：利用一階微分形式不變的性質(zhì)分別對(duì)x和y求導(dǎo)，再通過移項(xiàng)求得的值;方法④：把n元隱函數(shù)看作（n+1）元函數(shù)，通過多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的商求得n元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。舉個(gè)例子，若欲求z = f（x，y）的導(dǎo)數(shù)，那么可以將原隱函數(shù)通過移項(xiàng)化為f（x，y，z）= 0的形式，然后通過（式中F'y，F(xiàn)'x分別表示y和x對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)）來求解。相對(duì)比多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，一元函數(shù)的求導(dǎo)比較簡單且方便，通常復(fù)雜的多元函數(shù)求導(dǎo)都是由一元函數(shù)求導(dǎo)一步步演變出來的。一元函數(shù)求導(dǎo)基本都是用[f（x）十g（x）]'=f'（x）十g'（x）;[f（x）*g（x）]'=f'（x）*g（x）十f（x）*g'（x）;[f（x）/g（x）]'=[f'（x）*g（x）-f（x）*g'（x）]/g?（x）這幾個(gè)公式。

二元函數(shù)的必要條件：設(shè)函數(shù)Z=f（x，y）在點(diǎn)（Xo，Yo）處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（Xo，Yo）處有極值，則fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0。與一元函數(shù)類似，某點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)等于0只是二元函數(shù)在該點(diǎn)取極值的必要條件，也就是說，偏導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，但是二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。多元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)函數(shù)Z=f（x，y）在點(diǎn)（Xo，Yo）的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0，令fxx（Xo，Yo）=A，fxy（Xo，Yo）=B，fyy（Xo，Yo）=C，則f（x，y）在（Xo，Yo）處是否取得極值的條件如下：①AC-B?>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值;②AC-B?<0時(shí)沒有極值;③AC- B?=0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論。多元函數(shù)的最值求法：設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)間D上連續(xù)，在D內(nèi)有可微且有有限個(gè)駐點(diǎn)，求函數(shù)f（x，y）在D上的最值得步驟，①求出f（x，y）在D內(nèi)全部駐點(diǎn)處的函數(shù)值;②求出f（x，y）在D的邊界上的最大值與最小值;③將求出的各駐點(diǎn)處的函數(shù)值與邊界上的最大值和最小值進(jìn)行比較，其中最大的為函數(shù)在D上的最大值，最小的為函數(shù)在D上的最小值。

總結(jié)起來，一元函數(shù)極值的充要條件是一階導(dǎo)數(shù)值為0并且二階導(dǎo)數(shù)>0或者<0，多元函數(shù)的充要條件也是很知類似的對(duì)一階和二階導(dǎo)數(shù)道進(jìn)行判定，只不過多元函數(shù)而言，一階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)向量，由函數(shù)對(duì)各個(gè)分量進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)得到的。對(duì)于多元函數(shù)求極值，一元函數(shù)求極值更為簡單，通常也有好幾種方法可以求出來，通常方法為首先求出函數(shù)的極值，函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)的函數(shù)值、極值點(diǎn)不可微點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較這些值的大小，以確定最大值，最小值。為了簡便起見，可以不求極值，只解方程f′（x）=0，解出的根x_i是可能的極值點(diǎn)，把f（x_i）與邊界點(diǎn)函數(shù)值及不可微點(diǎn)函數(shù)值一同比較以確定最值。對(duì)于一元函數(shù)而言，還可以用通過其他方法：①求出函數(shù)的值域確定最值.例如，設(shè)y=f（x）是一元函數(shù)，將它變形為f（x）-y=0，視y為參變數(shù)，找出這個(gè)方程有實(shí)解的必要充分條件，從而確定y需滿足的條件，進(jìn)而求出函數(shù)y=f（x）的值域并求出函數(shù)的最值;②利用配方求最值;③利用換元法求最值，其要點(diǎn)是把函數(shù)式化為較易求出最值的函數(shù);④利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。

參考文獻(xiàn)

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