高中數(shù)學(xué)中的反證法

◇ 湖北 陳雄飛

分析歷年的高考數(shù)學(xué)試卷，我們可以發(fā)現(xiàn)，不論是全國(guó)卷Ⅰ、全國(guó)卷Ⅱ還是各省的高考數(shù)學(xué)試卷，基本上每年都會(huì)有數(shù)學(xué)證明題，而且都是以大題的形式出現(xiàn)，分值為10～12分，證明題已經(jīng)成為高考必考題型之一，占有很大的比例.所以，做好證明題也是取得高分的前提條件.觀察往年的高考試卷，我們可以看出，證明題是千變?nèi)f化的，有時(shí)候是證明理論，有時(shí)候是證明公式，有時(shí)候是證明規(guī)律，等等.證明題題型太過(guò)繁雜，復(fù)習(xí)時(shí)無(wú)從下手，只能加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和掌握，才能更好地應(yīng)對(duì)多變的題型.當(dāng)然，我們的解題方法也十分重要，好的解題方法有時(shí)候能帶來(lái)極大的便利.在做證明題的過(guò)程中，反證法被越來(lái)越多的人使用，大大提高了高考數(shù)學(xué)證明題的得分率.本文主要從反證法的概念與運(yùn)用方法、反證法實(shí)例分析和反證法的實(shí)際意義三個(gè)方面來(lái)闡述高中數(shù)學(xué)中的反證法.

1 反證法的概念與運(yùn)用方法

1.1 反證法的概念

反證法，顧名思義，就是從待證結(jié)論的反面入手，反向證明命題的正確性.常規(guī)方法做證明題的時(shí)候就是正向一步步地分析總結(jié)，從而得到最后的結(jié)果，以此來(lái)判斷這個(gè)命題是否準(zhǔn)確.

1.2 反證法的運(yùn)用方法

掌握了反證法的概念，并不代表會(huì)運(yùn)用反證法去解答證明題，所以，學(xué)會(huì)反證法的運(yùn)用也至關(guān)重要.在運(yùn)用反證法完整解答證明題的時(shí)候，首先，需要假設(shè)原命題不成立，然后進(jìn)行推理.因?yàn)槲覀兯褂玫氖欠醋C法，所以我們的推理也得反向來(lái).我們需要根據(jù)假設(shè)推理出矛盾的結(jié)果，從而說(shuō)明我們的假設(shè)是錯(cuò)誤的.這個(gè)過(guò)程我們通常用的是特殊值法，即找到一個(gè)特殊值代入我們假設(shè)的命題中去，從而使假設(shè)的命題不成立.因?yàn)榉醋C法假設(shè)出來(lái)的命題和原命題是相反的，所以就能得到原命題是正確的結(jié)論了.

2 反證法實(shí)例分析

例1已知：m+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，mnz＞0.求證：m＞0，n＞0，z＞0.

證明（1）用常規(guī)方法.

仔細(xì)觀察題目我們可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)mnz＞0，我們可以知道m(xù)，n，z 中至少有一個(gè)未知量大于零，所以只能假定其中一個(gè)未知量大于0，其他兩個(gè)要么同為負(fù)，要么同為正，又因?yàn)閙+n+z＞0，mn+nz+mz＞0，那么需要知道的就是m，n，z 之間的大小關(guān)系.所以只能假設(shè)這三個(gè)未知量的大小關(guān)系，然后代入題目中進(jìn)行驗(yàn)算，從而得到正確的結(jié)論，其中需要考慮的情況特別多.

（2）用反證法.

假設(shè)m，n，z 不都是正數(shù)，由mnz＞0可知，這三個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)為負(fù)數(shù)，一個(gè)為正數(shù)，設(shè)m＜0，n＜0，z＞0，由m+n+z＞0，可得z＞-（m+n）.

又因?yàn)閙+n＜0，所以z（m+n）＜-（m+n）·（m+n），mn+z（m+n）＜-（m+n）（m+n）+mn，即mn+nz+mz＜-m2-mn-n2.

因?yàn)閙2＞0，mn＞0，n2＞0，所以-m2-mnz2=-（m2+mn+n2）＜0，即mn+nz+mz＜0.

這與已知mn+nz+mz＞0矛盾，所以假設(shè)不成立，因此m＞0，n＞0，z＞0成立.

例2已知o，p，q∈（0，1）.求證：（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不能同 時(shí)大于

證明假設(shè)（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 都大 于.因?yàn)閛，p，q 都是小于1的正數(shù)，所以1-o，1-p，1-q 都 是 正 數(shù)，（1-o）+

同理（1-p）+q＞1，（1-q）+o＞1.

三式相加，得（1-o）+p+（1-p）+q+（1-q）+o＞3，即3＞3，矛盾.

綜上，（1-o）p，（1-p）q，（1-q）o 不 能 都 大于

例3用反證法證明：若a，b，c∈R，且x=a2-2b+1，y=b2-2c+1，z=c2-2a+1，則，x，y，z 中至少有一個(gè)不小于0.

證明假設(shè)這三個(gè)都小于零，即

所以x+y+z＜0.

而x+y+z=（a2-2b+1）+（b2-2c+1）+（c2-2a+1）=（a2-2a+1）+（b2-2b+1）+（c2-2c+1）=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2≥0.

與x+y+z＜0矛盾，所以假設(shè)不成立，所以x，y，z 中至少有一個(gè)不小于0.

3 反證法的實(shí)際意義

3.1 化繁為簡(jiǎn)

有些證明題從正面入手雖然能解答出來(lái)，但是會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間；有些證明題并不是晦澀難懂，很多人也知道怎么去做，但是從正面入手，解題步驟太過(guò)煩瑣，很多人都望而卻步，不想為了這一道題影響整份試卷的成績(jī).反證法的運(yùn)用有效解決了這一問(wèn)題，我們只需代入幾個(gè)特殊值就能讓問(wèn)題迎刃而解，極大地簡(jiǎn)化了解題步驟，同時(shí)也減少了學(xué)生因?yàn)槿唠s步驟而出錯(cuò)的情況.

3.2 培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

反證法教會(huì)學(xué)生，一條路走不通，就試著從其他路試試，正向解不出來(lái)的題目，從反方向來(lái)考慮有時(shí)候能將學(xué)生的思維從呆板的桎梏中解救出來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，從而使其更好地適應(yīng)高考題型的變化.

3.3 提高證明題解題效率和正確率

傳統(tǒng)的解決證明題的方法有時(shí)步驟特別復(fù)雜，而且步驟特別多，一旦其中任何一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問(wèn)題，就會(huì)直接影響結(jié)果的準(zhǔn)確性.所以，傳統(tǒng)方法的正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如反證法.反證法步驟簡(jiǎn)單，需要驗(yàn)算的地方較少，可有效避免因?yàn)椴襟E冗雜而產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果的情況.而且，在驗(yàn)算的過(guò)程中，傳統(tǒng)方法因?yàn)椴襟E繁多，所以驗(yàn)算起來(lái)十分麻煩，但是反證法就不一樣，因?yàn)榉醋C法步驟少，驗(yàn)算起來(lái)一目了然，當(dāng)結(jié)果出現(xiàn)誤差的時(shí)候，也能及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，從而大大提高了證明題的解題效率.

從上面的實(shí)例中我們可以看出，反證法在高中數(shù)學(xué)證明題解題中發(fā)揮著重要的作用，掌握反證法能大大提高學(xué)生數(shù)學(xué)證明題的得分率，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)事半功倍，所以，正確使用反證法特別關(guān)鍵.反證法的精髓就在于“矛盾”，通過(guò)這些“矛盾”，從反面證明原命題的正確性.運(yùn)用反證法解答證明題的時(shí)候，我們一定要嚴(yán)格按照反證法的步驟，一步一步地來(lái)，將整個(gè)證明題零碎化處理，這樣才能保證使用反證法準(zhǔn)確地證明出結(jié)論.