一元函數(shù)定積分的計(jì)算方法及策略

武文娟

(廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣州510850)

0 引言

不定積分和定積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，定積分既是不定積分內(nèi)容的延拓，又是求平面圖形面積、弧長、旋轉(zhuǎn)體體積等幾何物理量的重要方法，也是復(fù)變函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等相關(guān)課程的知識(shí)工具。一元定積分的計(jì)算方法有很多，主要有幾何意義法、奇偶性法、直接積分法、換元法和分部積分法。除了要掌握這些基本的求解方法外，還要講究一定的策略，以便方便快速地求解。這個(gè)策略指的是解決問題時(shí)應(yīng)考慮求解方法的順序，這個(gè)順序決定了解題的難易、耗時(shí)的多少。以下將給出一元函數(shù)定積分的各種計(jì)算方法及策略，即各種計(jì)算方法及考慮使用這些方法的順序，并通過各種題型、各種計(jì)算方法的比較來具體闡釋。

1 定積分的計(jì)算方法

1.1 奇偶性法

奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分等于0，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分等于正數(shù)區(qū)間的2倍。用奇偶性法應(yīng)看積分區(qū)間是否為對(duì)稱區(qū)間，然后再看被積函數(shù)的奇偶性。

1.2 幾何意義法

1.3 直接積分法

根據(jù)Newton—Leibniz公式，利用基本不定積分公式得出一個(gè)原函數(shù)，算出原函數(shù)在積分上下限函數(shù)值之差即是所要求的定積分。

1.4 換元法

換元法是通過引入一個(gè)新變量來簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。在定積分求解過程中，可以根據(jù)所設(shè)變量與原變量的關(guān)系相應(yīng)變換積分的上下限。

1.5 分部積分法

2 定積分的計(jì)算策略

定積分的計(jì)算方法共有五種，定積分的計(jì)算策略就是按一定的順序依次使用這些方法，方法的順序?yàn)槠媾夹苑?、幾何意義法、直接積分法、換元積分法、分部積分法。下面將舉例闡釋定積分的計(jì)算方法及策略。根據(jù)本研究給出的解法順序去計(jì)算定積分，發(fā)現(xiàn)這個(gè)策略對(duì)于求解定積分是行之有效的，會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。

例1 計(jì)算下列定積分

分析：按照計(jì)算策略，應(yīng)該先考慮奇偶性法，積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，再看被積函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇偶性法，此積分結(jié)果應(yīng)等于0。

備注：如果此題不按順序考慮求解方法，就容易漏掉奇偶性法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。

分析：按照計(jì)算策略，應(yīng)該先考慮奇偶性法，但積分區(qū)間不對(duì)稱，所以不能用奇偶性法，考慮使用第二種幾何意義法，定積分等于上半圓(x-1)2+y2=1與x軸所圍成圖形的面積。

備注：如果此題不按順序考慮求解方法，就容易忽略幾何意義法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。

備注：如果被積函數(shù)是分式形式且分子分母都是多項(xiàng)式，通常把被積函數(shù)裂項(xiàng)成兩項(xiàng)之和再求積分。

分析：按照計(jì)算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間不對(duì)稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數(shù)不是基本初等函數(shù)，不能直接用基本積分公式積出，接著考慮換元積分法，引入中間變量u=cosx，則du=-sinxdx，這樣就可以算出積分。

備注：被積函數(shù)是兩個(gè)式子乘積，先從最復(fù)雜的式子下手，本題復(fù)雜的是cos5x，對(duì)照基本積分表，與x5比較相似，故可嘗試u=cosx，換成對(duì)u的積分。

分析：按照計(jì)算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間不對(duì)稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數(shù)不是基本初等函數(shù)，不能直接用基本積分公式積出，接著應(yīng)考慮換元積分法，但不易找出中間變量，又看到被積函數(shù)是兩個(gè)基本初等函數(shù)乘積，所以應(yīng)該用分部積分法，根據(jù)反對(duì)冪三指的順序確定u和v。

備注：如果被積函數(shù)是兩個(gè)基本初等函數(shù)的乘積，常用分部積分法，根據(jù)反對(duì)冪三指的順序，兩個(gè)函數(shù)哪個(gè)在前哪個(gè)看成u。

分析：按照計(jì)算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，再看被積函數(shù)不具有奇偶性，但該被積函數(shù)可以裂成兩項(xiàng)之和，每一項(xiàng)都具有奇偶性，奇函數(shù)部分結(jié)果為0，偶函數(shù)部分求積分有根式先根式有理化，化解被積函數(shù)，最后用幾何意義法即可求出結(jié)果。

3 結(jié)語

通過例1各題詳細(xì)演示了用本研究提到的方法及策略計(jì)算定積分可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低計(jì)算難度，而且也不易忽略最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。例2是個(gè)綜合題，用到了三種計(jì)算方法，根據(jù)本研究提到的計(jì)算策略能方便快速地計(jì)算出結(jié)果。