角的平分線性質(zhì)的實(shí)質(zhì)與推廣

劉憲升

（濱州學(xué)院理學(xué)院 山東·濱州 256600）

1 角的平分線及其性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)

為討論方便，我們先給出角的平分線的定義、性質(zhì)定理及其逆定理。

定義：從一個角的頂點(diǎn)引出的把這個角分成兩個完全相同的角的射線，叫做這個角的平分線。

角的平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，我們以人教版課本[1]的敘述為例。

定理1：“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！?/p>

定理1′：“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。”

1.1 角的平分線的實(shí)質(zhì)

由角的平分線定義可知其實(shí)質(zhì)是：角的平分線是角的一條對稱軸。即：角是一個關(guān)于角的平分線對稱的軸對稱圖形。這一實(shí)質(zhì)不少課本指了出來，不再贅述。

1.2 角的平分線性質(zhì)的實(shí)質(zhì)

關(guān)于定理1 這一性質(zhì)，課本上都給出了證明，但都沒與角的平分線的實(shí)質(zhì)相聯(lián)系。實(shí)際上，我們結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的定義，該性質(zhì)是在角平分線（對稱軸）上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)向角的兩邊對稱的作垂線（作法對稱），所得兩交點(diǎn)（垂足）是一對對稱點(diǎn)，故兩垂線段是關(guān)于角平分線的對稱線段，它們的長度當(dāng)然相等了。因此，性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是：過角平分線上任一點(diǎn)，向角的兩邊作的兩條對稱的垂線段相等。下面，給出兩垂線段對稱的證明。

這就證明我們上面對角的平分線性質(zhì)實(shí)質(zhì)的認(rèn)識是正確的。

2 角的平分線性質(zhì)定理及其逆定理的推廣

前面我們已指出并證明了定理1 中，到角的兩邊的距離是關(guān)于角的平分線的對稱線段，垂足是對稱點(diǎn)。我們把垂足這個條件放開，一般化為關(guān)于角的平分線對稱的點(diǎn)，可得下面推廣。

推廣1：角的平分線上的點(diǎn)與角的兩邊上關(guān)于角的平分線對稱兩點(diǎn)的連線段相等。

其實(shí)，推廣1 若換種說法可能更好理解與記憶，表述為下面命題。

推廣1 的逆命題也是成立的，表述如下。

推廣1′：角的內(nèi)部與角的兩邊上關(guān)于角平分線對稱兩點(diǎn)的連線段相等的點(diǎn)在角平分線上。

3 應(yīng)用

3.1 可合理解釋角平分儀制作原理及角的平分線的作法

上面對性質(zhì)定理實(shí)質(zhì)的揭示，就可以解釋前面所提木匠所用角平分儀為何這樣制作、角平分線的作法為何這樣作的問題了。

圖1

首先，圖1（48 頁截圖）是人教版課本中的角平分儀。在圖1中，不管∠的大小，由于=，故始終關(guān)于要作的角的平分線對稱是對稱點(diǎn)；又=，實(shí)際上是在對稱軸的兩側(cè)對稱的作兩條射線，所得交點(diǎn)自身對稱，又自身對稱，故射線是角的對稱軸，即角的平分線。其實(shí)，我國古代的木匠不懂平面幾何知識，他們就是借助對稱制造了角平分儀。

總之，角的平分線無論是用角平分儀畫，還是根據(jù)作法作，都是先在角的兩邊上確定關(guān)于角平分線對稱的兩點(diǎn)，再從這兩點(diǎn)出發(fā)朝角內(nèi)對稱作圖交于一自身對稱的點(diǎn)，由頂點(diǎn)畫出的過交點(diǎn)的射線就是角的平分線。其關(guān)鍵是根據(jù)對稱性作出異于頂點(diǎn)的另一自身對稱點(diǎn)，而它是由對稱的兩條線相交得到的。認(rèn)識到這一實(shí)質(zhì)就可以給出其他作法，如：

其實(shí)，此作法簡單的說，就是作兩條關(guān)于角的平分線對稱的兩線段（直線或射線均可），找到另一自身對稱點(diǎn)，進(jìn)而畫出角的平分線。

3.2 可以快速的解決其他問題

我們先證明等腰三角形的三線合一性質(zhì)。

此題為人教版課本51 頁綜合應(yīng)用第5 題。如不把性質(zhì)定理進(jìn)行推廣，此綜合應(yīng)用題證明還是有一定難度的，下面應(yīng)用推廣給出證明。

由應(yīng)用可見，在揭示角的平分線及其性質(zhì)并推廣后，不僅可以合理的解釋角平分儀的制作原理，以及角的平分線作法為什么這么作，而且應(yīng)用它們解決選擇、填空題可以一眼就能看出問題的結(jié)論；對于大題也可快速、簡單的、幾步就能解決問題，有較強(qiáng)的應(yīng)用價值。如果我們廣大數(shù)學(xué)教育工作者，能從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度，認(rèn)真研究課本或所教內(nèi)容，揭示出其蘊(yùn)涵的實(shí)質(zhì)，數(shù)學(xué)難學(xué)的問題將會迎刃而解。