高等數(shù)學(xué)精講多學(xué)模式的研究

邱 云 蘭

(廣州工商學(xué)院，廣州 510850)

一、問題提出

課堂是師生間進(jìn)行互動交流的重要場所， 教學(xué)設(shè)計要充分體現(xiàn)有效的互動交流和精講多學(xué)。 要在“講得精”“講得新”“學(xué)得好”“練得多”上下功夫。將主要時間交給學(xué)生去學(xué)習(xí)、理解、體驗、觀察、模仿和制作。 理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵和核心，沒有數(shù)學(xué)知識的理解就沒有數(shù)學(xué)知識技能的掌握，也就沒有數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，更沒有大家熱議的學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)習(xí)慣形成的核心在于有恰當(dāng)和精確的判斷能力。如何科學(xué)地判斷和把握整個教學(xué)過程教與練活動的比例，確保練的活動能夠合理、充分地與教的活動更加協(xié)調(diào)，成為教與學(xué)方法研究深度化的一個著力點。教學(xué)方法作為教學(xué)論學(xué)科領(lǐng)域的重要范疇，“是聯(lián)系師生和課程內(nèi)容的橋梁與中介，是課堂教學(xué)中最具有活力的因素之一”

多練并非多多益善，并非盲目練習(xí)，而應(yīng)是有限度、有針對性的練。 教師應(yīng)對所練的內(nèi)容深入研究，需要教師減少課堂講的時間。精講多練，以學(xué)定教，自主探索?；咏涣?，發(fā)揮潛能，提升能力，能啟迪學(xué)生智慧養(yǎng)成健康人格。精講多練是時代賦予高校的歷史使命,精講與多練是辯證統(tǒng)一的，講與練的活動比例要根據(jù)學(xué)情來確定。即學(xué)生會的不講，學(xué)生可以尋求教材或同學(xué)幫助掌握的不講，講學(xué)生通過交流后不會的、不能理解的重點內(nèi)容中的關(guān)鍵之處， 講時語言精練，緊扣主題，以點帶面。方法先練后講，問題驅(qū)動，形式上課課精講，豐富多彩，角色由“知識的講授者”變?yōu)閷W(xué)習(xí)的“引領(lǐng)者”。課堂是提升教學(xué)質(zhì)量的主渠道，課堂給學(xué)生布置課后預(yù)學(xué)內(nèi)容，多練是指有針對性的練習(xí)。包括新授課中的例習(xí)題等。引領(lǐng)學(xué)生對預(yù)設(shè)內(nèi)容自主探索，探索后小結(jié)提煉概括。沒有自主探索，就沒有問題驅(qū)動，沒有問題驅(qū)動就沒有思維方向，沒有思維方向就沒有思維目標(biāo)，有了思維目標(biāo)才有動力、有創(chuàng)新。有對問題興致高漲的探索、各抒已見的討論、神采飛揚的練習(xí)，智慧火花閃亮課堂。 中國傳統(tǒng)教育重視教的研究，講得多、講得全，一講到底，以為講得多學(xué)生就學(xué)得多、練得多、練得好,這是當(dāng)前高校課堂普遍存在的問題。不重視“學(xué)”的研究，或?qū)W的研究不足。學(xué)生是一個有智慧的群體，不可小看學(xué)生的能力，不能堵賽學(xué)生心靈發(fā)揮的“通道”，不能不考慮學(xué)生的感受和互動，不能不給學(xué)生展示智慧的機會，要把握好學(xué)的路徑。精講多練在于卓越理念引領(lǐng)，精講多練在于內(nèi)在動機激發(fā)，感受數(shù)學(xué)精妙，形成學(xué)術(shù)志趣。

二、精講多練的實踐與探索

課堂是一個可以良性交流互動的空間，教師只管講、學(xué)生只管聽的課堂已不能滿足教學(xué)要求，教師不但要管講、管聽、還要管課堂上的良性互動，互動解題。有了良性的互動才能深度理解和解釋文本，有針對性地解答數(shù)學(xué)問題。哈爾莫斯說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是解題”。要學(xué)好數(shù)學(xué)，一定數(shù)量的解題訓(xùn)練是必須的，解題的目的有兩個：一是強化對概念與原理的理解；二是提升分析和解決數(shù)學(xué)問題以及實際問題的能力。前者一般是在講概念與原理階段完成，后者則是側(cè)重強化數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用。

1.精講多練的意義

著名數(shù)學(xué)家、教育家楊輝認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該融類傍通，不需要所有的知識都由教師傳授, 人本主義提倡內(nèi)在學(xué)習(xí)，認(rèn)為應(yīng)依靠學(xué)生內(nèi)在驅(qū)動去自覺、主動、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。構(gòu)建主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是知識從外到內(nèi)的傳遞，而是人積極主動構(gòu)建的過程。由教的過程轉(zhuǎn)化為學(xué)的過程和練的過程，精講多練的根本意義在于促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，在于追求精力投入和知識、能力增長的最大化,教師“精講”，為學(xué)而講，為練而講。 現(xiàn)代教學(xué)注重教與學(xué)的多邊互動，七十年以來教學(xué)方法研究的一個顯著特征是在提升學(xué)生活動的比例邁上了較大步伐，努力彰顯學(xué)生的主體地位。被動講、被動學(xué)轉(zhuǎn)向為善講樂學(xué)。講得精課堂才能給學(xué)生的學(xué)留下 “空間”。 有了空間學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力和創(chuàng)造意識的精神才能得到提升。

精講包括講學(xué)生自學(xué)、練習(xí)和合作學(xué)習(xí)，討論之后仍存在的疑難問題給予針對性的畫龍點睛的講，精講必須豐富和巧用語言表達(dá)，整合與使用多媒體技術(shù)，從而從講本位轉(zhuǎn)化為學(xué)本位。多練分為三段，課堂、課后和課前，課堂“先練后講”布置自主學(xué)習(xí)內(nèi)容，為學(xué)生成功自學(xué)提供幫助和指導(dǎo)。 其次，善于傾聽、善于觀察，善于分析成功與失敗的自學(xué)經(jīng)驗和教訓(xùn)，防止由“講慣”變?yōu)椤皶唷?，防止“兩級分化”加劇，努力減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)。最后檢查結(jié)果，督促學(xué)生自覺完成學(xué)習(xí)任務(wù)，養(yǎng)成自學(xué)習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)能力。

2.精講多練，以學(xué)定教

知識是經(jīng)驗的結(jié)果，從本質(zhì)上說，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在教師的引導(dǎo)下自我構(gòu)建的結(jié)果，成為學(xué)生構(gòu)建結(jié)果的組織者、參與者、合作者、策劃者、評判者、規(guī)律提升的拔高者。高數(shù)課堂教學(xué)不僅要了解學(xué)情，精講知識，更應(yīng)該講知識的理解和運用，從而明白道理、悟出方法、養(yǎng)成習(xí)慣，激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。讓學(xué)生有充分的時間“試錯、犯錯、知錯、改錯”。

(1)精講概念和例題，強化概念例題的應(yīng)用引領(lǐng)示范

概念是判斷的工具，它能形成類化的能力，使我們的知識標(biāo)準(zhǔn)化，并促進(jìn)對未知事物的認(rèn)識。例題教學(xué)是決定教學(xué)效果的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。概念和例題是教學(xué)的重要載體，概念和例題的示范引領(lǐng)，即新知識應(yīng)用的示范引領(lǐng)，解題程序與表述的示范引領(lǐng)，學(xué)習(xí)如何解題的示范引領(lǐng) 。張奠宙說，“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物，首先要能夠自己思考起來，用自己的見解與別人的見解進(jìn)行交流。郭運瑞主編，西南交通大學(xué)出版的公共基礎(chǔ)課系列“十二五”精品規(guī)劃教材《高等數(shù)學(xué)》，第四章定積分，第126頁，例9。

怎樣讓學(xué)生的思維真正活動起來，這個動力就是“問題”，這案例思維價值的問題可以把學(xué)生帶融“憤悱”的境地。 在課堂教學(xué)中注重高層次與低層次的提問，此題能看懂嗎？這一提問制造了學(xué)生的認(rèn)知沖突，使課堂出現(xiàn)了觀點的交鋒，智慧的碰撞，有的學(xué)生說看不懂，需要講，有的學(xué)生說看得懂，不用講。好。請你講！此例根據(jù)不定積分的概念，求原函數(shù)，可將其結(jié)果求出，求導(dǎo)的結(jié)果是被積函數(shù)。但教材的求解出現(xiàn)4處知識性的錯誤。錯在哪里？請你上來改，改正后，給予激勵和提問，你有另解嗎？有。有兩種解法：用數(shù)形結(jié)合的方法或用換元法求解。 這時課堂的熱鬧不僅僅停留在學(xué)生肢體的活動上，而體現(xiàn)在學(xué)生思維的活動中。這時教師在肯定他的回答和解答后，提醒同學(xué)們注意：尋求一題多解開拓多向思維。 教材出現(xiàn)錯誤是比較少的，請你們不要太相信教材，但也要重視教材，教材是試題的基本源頭，是考試命題的重要依據(jù)，不少試題甚至有的高考題都是在教材中的例習(xí)題，或是在教材的基礎(chǔ)上組合、加工而成，知識方法源于教材，有的高于教材。你們不但要有“容錯“的肚量，更要有“融錯”、防錯、改錯的技巧。有計劃、有目的、有針對性地設(shè)計不同形式的教學(xué)情境，讓學(xué)生有充足的時間去觀察、去體驗、去判斷、去改錯,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提高。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時采用多種形式交流，增進(jìn)生生之間、師生之間的情感。

例題是教材的重要部分，是實現(xiàn)課程目標(biāo)、實施教學(xué)的重要資源。隨著人類面臨的問題日益復(fù)雜，課程綜合性趨勢明顯。 面對綜合性疑難性的例題，既要知“難之所在”，又要明“難”的原因。高數(shù)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，第七版下冊， 144頁例2。

解 畫出積分區(qū)域圖，(圖略)，確定積分區(qū)域D的類型，是X型還是Y型，或既是X型也是Y型，根據(jù)類型，寫出D的不等式表達(dá)式。

但是，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和能力的差異是教學(xué)所不能回避的一個難題。怎樣解決這一難題？教師的教學(xué)設(shè)計和例題的選擇要體現(xiàn)學(xué)生的基礎(chǔ)與能力的差異，搭建基礎(chǔ)知識平臺、綜合知識平臺、考試平臺，精心設(shè)計例題，以教材例題為主，以唯一的正確答案為主，保持題形基本穩(wěn)定，建立重視教材用好教材的科學(xué)機制。

(2)精講練習(xí)，以練為主

教師的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)過程要充分體現(xiàn)精講多練，將主要時間交給學(xué)生去體驗、去觀察、去模仿、去制作。針對部分學(xué)生教師一講就“懂”，或者不懂，一做就錯。為此，采取先練后講,錯了再講的方法。這樣不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，更能促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升。例如，在教學(xué)極限運算這一節(jié)書時，對概念和定理3，兩個和差積商的極限的計算，學(xué)生是可以看懂的，可以不講或精講。任何工作任務(wù)的完成都會有時間節(jié)點，學(xué)習(xí)速度和學(xué)習(xí)效率的把握非常重要。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)大綱中的課時量要求，精心設(shè)計訓(xùn)練學(xué)生快速獲取教材之外、補充與課程內(nèi)容密切相關(guān)的學(xué)習(xí)資源，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。在課堂教學(xué)中不僅注重學(xué)生的聆聽、記憶、理解、思辯能力的訓(xùn)練，而且更要注重學(xué)生的動手能力。 設(shè)計如下練習(xí)，讓學(xué)生動手練習(xí)。

通過展示，讓學(xué)生反省自己在課程知識的學(xué)習(xí)和掌握上、在學(xué)習(xí)的方式方法上存在的不足，養(yǎng)成反省和自律溫故而知新的習(xí)慣。反省有三種類型：一是技術(shù)性反省，主體的反省主要集中于模仿行為的規(guī)范性、模仿策略的有效性以及模仿預(yù)設(shè)目標(biāo)的達(dá)成性，體現(xiàn)一種日常性經(jīng)驗性反??；二是實踐性反省，主體不僅注重對模仿結(jié)果的反省，而且更關(guān)注模仿效果的因素、模仿的內(nèi)在邏輯關(guān)系以及模仿的價值取向等；三是批判性反省。是一種價值承載的文化知識傳承和創(chuàng)新的特殊交流。 通過展示可以反映學(xué)生的學(xué)與教師教的不足， 如果不展示，發(fā)現(xiàn)不了學(xué)生會出現(xiàn)如此多問題，出現(xiàn)問題，有教師的原因，也有學(xué)生的原因。 首先反映了學(xué)生沒有看懂和理解例題的引領(lǐng)作用，在求解過程中何時符合寫極限，何時不能符合寫極限，也反映了教師在講述極限的四則運算法則時沒有挖掘隱藏在概念背后的深刻的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生搞不清楚概念的內(nèi)涵，定理3求極限的商的前提條件沒有提醒學(xué)生注意。也許是教師強調(diào)不能用后面沒有學(xué)習(xí)過的內(nèi)容解前面的練習(xí)題，或?qū)W生沒有聽進(jìn)去，造成解法5用羅必達(dá)法則求解。通過學(xué)生認(rèn)識了錯因，從而強調(diào)看懂例題，領(lǐng)會概念的重要性。 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的核心和精華，忽視對數(shù)學(xué)概念的理解是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中的突出問題。 教過不如練過，講多不如練多，練多不等于“書灌”，不等于加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，也不等于練得越多越好。要圍繞教學(xué)內(nèi)容有針對性的善于練習(xí)、善于舉例、善于提問、善于設(shè)疑、善于比較與優(yōu)化，有針對性的練習(xí)是不能少的。通過一定的練習(xí)促進(jìn)學(xué)生更積極、更深入、更合理地去進(jìn)行思考。思考概念、公式、定理、法則和圖表，這些概念、公式應(yīng)用到習(xí)題中，涉及本質(zhì)、過程、結(jié)構(gòu)、思想等隱性內(nèi)容，做到“深入淺出”。

高等數(shù)學(xué)是文化必修的基礎(chǔ)課，為后續(xù)學(xué)習(xí)搭建平臺,對相關(guān)學(xué)科的研究具有重要意義。設(shè)疑難題先給學(xué)生思考，思考高數(shù)下冊復(fù)習(xí)題十，第185頁，1填空：(1)。

數(shù)學(xué)家蘇步青報考國際知名的日本帝國大學(xué)，對解幾和微分兩門課程做了近萬道題，結(jié)果考上雙百分，楊樂院士初二考高三，在課外做了1萬多道題，解題能力很強，被同學(xué)譽為“數(shù)學(xué)神童”。根據(jù)有關(guān)研究，通過讀獲得知識的保持率10%，通過聽獲得知識的保持率20%，通過看獲得知識的保持率30%，通過看和聽獲得知識的保持率50%，通過交談獲得知識的保持率70%，通過教談和解題獲得知識的保持率90%。楊輝認(rèn)為：“好學(xué)君子自能觸類而考，何必輕傳”。對練習(xí)多少達(dá)到心中有數(shù)。

根據(jù)學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容的需要，有計劃、有目的、有針對性的設(shè)計不同形式的教學(xué)情境，從“形象”到“抽象”進(jìn)行預(yù)設(shè)，從“錯誤”到“感悟”進(jìn)行預(yù)設(shè)，預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容，要充分考慮基礎(chǔ)性、層次性、疑難性，注重精選內(nèi)容，注重課堂、課后小結(jié)、階段小結(jié)、提煉概括、梳理知識體系的同時，讓學(xué)生在習(xí)得知識受到不同形式的交流能力的訓(xùn)練?？陬^和書面交流是學(xué)習(xí)各門功課、成就各門專業(yè)的基礎(chǔ)，有了基礎(chǔ)才能營造學(xué)習(xí)氛圍、豐富課堂教學(xué)方式和內(nèi)容，提升學(xué)生的交流能力，增強生生之間、師生之間的感情。努力追求促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的“生氣”“靈氣”和“勇氣”。 但高深的數(shù)學(xué)難題的練習(xí)，要經(jīng)過茶飯不思、失敗累累的痛苦過程。 因此，需要提倡苦讀，提倡一點頭懸梁、錐刺股的精神。啟迪學(xué)生智慧的智慧，以智慧激活智慧，發(fā)展智慧，生成智慧沃土。只有這樣，學(xué)生才能向其師、從其師、親其師、信其道，進(jìn)而踐其道、樂其道。

三、結(jié)語

精講多練是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石。 那種把教師置于絕對的位置的“一言堂”和忽視教師有效指導(dǎo)的“放羊式”都不會有高的教學(xué)水平和好的教學(xué)效果。精講多練不僅是檢查教與學(xué)的重要手段,而且也是對學(xué)生所學(xué)、對教師所教內(nèi)容的反思。 通過反思，改進(jìn)教與學(xué)的方法，提高課堂效率。 通過精講多練，查漏補缺,達(dá)到促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)的提升之目的。課堂是提升教學(xué)質(zhì)量的主陣地，課堂不僅是教師表演的舞臺，更是學(xué)生展示的天地。抓住課堂求效益，抓住質(zhì)量不放松。教學(xué)質(zhì)量的提升，不僅是衡量教師課堂教學(xué)藝術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，而且也是落實立德樹人的根本任務(wù)。

關(guān)注教學(xué)目標(biāo)的落實。無論是“數(shù)學(xué)應(yīng)用”覆蓋范圍的拓展，還是對問題解決基本過程的強調(diào)，其目的都是為了實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)。 重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解和掌握,數(shù)學(xué)基本技能的提高，數(shù)學(xué)基本思想的感悟，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累。找回應(yīng)用的好傳統(tǒng)。除了原有教材提供的材料以外，還要留心收集好的鮮活的實例，應(yīng)用到自己的教學(xué)中去，以努力體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，為學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的意識做出表率。 也就是說，高等數(shù)學(xué)精講多練模式的研究要達(dá)到較高層次的質(zhì)量，除了軟件、硬件、技術(shù)以外，最重要的是作為“人件”，人的知識水平、人格魅力。數(shù)學(xué)素質(zhì)高，功底好,方法佳，才有可能教好學(xué)生。