構(gòu)建立體幾何模型，小議棱錐的外接球問(wèn)題

◇ 甘肅 茍丫丫

與球相關(guān)的切接問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生理解上的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，在把握題意的基礎(chǔ)上對(duì)要解決的問(wèn)題有豐富的聯(lián)想能力；在解決問(wèn)題的過(guò)程中有良好的平面幾何計(jì)算能力.在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)利用信息技術(shù)演示球的內(nèi)接幾何體，讓學(xué)生有直觀想象的依據(jù).本文就棱錐的外接球問(wèn)題做如下模型探討.

1 補(bǔ)形法，簡(jiǎn)化問(wèn)題求解

例1球面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，滿(mǎn)足PA，PB，PC 兩兩垂直，且PA=3，PB=4，，則球的表面積等于

分析在三棱錐P-ABC 中，棱PA，PB，PC 兩兩互相垂直，是本題解題的題眼.解決立體幾何問(wèn)題應(yīng)多觀察，多思考，大膽假設(shè)，小心求證.這樣的三棱錐來(lái)源于以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，它們的外接球是同一個(gè)球體，而長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題學(xué)生是熟悉的.此時(shí)，球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn).

解析

圖1

2 利用對(duì)稱(chēng)中心，直接求解

例2已知S-ABC 為棱長(zhǎng)為a 的正四面體，求它的外接球的半徑.

分析正四面體與它的外接球都是中心對(duì)稱(chēng)的幾何體，故正四面體的中心既是它的外接球球心，又是它的內(nèi)切球球心.如圖2，M 為點(diǎn)S 在平面ABC 上的射影，即為△ABC 的中心，也是重心，球心O 在SM 上.

解析

圖2

又有OM2+MB2=OB2，即

例3體積為的正四棱錐S-ABCD 的底面中心為O，SO 與側(cè)面成的角的正切值為那么過(guò)SABCD 的各頂點(diǎn)的球的表面積是（ ）.

A.32π B.24π C.16π D.12π

分析設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，題設(shè)給出了正四面體的體積，有又給出SO 與側(cè)面成的角的正切值為是底面邊長(zhǎng)a 和高h(yuǎn) 的第二個(gè)關(guān)系式.根據(jù)兩個(gè)條件，可求出底面邊長(zhǎng)a和高h(yuǎn)，再去解決它的外接球問(wèn)題.

解析

圖3

方法1延長(zhǎng)SO 交球面于點(diǎn)M，則S，B，M 均在球面上，且SM=2R，∠SBM=90°.

在Rt△SMB 中，由射影定理得

方法2同例2的解法，可得=4πR2=16π.

3 類(lèi)比圓的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題求解

例4如圖4，在平面四邊形ABCD 中，AB=將其沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體A′-BCD，使面A′BD⊥面BCD，若四面體A′-BCD 的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為（ ）.

圖4

分析先根據(jù)題意，得出折疊后四面體的特征，再解決它的外接球問(wèn)題.

解析

圖5

類(lèi)比圓，直徑所對(duì)的圓周角為直角，那么內(nèi)接于球的A′-BCD 中，BC 所對(duì)的兩個(gè)角都是直角，故BC為球的直徑.所以

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于不同于例1、例2的四面體的外接球問(wèn)題，要通過(guò)認(rèn)真審題，研讀題意，大膽猜想，小心論證，抓住特征，解決問(wèn)題.

雖然棱錐的外接球問(wèn)題題型多變，但只要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，就能找出棱錐的特征，還是可類(lèi)比圓的內(nèi)接三角形問(wèn)題.只有細(xì)心研讀題意，緊密聯(lián)系生活實(shí)際，正確歸類(lèi)問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，才能順利解決問(wèn)題！