結(jié)合克拉默法則求解齊次多元隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)

龍彩燕

(廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣州510000)

0 引言

克拉默法則在求解非齊次線性方程組中起著非常重要的作用，是一個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)便的方法，特別是對(duì)于二元、三元的齊次線性方程組的求解可以利用行列式計(jì)算表示。關(guān)于一元隱函數(shù)求導(dǎo)的研究成果有很多，對(duì)于多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)也有比較顯著的成果，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。而多元隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)求解則是難中之難。下面，利用克拉默法則求解齊次多元隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)。

1 回顧克拉默法則定理及例題應(yīng)用

定理1：

(克拉默法則)如果線性方程組(1)

的系數(shù)行列式

則方程組(1)有唯一解且解為

其中Dj是將系數(shù)行列式D中j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即

例1：用克拉默法則求解線性方程組：

2 利用克拉默法則求解多元齊次隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)方程組

多元齊次隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)方程組是指隱函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的偏導(dǎo)個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相同。

定理2：

隱函數(shù)方程組

兩邊同時(shí)對(duì)x(或y)求導(dǎo)且整理為

其中a11,a12,a21,a22,b1,b2為關(guān)于x,y,u,v的函數(shù)，只要

例2 ：

解：將方程組兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

則令a11=x2,a12=-y3,a21=y,a22=x,b1=-2xu,b2=-v，只要系數(shù)行列式

同理得